2022-2023學(xué)年廣東省深圳市龍華中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知向量，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求坐標(biāo)即可.【詳解】∵，，∴，，∴，故選：B.2．已知復(fù)數(shù)的模等于2，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．1或3 B．1 C．3 D．2【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)的模等于2，，化為：，解得或．故選：．3．，是不同的直線，，是不重合的平面，下列說法正確的是　　A．若，，，則B．若，，，，則C．若，，則D．，是異面直線，若，，，，則【答案】D【分析】利用反例判斷，，C的正誤，利用平面平行的判定定理判斷D的正誤即可．【詳解】解：對于，若，，，則，也可能，是異面直線，所以不正確；對于，若，，，，則，當(dāng)時(shí)，可能有．所以不正確；對于，若，，則，也可能，所以不正確；對于，過作，，直線，是相交直線，確定平面，由題意可得，，，，所以正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面，直線與直線，平面與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查基本知識(shí)，以及定理的應(yīng)用，屬于中檔題．4．如圖，在中，為線段上的一點(diǎn)，且，則A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得到，根據(jù)題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】由已知得，所以，又，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用，熟記平面向量基本定理即可，屬于常考題型.5．已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，根據(jù)圓錐的底面周長為圓錐側(cè)面展開圖的弧長可得答案.【詳解】因?yàn)閳A錐的底面半徑為，它的側(cè)面展開圖為半圓，所以圓錐的底面周長為，即為圓錐側(cè)面展開圖的弧長，設(shè)圓錐的母線長為l，則，解得，所以圓錐的母線長為.故選：A.6．已知向量滿足，若，則向量與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將兩邊平方，根據(jù)數(shù)量積公式化簡求解即可【詳解】由已知，解得，∴向量與的夾角為．故選：C7．阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家.他推導(dǎo)出的結(jié)論“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球（如圖所示），該球與圓柱的兩個(gè)底面及側(cè)面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，若球的體積為，則圓柱的體積為 （    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)球的體積公式求出半徑，根據(jù)圓柱的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，所以，所以圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故選：C8．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．已知在鱉臑中，滿足平面，且，，，則此鱉臑外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意畫出圖形，然后補(bǔ)形為長方體，求出長方體的對角線長，即可得到外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案．【詳解】由，，，∴，即有，又平面，所以，，兩兩互相垂直，該瞥臑如圖所示： 圖形可以補(bǔ)形為長方體，該瞥臑的外接球即該長方體的外接球，是長方體的體對角線，也是外接球的直徑，設(shè)外接球半徑為R，則，所以瞥臑的外接球表面積為.故選：B． 二、多選題9．下列命題錯(cuò)誤的是（    ）A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)C．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，側(cè)面是等腰梯形【答案】ABD【分析】直接利用棱柱，棱錐，棱臺(tái)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，棱柱的側(cè)面不一定全等，故錯(cuò)誤；對于B，由棱臺(tái)的定義可知只有當(dāng)平面與底面平行時(shí)，所截部分才是棱臺(tái)，故錯(cuò)誤；對于C，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直，比如正方體中共點(diǎn)的三個(gè)相鄰平面，故正確；對于D，棱臺(tái)的側(cè)面不一定是等腰梯形，故錯(cuò)誤.綜上，ABD錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)、線、面間位置特征的判斷，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.10．下列命題正確的是（    ）A．B．單位向量，，滿足C．對于向量，，有恒成立D．向量，不能作為所在平面內(nèi)的一組基底【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)平面向量減法法則得到；B選項(xiàng)，根據(jù)公式得到；C選項(xiàng)，利用平面向量數(shù)量積公式得到；D選項(xiàng)，先根據(jù)公式得到不共線，從而得到，能作為所在平面內(nèi)的一組基底.