2022學(xué)年第二學(xué)期高一期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè)試卷高一數(shù)學(xué)一、單選題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分）1. 設(shè)，則復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為，故選：A2. 若直線不平行于平面，且，則下列說法正確的是（    ）A. 內(nèi)存在一條直線與平行 B. 內(nèi)不存在與平行的直線C. 內(nèi)所有直線與異面 D. 內(nèi)所有直線與相交【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系逐一分析即可.【詳解】若內(nèi)存在一條直線與平行，則由和線面平行判定定理可知，與已知矛盾，故內(nèi)不存在直線與平行，A錯(cuò)誤，B正確；記，當(dāng)內(nèi)直線a過點(diǎn)A，則與a相交，C錯(cuò)誤；當(dāng)內(nèi)直線b不過點(diǎn)A，則與b異面，D錯(cuò)誤.故選：B  3. 在△ABC中，已知，，，則角為（    ）A. 60° B. 30°或150 C. 60°或120° D. 120°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可得，得或120°，然后由邊角關(guān)系，作出判斷即可.【詳解】解：由正弦定理或,，或均符合.故選:C．4. 已知向量，，則（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求出，求模即可.【詳解】∵，，∴，∴.故選：C.5. 已知，則（    ）A.  B.  C. -3 D. 3【答案】A【解析】【分析】將看成，利用兩角和的正切公式可求的值.【詳解】 ，故選：A.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的中的化簡(jiǎn)求值問題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結(jié)構(gòu)的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結(jié)構(gòu)上差異的處理則是已知公式的逆用等，最后角的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角.6. 已知函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)是（    ）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)函數(shù)的解析式特征，可知，由，所以函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如下圖：方程的根的個(gè)數(shù)就是這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，通過圖象可以判斷只有8個(gè)交點(diǎn)，故選：B  7. 已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A 
【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8. 已知向量，對(duì)任意的，恒有，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由可得，又，令則上式等價(jià)于，對(duì)任意的恒成立，故，解得，解得，即；對(duì)A：由，故不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)B：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故，C正確；對(duì)D： ，不確定其結(jié)果，故不一定成立，D錯(cuò)誤.故選：C.二、多選題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得1分，有選錯(cuò)的或不選的得0分）9. 若復(fù)數(shù)為的共軛復(fù)數(shù)，則以下正確的是（    ）A. 在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B. C.  D. 為純虛數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，乘除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)A，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，，故B正確；對(duì)C，，而，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，故D正確.故選：BD.10. 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 若，則B. 若，則為鈍角三角形C. 若，則符合條件的有兩個(gè)D. 若，則為等腰三角形或直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理逐一判斷即可.【詳解】A：由正弦定理可知：，因?yàn)?/span>，所以，因此本選項(xiàng)正確；B：根據(jù)余弦定理由，因?yàn)?/span>，所以有，因此該三角形是鈍角三角形，所以本選項(xiàng)正確；C：由正弦定理可知：，所以不存在這樣的三角形，因此本選項(xiàng)不正確；D：，或，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)該三角形是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)該三角形是直角三角形，故選：ABD11. 已知函數(shù)則下列說法正確的是（    ）A. ，使成立 B. 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C. 若，則 D. 對(duì)有成立【答案】ACD【解析】【分析】利用特值可判斷A，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，利用正弦型函數(shù)的值域可判斷D.【詳解】∵函數(shù)，∴，即，故，，故A正確；又，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；因?yàn)?/span> ，所以，故，，又，即，所以對(duì)有成立，故D正確.故選：ACD.12. 已知四邊形是邊長(zhǎng)為1的菱形，，動(dòng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則下列說法正確的是（    ）A. B. 的最大值為2C. D. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合圖形分析可判斷A；由向量加法的平行四邊形法則觀察可判斷B；取特例可排除C；利用共線定理的推論判斷點(diǎn)P的軌跡，然后由余弦定理求解可判斷D.【詳解】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可知，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，向量在的投影數(shù)量最大，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，向量在的投影數(shù)量最小，所以，，即，A正確；以AP為對(duì)角線，AB，AD所在直線為鄰邊作，易知，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，同時(shí)取得最大值，此時(shí)取得最大值2，B正確；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，，C錯(cuò)誤；記AB的中點(diǎn)為E，F為AD上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?