2022-2023學年廣東省東莞市第四高級中學高一下學期2月模擬數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合, 則=（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式后由補集與并集的概念求解【詳解】由題意得，，則故選：B2．已知命題，都有；命題，使得，則下列命題中為真命題的是（    ）A．p且q B．且q C．p且 D．且【答案】B【分析】可以通過舉例來說明命題為假命題，命題為真命題，所以為真命題，為假命題，從而可以判斷選項的真假.【詳解】因為當時，，所以命題，都有為假命題；因為當時，，滿足，所以命題，使得是真命題，所以為真命題，為假命題，所以p且q為假命題，且q為真命題，p且為假命題，且為假命題.故選：B.3．“m=-2”是“直線l1: mx+4y+4=0與直線l2: x+my+1=0平行”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因為m=-2，所以直線l1: x-2y-2=0，直線l2: x-2y+1=0平行，故充分；當直線l1: mx+4y+4=0與直線l2: x+my+1=0平行時，，解得或，當時，直線l1: x+2y+2=0與直線l2: x+2y+1=0平行，當時，直線l1: x-2y-2=0，直線l2: x-2y+1=0平行，故不必要，故選：A4．已知函數(shù)滿足，且當時，，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由可得函數(shù)為偶函數(shù)，則，據(jù)此結(jié)合函數(shù)的解析式分析可得在上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，然后即可得出答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，即函數(shù)為偶函數(shù)，故,當時，, 分析易得為減函數(shù)，則在上為增函數(shù)，又由，則有，故選：B【點睛】本題考查比較大小問題，難點在于利用偶函數(shù)的性質(zhì)判斷出在上為增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可5．函數(shù)（且）的圖象恒過點，則下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過點的是(  )A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出函數(shù)所過定點，然后分別代入選項檢驗得到答案.【詳解】函數(shù)（且）中，當時，，所以它的圖象恒過點, A. 將點代入,成立; B. 代入點不成立; C. ,代入點成立; D. 代入點成立.故選：B．6．有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，中國快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在年約為萬噸，年的年增長率為，有專家預測，如果不采取措施，未來包裝垃圾還將以此增長率增長，從（    ）年開始，快遞業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過萬噸.（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】B【解析】表示從年開始增加的年份的數(shù)量，由題意可得，解出滿足該不等式的最小正整數(shù)的值，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為萬噸，表示從年開始增加的年份的數(shù)量，由題意可得，由于第年快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過萬噸，即，，兩邊取對數(shù)得，即，因此，從年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過萬噸，故選：B．【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)模型在實際生活中的應用，列出不等式是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于中檔題．7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】推導出函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，以及函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，利用函數(shù)的周期性和單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知，故函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，則，，，因為奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上也為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，即.故選：D.8．已知函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，先求得當時的導函數(shù)，利用導函數(shù)判斷函數(shù)在時單調(diào)區(qū)間，并求得極小值；再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得為偶函數(shù).在平面直角坐標系中畫出與的圖象，即可由函數(shù)圖象判斷兩個函數(shù)交點個數(shù).【詳解】當時，，則，令可得(舍去)或；當時，，當時，，故在(0，1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.當時，則，且，故的圖象關(guān)于y軸對稱.因此，在同一坐標系中畫出函數(shù)與曲線的圖象如圖所示：由圖可知，它們有5個交點.故選:D【點睛】本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及求極值，分段函數(shù)奇偶性的判定，由數(shù)形結(jié)合法求兩個函數(shù)交點個數(shù)，屬于中檔題. 二、多選題9．