2022-2023學(xué)年浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)海創(chuàng)園學(xué)校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則的虛部為（    ）A．－1 B．－2 C．－i D．－2i【答案】B【分析】寫出共軛復(fù)數(shù)，即可確定其虛部.【詳解】由題設(shè)知：，故其虛部為.故選：B2．如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測畫法得到為兩直角邊長分別為4和6的直角三角形，進(jìn)而可得其周長.【詳解】如圖，根據(jù)斜二測畫法得到為直角三角形，兩直角邊長分別為4和6，所以斜邊長為，故的周長為．故選：B．3．在△ABC中，若，則此三角形是 A．正三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】D【分析】由正弦定理可得，a：b：c＝3：4：6，令a＝3t，b＝4t，c＝6t，運(yùn)用余弦定理，計(jì)算cosC，即可判斷三角形的形狀．【詳解】解：由正弦定理，sinA：sinB：sinC＝3：4：6，即為a：b：c＝3：4：6，令a＝3t，b＝4t，c＝6t，則cosC0，則∠C為鈍角，則△ABC為鈍角三角形．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．已知直線平面，點(diǎn)平面，且P不在l上，那么過點(diǎn)且平行于直線的直線（    ）A．有無數(shù)條，僅有一條在平面內(nèi) B．只有一條，且不在平面內(nèi)C．有無數(shù)條，均不在平面內(nèi) D．只有一條，且在平面內(nèi)【答案】D【分析】根據(jù)過直線外一點(diǎn)作與直線平行的直線只有一條.可排除AC.再由線面平行的性質(zhì)定理即可選出答案.【詳解】過直線與點(diǎn)的平面有且只有一個,記該平面為.又因直線平面，點(diǎn)平面所以過點(diǎn)且平行于直線的直線只有一條，且這條線為平面與平面的相交線.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理.屬于基礎(chǔ)題.5．打羽毛球是一項(xiàng)全民喜愛的體育活動，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為7cm，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成的直徑是6.8cm，底部所圍成圓的直徑是2.8cm，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面積大約為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將圓臺補(bǔ)成圓錐，由相似求出小圓錐的母線長，結(jié)合圓錐側(cè)面積公式求出圓臺的側(cè)面積.【詳解】將圓臺補(bǔ)成圓錐，則羽毛所在曲面的面積為大,小圓錐的側(cè)面積之差，設(shè)小圓錐母線長為x，則大圓錐母線長為x＋7，由相似得，即x＝4.9，所以羽毛所在曲面面積，故選：A. 6．如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，F為AB邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，且線段EF交AC于點(diǎn)P．若，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】，將用表示，再根據(jù)E，F，P三點(diǎn)共線，求得，從而可的答案.【詳解】∵E為AD邊上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，F為AB邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，∴，，設(shè)，∵E，F，P三點(diǎn)共線，∴，解得，于是．故選：B.7．已知函數(shù)，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由冪函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性即可解得.【詳解】易知是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故原不等式等價(jià)于即所以，所以在任意的上恒成立，故.故選：D8．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原．小明在和家人一起包粽子時，想將一丸子（近似為球）包入其中，如圖，將粽葉展開后得到由六個邊長為4的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，將粽葉沿虛線折起來，可以得到如圖所示的粽子形狀的六面體，則放入丸子的體積最大值為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】D【分析】考慮當(dāng)丸子與六面體各個面都相切時的情況，利用等體積的方法求解出此時丸子的半徑，則最大體積可求解出.【詳解】六面體每個面都是等邊三角形且每個面的面積，由對稱性可知該六面體是由兩個正四面體合成的，所以四面體的高為，所以四面體的體積為，所以六面體的體積為，根據(jù)圖形的對稱性可知，若內(nèi)部丸子的體積最大，則丸子與六個面都相切，連接丸子的球心與六面體的五個頂點(diǎn)，將六面體分為六個三棱錐，設(shè)此時丸子的半徑為，所以，所以，所以丸子的體積為，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于分析丸子與六面體的位置關(guān)系以及采用等體積法求解丸子的半徑，本例中六面體是規(guī)則對稱圖形，其體積的計(jì)算方式有兩種：（1）底面積高，求解體積；（2）利用丸子的半徑作為高，六面體的每個面作為底面，求六個三棱錐的體積之和即為六面體體積. 