2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市第二中學(xué)高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知是第三象限角，那么是（    ）A．第二象限角 B．第三象限角C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】D【分析】先寫(xiě)出的范圍，再計(jì)算出的范圍，分是奇數(shù)和偶數(shù)討論即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>是第三象限角，所以，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第二象限角，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)是第四象限角，綜上所述：是第三象限角，是第二或第四象限角，故選：D.2．已知向量且，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：首先由向量平行確定向量的坐標(biāo)，再求向量的模長(zhǎng).詳解：因?yàn)?/span>，所以，即；所以；所以.點(diǎn)睛：1、本題考查向量共線、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的分析、計(jì)算能力.解決本題的關(guān)鍵在于熟練掌握向量平行的坐標(biāo)表示；熟記向量坐標(biāo)的加減運(yùn)算與向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算.3．若點(diǎn)在角的終邊上，則的值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：因?yàn)?/span>，所以，故選D．【解析】任意角的三角函數(shù)值．4．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問(wèn)題，如圖所示，弧田是由弧AB和弦AB所圍成的圖中陰影部分，若弧田所在圓的半徑為2，圓心角為，則此弧田的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，求得，，分別求得扇形的面積和的面積，結(jié)合，即可求解.【詳解】解：由弧田所在圓的半徑為2，圓心角為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，可得，可得扇形的面積為，的面積為 ，所以此弧田的面積為.故選：A.5．若,則等于（   ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，可得，.故選：D.6．定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期為，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可函數(shù)既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，且的最小正周期為可得，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)既是奇函數(shù)又是周期函數(shù),且的最小正周期為，，又當(dāng)時(shí)，，，.故選：D.7．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖所示，為得到的圖象，只需將圖象上所有的點(diǎn)（    ）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【分析】由函數(shù)圖象可求出，由周期求出，根據(jù)最值點(diǎn)求出的值，可得函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可得到結(jié)果．【詳解】由圖象可知，，函數(shù)周期為，所以；將點(diǎn)代入，得，所以，又，所以，所以，所以要得到只需將向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位.故選：D.8．在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，動(dòng)圓的半徑為1、圓心在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A．. B． C． D．【答案】A【分析】利用正六邊形的幾何性質(zhì)和向量數(shù)量積的幾何意義即可求得的取值范圍.【詳解】由，可得為與在方向上的投影之積. 正六邊形ABCDEF中，以D為圓心的圓與DE交于M，過(guò)M作于，設(shè)以C為圓心的圓與垂直的切線與圓切于點(diǎn)N與延長(zhǎng)線交點(diǎn)為，則在方向上的投影最小值為，最大值為,又，，則，則的取值范圍是.故選：A 二、多選題9．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有（    ）A．若，則B．若，則A，B，C，D四點(diǎn)一定是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．零向量與單位向量平行D．若，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為【答案】ABD【分析】根據(jù)零向量的性質(zhì)，可判定A不正確；根據(jù)四點(diǎn)可能共線，可判定B不正確；根據(jù)零向量的定義，可判定C正確；根據(jù)向量的垂直坐標(biāo)表示和單位向量的定義，列出方程組，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，由，只有當(dāng)時(shí)，才能得到，所以A不正確；對(duì)于B中，由，只有當(dāng)四點(diǎn)不共線時(shí)，才能得到四點(diǎn)一定是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；對(duì)于C中，根據(jù)零向量的定義，可得零向量與單位向量平行，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)與向量垂直的單位向量為，可得，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，所以D錯(cuò)誤.故選：ABD.10．在中，角所對(duì)的邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則為銳角三角形B．若為銳角三角形，則C．若，則為等腰三角形D．若，則是等腰三角形【答案】BD【分析】對(duì)于A，用余弦定理可以判定；對(duì)于B，利用正弦函數(shù)單調(diào)性及誘導(dǎo)公式即可判定；對(duì)于C，由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角即可判定；對(duì)于D，利用正弦定理及兩角和的正弦公式即可判定.【詳解】對(duì)于A，由余弦定理可得，即，但無(wú)法判定A、C的范圍，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若為銳角三角形，則有，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，故B正確；對(duì)于C，若，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得或，又，故或，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式得又，所以，故，所以D正確.故選：BD11．