【詳解】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，單位向量，，滿足，故，B正確；C選項(xiàng)，對于向量，，有，C正確；D選項(xiàng)，，，因?yàn)?/span>，所以不共線，故能作為所在平面內(nèi)的一組基底，D錯(cuò)誤.故選：BC11．一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東方向上，距離為12海里，燈塔C在A的北偏西30°方向上，距離為6海里，該輪船從A處沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東方向上，下面結(jié)論正確的有（    ）A．海里 B．海里C．或 D．燈塔C在D的南偏西方向上【答案】ABD【分析】畫出示意圖，由題意確定相應(yīng)角大小、邊長度，利用正余弦定理求、，進(jìn)而判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)，，，則，所以，則海里，A正確；所以海里，B正確；由，則，故，燈塔C在D的南偏西方向上，C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD12．（多選）如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．截面PQMNC． D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【分析】根據(jù)線線、線面平行判定和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：因?yàn)榻孛?/span>是正方形 ，所以，又平面，平面所以平面又平面,平面平面所以因?yàn)?/span>截面，截面，所以截面，故B正確同理可證因?yàn)?/span>，所以，故A正確又所以異面直線與所成的角為，故D正確和 不一定相等，故C錯(cuò)誤故選：ABD 三、填空題13．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為          .【答案】【解析】，然后算出即可.【詳解】，所以所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部為故答案為：14．如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2cm，高為5cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長為      cm．【答案】13【分析】將三棱柱展開兩次如，不難發(fā)現(xiàn)最短距離是六個(gè)矩形對角線的連線，正好相當(dāng)于繞三棱柱轉(zhuǎn)兩次的最短路徑．【詳解】將正三棱柱沿側(cè)棱展開，再拼接一次，其側(cè)面展開圖如圖所示，在展開圖中，最短距離是六個(gè)矩形構(gòu)成的大矩形對角線的長度，也即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值．由已知求得矩形的長等于，寬等于5，由勾股定理．故答案為：13．15．已知菱形ABCD的邊長為2，，點(diǎn)P在BC邊上（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是           .【答案】【分析】以C為原點(diǎn)，為x軸正方向，過C垂直向上方向?yàn)?/span>y軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解.【詳解】如圖示，以C為原點(diǎn)，為x軸正方向，過C垂直向上方向?yàn)?/span>y軸建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)榱庑?/span>ABCD的邊長為2，，則,,,.因?yàn)辄c(diǎn)P在BC邊上（包括端點(diǎn)），所以,其中.所以,,所以.因?yàn)?/span>，所以.故答案為：16．如圖，在正四棱錐S-ABCD（頂點(diǎn)S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心）中，底邊長2，高，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持PE⊥AC.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長度    【答案】/【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)P的軌跡為三角形EFG，其中G、F為中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理求出EF、GE、GF，從而求出軌跡的長度．【詳解】由題意，連接，取，分別取的中點(diǎn)，連接，如下圖：則，平面，由平面，則，在正方形中，，，平面，平面，在中，，平面，平面，平面，同理可得平面，，平面，平面平面，故平面，則點(diǎn)的軌跡為的三邊，由中位線定理可知，，在正方形中，，則，在中，，同理，點(diǎn)的軌跡長為.故答案為：或. 四、解答題17．已知、為單位向量，且、的夾角為，向量，．(1)求；(2)求與的夾角．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的定義求出的值，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值；（2）求出、，設(shè)與的夾角為，求出的值，結(jié)合向量夾角的取值范圍可得出的值.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>、為單位向量，且、的夾角為，則，又因?yàn)?/span>，，則.（2）解：由已知條件可得，，設(shè)向量、的夾角為，則，因?yàn)?/span>，故，因此，向量、的夾角為.18．