2022-2023學(xué)年廣東省東莞市東莞高級中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

這是一份2022-2023學(xué)年廣東省東莞市東莞高級中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案，共18頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年廣東省東莞市東莞高級中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.2．某士官參加軍區(qū)射擊比賽，打了6發(fā)子彈，報靶數(shù)據(jù)如下：7，8，9，10，6，8，（單位：環(huán)），下列說法不正確的是（    ）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8 B．這組數(shù)據(jù)的極差是4C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8 D．這組數(shù)據(jù)的方差是2【答案】D【分析】由平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差的概念計算后逐一判斷【詳解】對于A，平均數(shù)為，故A正確對于B，極差為，故B正確，對于C，數(shù)據(jù)排序后為，中位數(shù)為，故C正確，對于D，方差為，故D錯誤，故選：D3．已知兩條不同的直線、及平面、，則下列命題正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】由線面、面面平行垂直的判定和性質(zhì)可得.【詳解】選項(xiàng)A：若，則可能相交、平行或異面，故A錯誤；選項(xiàng)B：若，則可能相交、平行或異面，故B錯誤；選項(xiàng)C：若，則，故C正確；選項(xiàng)D：，則可能平行或異面，故D錯誤.故選：C4．在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際，某外國語學(xué)校組織了“黨史知識競賽”活動，已知該外國語學(xué)校共有高中生2700名，用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本參加活動，其中高三年級抽取了14人，高二年級抽取了15人，則該校高一年級學(xué)生人數(shù)為（    ）A．1680 B．1020 C．960 D．720【答案】C【分析】先得到從該校高一年級抽取的學(xué)生人數(shù)為人，根據(jù)分層抽樣的方法列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)該校高一年級學(xué)生人數(shù)為人，由題意，從該校高一年級抽取的學(xué)生人數(shù)為人，可得，解得人，即從該校高一年級學(xué)生的人數(shù)為人.故選：C.5．中角，，所對邊的長分別為，，.向量，.若，則角的大小為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量共線可得，然后由余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，，所以，即，由余弦定理可得，因?yàn)?/span>，所以，故選：B6．在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E為AD上靠近D點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，若，則（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則得到，對比計算得到答案.【詳解】.故.故選：C.7．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德是世界上公認(rèn)的三位最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其墓碑上刻著他認(rèn)為最滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)——圓柱容球定理.如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊（即圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑），則圓柱的表面積與球的表面積之比為（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為，從而得到圓柱的底面半徑為，高為，從而求出圓柱的表面積和球的表面積，得到答案.【詳解】設(shè)球的半徑為，根據(jù)題意可得圓柱的底面半徑為，高為，設(shè)圓柱的表面積為，球的表面積為，.故圓柱的表面積與球的表面積之比為3：2.故選：C8．如圖，直角梯形中，，，，梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺，可知外接球的球心一定在線段或的延長線上.取圓臺的軸截面，分情況討論，作圖，分別根據(jù)幾何關(guān)系求出球的半徑，即可得出答案.【詳解】由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺.取圓臺的軸截面由題意知，球心一定在線段或的延長線上如圖1，當(dāng)球心在線段上時.過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以，.設(shè)球的半徑為，，，則由勾股定理可得，，即， 整理可得，解得（舍去）；如圖2，當(dāng)球心在的延長線上時.過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以，.設(shè)球的半徑為，，則，則由勾股定理可得，，即， 整理可得，解得.所以，，所以，圓臺外接球的表面積為.故選：D. 二、多選題9．如圖為我國2020年2月至10月的同城快遞量與異地快遞量的月統(tǒng)計圖：根據(jù)統(tǒng)計圖，下列結(jié)論正確的是（    ）A．異地快遞量逐月遞增B．同城快遞量，9月份多于10月份C．同城和異地的月快遞量達(dá)到峰值的月份相同D．