二、多選題9．下列命題中錯誤的是（    ）A．若復(fù)數(shù)滿足，則B．若復(fù)數(shù)，滿足，則C．若復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是D．若復(fù)數(shù)，則【答案】ABC【分析】舉例說明判斷A，B，C；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)給定條件計(jì)算判斷D作答.【詳解】當(dāng)時滿足，A錯；當(dāng)，時滿足，但，B錯；復(fù)數(shù)，當(dāng)且時，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，不是純虛數(shù)，C錯；令，，，，當(dāng)時，即，，，則成立，D正確．故選：ABC10．在中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有唯一解的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AD【分析】根據(jù)正弦定理，余弦定理，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對于A：三角形三邊確定，三角形唯一，故A正確；對于B：，則，故三角形有2個解，故B錯誤；對于C：由余弦定理得，所以，，方程無解，所以無法構(gòu)成三角形，故C錯誤；對于D：由余弦定理得，所以，解得或（舍），所以能唯一確定三角形，故D正確.故選：AD11．已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．與共線 B．與的夾角余弦值為C．向量在向量上的投影向量為 D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)關(guān)系判斷選項(xiàng)A；利用兩個向量的夾角公式驗(yàn)證選項(xiàng) B；利用投影向量的公式求解判斷選項(xiàng)C；利用向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】對于A，，又，，與不共線，故A錯誤；對于B，，又，，故B正確；對于C，向量在向量上的投影向量為，故C錯誤；對于D，，則，故D正確；故選：BD.12．已知函數(shù)，（    ）A．若在區(qū)間上單調(diào)，則B．將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到曲線C，若曲線C對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為C．若方程在區(qū)間上恰有三個解，則D．關(guān)于x的方程在上有兩個不同的解，則【答案】BCD【分析】對于A：求出單調(diào)滿足的關(guān)系與選項(xiàng)比較即可；對于B平移后初相應(yīng)為的奇數(shù)倍；對于C求出相位滿足的范圍，卡右端點(diǎn)的范圍即可；對于D，求出相位滿足的范圍，卡右端點(diǎn)的范圍即可．【詳解】對于A，，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，由，則，又，解得，所以，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，同理可得，有，綜上，或，A錯誤；對于B，的圖像向左平移個單位得到，若為偶函數(shù)，則有，解得，，而，所以最小值為，B正確；對于C，，，函數(shù)在區(qū)間上恰有三個極值點(diǎn)，則有，解得：，C正確；對于D，，即，，，則，解得： ，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究函數(shù)的性質(zhì)時可將視為一個整體，用換元法或整體代入，結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題. 三、填空題13．計(jì)算：          ．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)冪的運(yùn)算法則，直接求解即可．【詳解】解：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式化簡求值，涉及指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.14．如圖1，一個正三棱柱容器，底面邊長為1，高為2，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖2，這是水面恰好是中截面，則圖1中容器水面的高度是      ．【答案】/1.5【分析】根據(jù)水的體積與棱柱體積的關(guān)系得出結(jié)論．【詳解】棱柱的體積公式是，其中是q底面積，是高．在圖2中，水面是中截面，水面以上部分是一個三棱柱，所以這個三棱柱的底面積是原來三棱柱底面的，從而這個小三棱柱的體積是大棱柱體積的（高一樣），所以水的體積是大三棱柱體積的，那么圖1中水面的高度是棱柱高的，即為．故答案為：．15．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，，，若對任意實(shí)數(shù)，點(diǎn)都滿足，則的最小值為        ．【答案】5【分析】設(shè)P為(x，y)，根據(jù)對任意實(shí)數(shù)t∈R可求出的范圍，從而可求的最小值．【詳解】設(shè)P為(x，y)，則，，，，∴，，∵對任意實(shí)數(shù)，∴，∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，時取等號．故答案為：5．16．已知，若，則的最小值是           .【答案】【分析】將用與表示，湊配常數(shù)1，使用“1”的代換與基本不等式求解.