如圖，在直三棱柱中，底面是等邊三角形，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)證明線面平行，用線面平行的判定定理，在面內(nèi)找一條直線與平行；(2)等體積法是求三棱錐的常用方法：根據(jù)題意，．【詳解】（1）連結(jié)交于，連結(jié)．因?yàn)?/span>，都是中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因?yàn)?/span>平面，所以.取的中點(diǎn)，連接，得.又平面，平面，所以.又平面，平面，，所以平面.又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為.即三棱錐的高.又因?yàn)?/span>，所以.又，所以.另解：.【點(diǎn)睛】立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問是計(jì)算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離）.如果當(dāng)時(shí)求體積，常用的方法有：(1) 直接法；(2)等體積法；(3) 補(bǔ)形法；(4)向量法.19．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大?。?/span>（2）若，，的周長為12，求的面積.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）已知等式結(jié)合余弦定理，二倍角的正弦公式可求得；（2）由余弦定理及可求得，再由三角形面積公式計(jì)算．【詳解】（1）由余弦定理知，，因?yàn)?/span>，所以，即.又，所以或，所以或.（2）由（1）及，得，因?yàn)?/span>，且，所以，由余弦定理知，，即，所以，所以的面積.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查余弦定理、三角形面積公式，考查二倍角公式．解題關(guān)鍵是由已知條件的形式，確定先用余弦定理進(jìn)行公式變形，再由三角公式求得角．20．如圖1是半圓（以為直徑）與組合成的平面圖，其中，圖2是將半圓沿著直徑折起得到的，且半圓所在平面與所在平面垂直，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求二面角的平面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)2 【分析】（1）證明平面得到答案.（2）過點(diǎn)做的垂線交于點(diǎn)，連接，確定為二面角的平面角，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）是半圓的直徑，故，，即，平面平面，且平面平面，平面，故平面，又平面，故，，平面，平面，平面，平面，故；（2）為直徑且點(diǎn)是的中點(diǎn)，為等腰直角三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，平面與平面且平面平面，故平面，平面，故，則過點(diǎn)做的垂線交于點(diǎn)，連接，，故平面，平面，故，故為二面角的平面角，因在中，，.即二面角的平面角的正切值為2．21．山頂有一座石塔，已知石塔的高度為.(1)如圖，若以，為觀測點(diǎn)，在塔頂處測得地面上一點(diǎn)A的俯角為，在塔底處測得A處的俯角為，求山的高度.    (2)如圖，若將觀測點(diǎn)選在地面的直線上，其中是塔頂在地面上的正投影，當(dāng)觀測點(diǎn)在上滿足時(shí)，看的視角（即點(diǎn)與點(diǎn)仰角的差）最大，求山的高度.  【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知條件可得，，利用正弦定理得到，再利用即可得出結(jié)果；（2）設(shè)，先求出，，再利用兩角差的正切公式得到，最后利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）在中，，，由正弦定理，可得，則，又因?yàn)?/span>，所以.（2）設(shè)，因?yàn)?/span>，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，最大，從而最大，由題意可得，解得.22．如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，，分別為，的中點(diǎn).  (1)求證：平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3) 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理先證明平面，從而得，再由各邊長關(guān)系證明得為等邊三角形，從而得，即可證明得平面；（2）取中點(diǎn)，證明平面，可得為直線與平面所成角，再利用解三角形計(jì)算正弦值；（3）將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，利用等體積法列式計(jì)算可求解.【詳解】（1）過點(diǎn)作交于，∵四邊形和是直角梯形，，，∴，，，，∴，，，又，平面，平面，∴平面，又平面，∴，在，，，∴，同理可得，在中，，，所以為等邊三角形，∵為中點(diǎn)，∴，又，平面，平面，∴平面.  （2）取中點(diǎn)，連接，，，∵三角形為等邊三角形，為中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴，又，平面，平面，∴平面，∴為直線與平面所成角，在中，，，∴，在等邊三角形中，，∴，∴.所以直線與平面所成角的正弦值為.    （3）連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意得點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，∵，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又在等邊三角形中，，∴，且平面，∵，∴，解得.所以點(diǎn)到平面的距離為   

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