同城和異地的快遞量的月增長率達(dá)到最大的月份相同【答案】BD【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)分析得到BD正確.【詳解】由我國2020年2月至10月的同城快遞量與異地快遞量的月統(tǒng)計圖，知：對于A，異地快遞量2月到6月逐月遞增，6月到7月遞減，7月到10月逐月遞增，故A正確；對于B，月同城快遞量113215.1萬件，10月同城快遞量97454.2萬件，9月份多于10月份，故B正確；對于C，同城的月快遞量達(dá)到峰值的月份是6月，異地的月快遞量達(dá)到峰值的月份是10月，故C錯誤；對于D，同城和異地的快遞量的月增長率達(dá)到最大的月份相同，都是3月，故D正確.故選：BD.10．八卦是中國文化中的基本哲學(xué)概念，如圖①是八卦模型圖，其平面圖形記為圖②中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則下列結(jié)論中正確的是（　?。?/span>  A． B． C． D．【答案】ACD【分析】結(jié)合正八邊形的幾何性質(zhì)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，，在中，正八面體的邊長為，三角形是等腰直角三角形，所以，所以，A選項(xiàng)正確.由于，所以三角形是直角三角形，所以，B選項(xiàng)錯誤.因?yàn)?/span>，，，D選項(xiàng)正確.由于，，所以三角形是直角三角形，且，所以C選項(xiàng)正確.故選：ACD.  11．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（    ）A．若，，則只有一解B．若，則是銳角三角形C．若O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則O為的垂心D．若，則的形狀是等腰或直角三角形【答案】ACD【分析】利用正弦定理可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的定義判斷B；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷C；根據(jù)余弦定理化簡已知等式可判斷D.【詳解】對于A，由正弦定理得，因?yàn)?/span>B為三角形內(nèi)角，故，即只有一解，A正確；對于B，由可知，即三角形內(nèi)角A為銳角，但B，C大小不確定，推不出是銳角三角形，B錯誤；對于C，由可得，即即，同理可得，即O為的垂心，C正確；對于D，由得，，即，即，即或，即的形狀是等腰或直角三角形，D正確，故選：ACD12．如圖，正方體棱長為1，P是上的一個動點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（    ）  A．BP的最小值為B．當(dāng)P在上運(yùn)動時，都有C．當(dāng)P在直線上運(yùn)動時，三棱錐的體積不變D．的最小值為【答案】ABC【分析】判斷BP的最小值即為正三角形的邊上的高，即可判斷A；證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷B；根據(jù)線面平行的性質(zhì)結(jié)合棱錐的體積公式可判斷C；將平面沿著翻折到平面上，將的最小值轉(zhuǎn)化為線段AC的長度，判斷D.【詳解】對于A，連接，在正方體中，，故BP的最小值為正三角形的邊上的高，即，A正確；對于B，連接，  由于平面，平面，故，而平面，故平面，平面，故；同理可證，平面，故平面，平面，故，即，B正確；對于C，連接，因?yàn)?/span>，  故四邊形為平行四邊形，則平面，平面，故平面，P點(diǎn)在直線上運(yùn)動，即P到平面的距離為定值，而為邊長為的正三角形，其面積為定值，故三棱錐的體積為定值，由于故三棱錐的體積為定值，C正確；對于D，將平面沿著翻折到平面上，連接，  與交于點(diǎn)P，則即為的最小值；在中，，，即的最小值為，D錯誤；故選：ABC【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的難點(diǎn)在于D選項(xiàng)的判斷，解答時要采用將空間問題平面化的方法，即將兩平面翻折到一個平面上，從而將兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段的長度問題. 三、填空題13．已知向量、滿足，則           【答案】【分析】將，兩邊同時平方，即可求得兩向量乘積，再將要求的關(guān)系式平方代入即可.【詳解】，，解得，所以，則.故答案為：14．如圖所示，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是        ．【答案】【分析】將直觀圖還原可得，原圖形為平行四邊形，根據(jù)斜二測畫法的法則，結(jié)合勾股定理，可得出平行四邊形各邊長，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，則將直觀圖還原為原圖形如下圖原圖形為平行四邊形，其中，，，所以，，所以，的周長為.故答案為：.15．已知圓錐的母線為3，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為       ．【答案】【分析】先根據(jù)題意求出側(cè)面展開所成扇形的弧長即底面圓的周長，進(jìn)而求出底面圓的半徑和棱錐的高，最后根據(jù)錐體體積公式求得答案.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，根據(jù)題意，側(cè)面展開所成扇形的弧長為，所以，則，于是圓錐的體積為.故答案為：.16．如圖，在中，，點(diǎn)在線段上，且，，則面積的最大值為   ．【答案】【分析】利用余弦定理及基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，由于，得，即，整理，得，在中，由余弦定理，得,即，代入式化簡整理，得由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，當(dāng)時，取得最大值為.所以面積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵就是利用余弦定理算兩次，得到表達(dá)式利用基本不等式得出的最大值，結(jié)合三角形的面積公式即可. 