下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的有（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷可得；【詳解】解：對于A：定義域為的奇函數(shù)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B：定義域為，且，即為奇函數(shù)，又函數(shù)與在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，故B正確；對于C：定義域為為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，又單調(diào)遞減，故C正確；對于D：定義域為為，，故函數(shù)為奇函數(shù)，又，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，故D錯誤；故選：BC10．已知，，，則下列說法正確的是（    ）A． B． C．D． E．【答案】AC【解析】根據(jù)題意，得到，兩式分別平方相加，根據(jù)兩角差的余弦公式，得到，可判斷AB；根據(jù)，結(jié)合題意，得到，求出，即可判斷出結(jié)果.【詳解】由已知，得.兩式分別平方相加，得.∴，∴，∴A正確；B錯誤.∵，∴，∴，∴C正確，D、E錯誤，故選：AC.【點睛】本題主要考查三角恒等變換的應用，給值求值的問題，以及給值求角的問題，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系，以及兩角差的余弦公式即可，屬于?？碱}型.11．已知，則下列式子一定成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)基本不等式，逐一分析各個選項，即可得答案.【詳解】對于A：因為，所以，所以，當且僅當時等號成立，故A正確；對于B：，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，，所以，故B錯誤；對于C：，當且僅當時等號成立，，當且僅當時等號成立，所以，故C錯誤；對于D：，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以，所以，故D正確，故選：AD12．已知函數(shù)函數(shù)，則（    ）A．函數(shù)的值域為B．存在實數(shù)，使得C．若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為D．若函數(shù)恰好有5個零點，則函數(shù)的5個零點之積的取值范圍是【答案】BD【分析】根據(jù)分段函數(shù)的圖象性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】解：對于A選項，畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，可知函數(shù)的值域為，其中，故選項A錯誤；對于B選項，若時，若，有，函數(shù)和的圖象有交點，如圖：故選項B正確；對于C選項，令，由，設(shè)，①當時，，舍去；②當時，，，可得，故選項C錯誤；對于D選項，∵函數(shù)恰好有5個不同的零點，∴方程有5個根，可得，有或，不妨設(shè)，如圖：可知，可得，故，故選項D正確.故選：BD． 三、填空題13．如果幾個函數(shù)的定義域相同、值域也相同，但解析式不同，稱這幾個函數(shù)為“同域函數(shù)”. 試寫出的一個“同域函數(shù)”的解析式為____________.【答案】，（答案不唯一）【解析】由解析式可求得函數(shù)定義域；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的值域；根據(jù)“同域函數(shù)”的定義寫出一個符合題意的函數(shù)即可.【詳解】由得：    的定義域為又為定義域內(nèi)的增函數(shù)    值域為的一個“同域函數(shù)”為，故答案為：，（答案不唯一）【點睛】本題考查函數(shù)新定義的問題，關(guān)鍵是能夠明確新定義的含義實際是確定定義域和值域相同的函數(shù)，通過求解函數(shù)的定義域和值域得到所求函數(shù).14．的值是________．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式，準確運算，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導公式，可得.故答案為：.15．=_____________.【答案】12【分析】根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質(zhì)，即可化簡，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質(zhì)，可得.【點睛】本題主要考查了根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質(zhì)的化簡求值，其中解答中熟記指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質(zhì)，合理準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖像在區(qū)間上恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據(jù)輔助角公式求解，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】，由，得，要使函數(shù)的圖像在區(qū)間上恰有2個零點，則，所以故答案為： 四、解答題17．計算：（1）（2）【答案】（1）2；（2）.【分析】（1）直接根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可得結(jié)果；（2）直接根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)計算即可得結(jié)果.【詳解】（1）原式.（2）原式.【點睛】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的計算，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.18．已知集合==,全集.(1)當時,求;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).【分析】（1）分別求出集合，根據(jù)集合運算的定義解答;(2)①當即時,A=?,符合?;②,即時,要使得，應有?.據(jù)此解答.【詳解】首先==,(1)當時,,于是,,(2)①當即時,A=?,符合;②,即時,要使得,應有?,又,所以.綜上,若,的取值范圍為【點睛】(1)認清元素的屬性，解決集合問題時，認清集合中元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件.(2)注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導致解題錯誤.(3)防范空集.在解決有關(guān)等集合問題時，往往忽略空集的情況，一定先考慮?是否成立，以防漏解.19．