/span>，即，所以P，E，F共線，所以點(diǎn)P的軌跡為線段EF，所以，D正確.故選：ABD  三、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13. 一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫它的直觀圖，此直觀圖恰好是邊長(zhǎng)為1的正方形（如圖所示），則原平面圖形的周長(zhǎng)為______．  【答案】8【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法還原平面圖，利用勾股定理求邊長(zhǎng)，然后可得.【詳解】因?yàn)?/span>為邊長(zhǎng)為1的正方形，所以，還原平面圖如圖，中，，所以，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：8  14. 已知直線和平面.給出下列三個(gè)論斷：①∥；②∥；③.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：___________.【答案】若，則【解析】【分析】分三種情況判斷：①②作條件，③作結(jié)論；①③作條件，②作結(jié)論；②③作條件，①作結(jié)論.只要以上三個(gè)命題為真即可.【詳解】解：將①②作條件，③作結(jié)論：若∥，∥，則.此命題為假命題（結(jié)論應(yīng)為或∥）；將①③作條件，②作結(jié)論：若∥，，則∥.此命題為假命題（結(jié)論應(yīng)為與相交或∥）；將②③作條件，①作結(jié)論：若∥， ，則∥.由兩平面平行的性質(zhì)定理可知此命題為真命題.故答案為：若∥， ，則∥.15. 公元前世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為，這一數(shù)值也可以表示為.若，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，求得，代入求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，所以，，故答案：16. 已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】-6.【解析】【詳解】分析：可建立坐標(biāo)系，用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題．詳解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，∴，易知當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為－6．點(diǎn)睛：求最值問題，一般要建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，化幾何最值問題為函數(shù)最值，本題通過建立平面直角坐標(biāo)系，把向量的數(shù)量積用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來后，再用配方法得出最小值，根據(jù)表達(dá)式的幾何意義也能求得最大值．四、解答題（本大題共6小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17 已知．（1）求與的夾角；（2）若在方向上的投影向量為，求的值．【答案】（1）    （2）10【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)計(jì)算可得；（2）先求投影向量，然后利用數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)計(jì)算即可.【小問1詳解】，，即，，，.【小問2詳解】，.18. 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】（1）2    （2）【解析】【分析】（1）利用周期公式即可得到結(jié)果；（2）利用恒等變換公式化簡(jiǎn)公式，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果.【小問1詳解】∵，∴，∴，故函數(shù)的最小正周期為2；【小問2詳解】∵，∴，∴，即，故的取值范圍是19. 如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，利用中位線的性質(zhì)得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算出，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，且，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面；（2）因?yàn)?/span>，，且為的中點(diǎn)，所以，，在長(zhǎng)方體中，平面，因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質(zhì).20. 設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．向量與平行．（1）若，，求的面積；（2）若，求角的大?。?/span>【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示列式，再用正弦定理求出角A，利用余弦定理、面積定理計(jì)算作答.（2）用角C表示角B，再利用差角的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算作答.【小問1詳解】因?yàn)橄蛄?/span>與，，則，在中，由正弦定理得：，而，即，則有，即，又，解得，當(dāng)，時(shí)，由余弦定理得：，即有，而，解得，所以的面積.【小問2詳解】由（1）知，，由得：，則有，即，整理得，而，解得，所以21. 在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作一條直線分別交線段，于點(diǎn)，．  （1）若，，，，求；（2）求與面積之比最小值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意求得，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解；（2）先設(shè)，再根據(jù)題意求得，再根據(jù)平面向量基本定理，基本不等式和三角形的面積公式求解即可．【小問1詳解】依題意可得，，又，則，所以，所以，所以，故．【小問2詳解】設(shè)，由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，又三點(diǎn)共線，則，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即．22. 如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在上分別設(shè)置兩個(gè)出口在的東偏北的方向（兩點(diǎn)之間的高速公路可近似看成直線段），由于之間相距較遠(yuǎn)，計(jì)劃在之間設(shè)置一個(gè)服務(wù)區(qū)．  （1）若在的正北方向且，求到市中心的距離和最小時(shí)的值；（2）若在市中心的距離為，此時(shí)在的平分線與的交點(diǎn)位置，且滿足，求到市中心的最大距離．【答案】（1），    （2）20【解析】【分析】（1）利用正弦定理，將分別用表示，再利用基本不等式求的最小值；（2）先由化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)三角形面積公式列方程得到與的函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)單調(diào)性求得的最大值.【小問1詳解】設(shè)，在中，在中，由正弦定理得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)到市中心的距離和最小時(shí)，．【小問2詳解】，，即，又即當(dāng)時(shí)， 

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