【詳解】設(shè)，由對應(yīng)系數(shù)相等得 ，得 所以整理得即 所以.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng) 時，等號可取到.故答案為： 四、解答題17．已知，，且.(1)求與的夾角；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，即可得解；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，再求出k的值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故與的夾角為.（2）因?yàn)?/span>，所以，即，即，所以，即，解得.18．已知，函數(shù).（1）若，求函數(shù)的最值及對應(yīng)的的值；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）時，，時，；（2）.【分析】（1）先利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和輔助角公式，化簡.由的取值范圍，求得的取值范圍，并由此得到函數(shù)的最大值和最小值及對應(yīng)的值.（2）將原不等式等價(jià)變形為恒成立，由（1）知且，解得.【詳解】(1)因?yàn)?/span>，，所以===，∵x∈，∴， 當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時， .(2)方法一:∵），，故的取值范圍為. 方法二：∵），，故的取值范圍是.19．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F，M分別是棱的中點(diǎn).(1)求證：E、M、B、D四點(diǎn)共面；(2)是否存在過點(diǎn)E，M且與平面平行的平面?若存在，請作出這個平面并證明，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，圖形見解析，證明見解析 【分析】（1）連接、，即可證明四邊形為平行四邊形，則，再由中位線的性質(zhì)得到，即可得到，從而得證；（2）取靠近的四等分點(diǎn)，連接、，平面即為所求，取的中點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，連接，即可證明、，從而得證；【詳解】（1）證明：連接、，在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，所以，所以、、、四點(diǎn)共面；（2）解：取靠近的四等分點(diǎn)，連接、，則平面平面，平面即為所求，圖形如下所示，證明：取的中點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，連接，依題意可得且，所以為平行四邊形，所以又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，顯然為靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，又，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面；20．銳角中，已知．(1)求角B；(2)若，求的面積S的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)二倍角公式化簡，可得，解出B即可；（2）由已知條件，得到A的范圍，將面積公式化簡變形用A的三角函數(shù)表示，求出最值.【詳解】（1）∵∴  由銳角，可知．（2）由（1）知，，，則又，，則由正弦定理知，，則，則∵，∴又，則，∴21．已知函數(shù)（，）.(1)若函數(shù)的圖像與直線均無公共點(diǎn)，求證：；(2)若，時，對于給定的負(fù)數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使時，都有，求的最大值；(3)若，且，又時，恒有，求的解析式.【答案】(1)證明見解析(2)(3) 【分析】（1）圖像無公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成二次方程無解，用判別式解決；（2）把，代入函數(shù)解析式，配方得到頂點(diǎn)式，由a小于0，得到函數(shù)有最大值，表示出這個最大值，分最大值大于5和最大值小于等于5兩種類型討論，根據(jù)求根公式求出，即可判斷的最大值；（3）由，解得，由函數(shù)的最小值點(diǎn)和，解出，得到函數(shù)解析式.【詳解】（1）證明：函數(shù)的圖像與直線無公共點(diǎn)，即方程無解，即方程無解，，①；同理，函數(shù)的圖像與直線無公共點(diǎn)，即方程無解，即方程無解，，②；①加②得即，得證.（2）把，代入得：，，所以，又，①當(dāng)，即時，滿足：且，所以是方程的較小根，則；  ②當(dāng)即時，此時，所以是的較大根，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值；（3）因?yàn)閷θ我獾?/span>，，，，對稱軸為，解得，又，所以在處取得最小值，且，對稱軸為，即，解得，從而，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：二次函數(shù)的最值問題，可以函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)條件和所給區(qū)間分類討論；存在性問題要注意靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可先假設(shè)存在，再借助已知條件求解，如果有解(求出的結(jié)果符合題目要求)，則假設(shè)成立，即存在；如果無解(推出矛盾或求出的結(jié)果不符合題目要求)，則假設(shè)不成立，即不存在． 

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