已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期和最大值；(2)設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)最小正周期為，最大值.(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為 【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式以及正弦函數(shù)的有界性可求得結(jié)果；（2）求得，利用余弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.【詳解】（1）解：.所以，的最小正周期.當時，取得最大值．（2）解：由（1）知，又，由，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.由，解得.所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.20．某公司的新能源產(chǎn)品上市后在國內(nèi)外同時銷售，已知第一批產(chǎn)品上市銷售40天內(nèi)全部售完，該公司對這批產(chǎn)品上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進行了跟蹤調(diào)查，如圖所示，其中圖①中的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖②中的拋物線表示的是國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；下表表示的是產(chǎn)品廣告費用、產(chǎn)品成本、產(chǎn)品銷售價格與上市時間的關(guān)系．圖①           圖② 第t天產(chǎn)品廣告費用（單位：萬元）每件產(chǎn)品成本（單位：萬元）每件產(chǎn)品銷售價格（單位：萬元）361035 (1)分別寫出國外市場的日銷售量、國內(nèi)市場的日銷售量與產(chǎn)品上市時間t的函數(shù)關(guān)系式；(2)產(chǎn)品上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤超過260萬元?(日銷售利潤=(單件產(chǎn)品銷售價－單件產(chǎn)品成本)×日銷售量－當天廣告費用，)【答案】（1），，，；（2）在第，共天，這家公司的日銷售利潤超過萬元.【分析】（1）根據(jù)兩個圖像分別求出（分段函數(shù)）、（二次函數(shù)）的解析式.（2）根據(jù)（1）得到分段函數(shù)，再根據(jù)表格中的成本和銷售價格得到日銷售利潤的分段函數(shù)，解不等式可得的取值范圍.【詳解】（1）由圖①的折線圖可得：，同理圖②表示的是二次函數(shù)一部分，可得：，，.（2）設(shè)這家公司的日銷售利潤為，則國內(nèi)外日銷售總量為由表可知：，當時，，故在上單調(diào)遞增，且，；當時，令，無解； 當時，.答：新能源產(chǎn)品上市后，在第16,17,18,19,20，共5天，這家公司的日銷售利潤超過260萬元.【點睛】本題為函數(shù)的應用，要求根據(jù)實際問題構(gòu)建分段函數(shù)模型并利用模型解決實際問題，數(shù)學模型構(gòu)建時要根據(jù)已有的計算公式進行計算，要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域等選擇合理方法解不等式.21．某公司帶來了高端智能家居產(chǎn)品參展，供購商洽談采購，并決定大量投放中國市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入90元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為萬元，.(1)求年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤=銷售收入一成本）；(2)當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1)(2)當年產(chǎn)量為29萬臺時，該公司在該產(chǎn)品中獲得的利潤最大，最大利潤為2380萬元. 【分析】(1)根據(jù)題意，每萬臺的銷售收入是一個分段函數(shù)，根據(jù)生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量求出對應的解析式即可求解；(2)分段討論函數(shù)的最值，最后比較大小得出結(jié)果.【詳解】（1）當時，；當時，，所以函數(shù)解析式為.（2）當時，因為，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取最大值，；當時，(當且僅當，即時等號成立)因為，所以時，的最大值為萬元.22．對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”.（1）二次函數(shù)（且）.①若，有恒成立，求的取值范圍；②判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；（2）若為上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）①；②不是“局部奇函數(shù)”，答案見解析；（2）.【解析】（1）①由可得；由且結(jié)合參變量分離法可得出，利用基本不等式求得的最大值，由此可得出實數(shù)的取值范圍；②利用“局部奇函數(shù)”的定義得出，判斷該方程是否有解即可得出結(jié)論；（2）利用“局部奇函數(shù)”的定義可得出，換元，求得函數(shù)在區(qū)間上的值域，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）①由題意可得，解得；當時，由，可得，則，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；②若函數(shù)為局部奇函數(shù)，則存在使得，即，可得出，，，則等式不成立.因此，函數(shù)不是“局部奇函數(shù)”；（2）為“局部奇函數(shù)”，則存在使得，即，可得，可得出，，令，當且僅當時，等號成立，則，，由于函數(shù)和在上都為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】求解二次方程在區(qū)間上有解的問題，一般利用分類討論法與參變量分離法求解，利用分類討論法求解時要分析二次函數(shù)的對稱軸與定義域的位置關(guān)系，結(jié)合端點函數(shù)值符號以及判別式求解，本題利用參變量分離法得出的取值范圍即為函數(shù)在區(qū)間上值域問題，極大地簡化了分析步驟. 

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