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位.(1)求和；(2)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個根，求實(shí)數(shù)m，n的值.【答案】(1)，．(2)， 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算規(guī)則計算；（2）將z代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)等于0的意義求解.【詳解】（1）∵ ，∴ ， ；（2）∵復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個根，∴ ，∴ ，∴ ，∴，解得，；綜上， .18．如圖，在等腰梯形中，，，，E是邊的中點(diǎn)．(1)試用，表示，；(2)求的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用幾何圖形，結(jié)合平面向量基本定理，利用基底表示向量；（2）以向量為基底，表示向量，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義，即可求解.【詳解】（1），，．（2）由題意可知，，，所以．19．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，由中位線的性質(zhì)得到，且，可得出平面，于此得出直線與平面所成的角為，然后在中計算即可.【詳解】（1） 連接，交于點(diǎn)，連接，由底面是菱形，知是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴ . 又∵平面，平面,∴平面；（2）取中點(diǎn)，連接，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴平面，∴直線與平面所成角為，∵，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的計算，在計算直線與平面所成角時，要注意過點(diǎn)作平面的垂線，構(gòu)造出直線與平面所成的角，再選擇合適的直角三角形求解，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題．20．為響應(yīng)十九大報告中提出的“綠水青山就是金山銀山”的號召，某市旅游局投入若干經(jīng)費(fèi)對全市各旅游景區(qū)的環(huán)境進(jìn)行綜合治理，并且對各旅游景區(qū)收益的增加值作了初步的估計.根據(jù)旅游局的治理規(guī)劃方案，收集了各旅游景區(qū)在治理后收益的增加值，將所有數(shù)據(jù)按照[0，2)，[2，4)，…，[10，12)分成6組，繪制出如下頻率分布直方圖.(1)求圖中m的值；(2)利用頻率分布直方圖估算全市旅游景區(qū)收益增加值的平均數(shù)(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值)；(3)若該市旅游局打算獎勵收益增加值前10%的旅游景區(qū)，需要制定一個標(biāo)準(zhǔn)t萬元(即收益增加值大于t則獎勵)估計t的值，并說明理由.【答案】(1)(2)(3)，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)概率和為可求出結(jié)果；（2）用各組的區(qū)間中點(diǎn)值乘以該組區(qū)間的面積，再相加可求出結(jié)果；（3）先判斷所在的組，再根據(jù)益增加值前10%列式可求出結(jié)果.【詳解】（1）由，得.（2）.（3）因?yàn)?/span>，，，，，所以，由，得.21．已知為銳角三角形，且．(1)若，求；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用三角恒等變換可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得；（2）利用正弦定理結(jié)合條件可得，然后根據(jù)條件及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得其范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；（2）因?yàn)?/span>，所以，又，可得，在中，，所以，在中，，因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以，得，所以，所以，即的取值范圍為.22．如圖所示，在長方形中，，，為的中點(diǎn)，以為折痕，把折起到的位置，且平面平面．（1）求證：；（2）求四棱錐的體積；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得//平面，若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【解析】（1）先證明,又平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)可知平面,則可證明；（2）取的中點(diǎn)，連接，則可證明平面,所以;（3）連接交于，假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得//平面，連接．要使//平面,只需//，然后采用幾何法確定點(diǎn)的位置.【詳解】解：（1）證明：根據(jù)題意可知，在長方形中，和為等腰直角三角形，∴，∴，即．∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴．（2）取的中點(diǎn)，連接，則，且．∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∴．（3）如圖所示，連接交于，假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得//平面，連接．∵平面，平面平面，∴//，在中，，∵，∴，∴，即，∴在棱上存在一點(diǎn)P，且，使得//平面．【點(diǎn)睛】本題考查空間垂直關(guān)系的判斷及證明，考查棱錐的體積計算、以及存在性動點(diǎn)問題，難度一般，考查學(xué)生的邏輯推理能力、計算能力及空間想象能力.