設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，則點(diǎn)是邊BC的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)是邊BC的三等分點(diǎn)C．若，則點(diǎn)是邊的重心D．若，且，則的面積是面積的【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的平行四邊形法則，可判定A正確；由，得到，可判定B錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)得到，可判定C正確；由，且，得到，設(shè)，得到三點(diǎn)共線，且，進(jìn)而可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)向量的平行四邊形法則，若，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，所以A正確；對(duì)于B中，由，則，即，則為的中點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，如圖所示，由，可得，取的中點(diǎn)，可得，則點(diǎn)為的重心，所以C正確；  對(duì)于D中，由，且，所以且，設(shè)，可得，且，所以三點(diǎn)共線，因?yàn)?/span>，所以為的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近），如圖所示，所以，即則的面積是面積的，所以D正確.故選：ACD.  12．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理．如圖，一個(gè)半徑為4m的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)2圈，筒車(chē)的軸心O距離水面的高度為2m．設(shè)筒車(chē)上的某個(gè)盛水桶P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下記d為負(fù)數(shù)），若從盛水筒P剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則（    ）    A．當(dāng)筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)5秒時(shí)，盛水桶距離水面4mB．盛水桶出水后至少經(jīng)過(guò)10秒就可到達(dá)最高點(diǎn)C．盛水桶第二次距離水面4m時(shí)用時(shí)15秒D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面【答案】ABC【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合題目條件求出，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一作出判斷.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于水面為軸，垂直于水面為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則m，則，故，筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)2圈，故筒車(chē)轉(zhuǎn)1圈的時(shí)間為30秒，即，解得，因?yàn)?/span>，故當(dāng)秒時(shí)，筒車(chē)第一次到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)，故B正確；同理可得，當(dāng)秒時(shí)，筒車(chē)第一次到達(dá)最低點(diǎn)，此時(shí)，設(shè)，則，解得，故，又當(dāng)時(shí)，，故，解得，取，故，A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)5秒時(shí)，盛水桶距離水面4m，A正確；C選項(xiàng)，令，當(dāng)時(shí)，盛水桶第二次距離水面4m，解得，故盛水桶第二次距離水面4m時(shí)用時(shí)15秒，C正確；D選項(xiàng)，令，解得，，故盛水桶入水后至少需要10秒才可浮出水面，D錯(cuò)誤.  故選：ABC 三、填空題13．已知向量．若，則              ．【答案】/【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：. 14．在中，，，D為BC上一點(diǎn)，AD為的平分線，則         .【答案】【分析】在中，根據(jù)正弦定理可求出，從而可得，即得．【詳解】如圖，在中，，，由正弦定理可得，，又，，，又為的平分線，且，，又，，．故答案為：2．  15．已知，，則的取值范圍是      ．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的三角形不等式求解作答.【詳解】由，得，而，于是，解得，所以的取值范圍是.故答案為：16．已知向量與的夾角為，且，則與夾角的余弦值為      ．【答案】或.【分析】設(shè)向量與的夾角為，根據(jù)向量的運(yùn)算法則和向量的夾角公式，列出關(guān)于的方程，即可求解.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，由，，可得，且，又因?yàn)橄蛄?/span>與的夾角為，可得，即，可得，解得或.即與夾角的余弦值為或.故答案為：或. 四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的最小值、最小值點(diǎn)及對(duì)稱中心．【答案】(1)(2)最小值為，最小值點(diǎn)為；對(duì)稱中心為. 【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合最小正周期的計(jì)算公式，即可求解；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）解：由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，即函數(shù)的最小值為，最小值點(diǎn)為；令，解得，則函數(shù)的對(duì)稱中心為.18．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：      0     (1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出函數(shù)的解析式（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）；(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】(1)完善表格見(jiàn)解析，；(2)作圖見(jiàn)解析；(3). 【分析】（1）利用表格中的數(shù)據(jù)依次求、，進(jìn)而求出，即得解析式，再由解析式補(bǔ)全表格作答.（2）由表格中的數(shù)據(jù)，描點(diǎn)連線作圖即可.（3）由自變量所在區(qū)間，求出相位所在區(qū)間，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）由表格知，，函數(shù)的周期，則，顯然，解得，所以，數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：00300（2）由（1），得在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，如圖，  （3）當(dāng)時(shí)，則，因此，有， 所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.19．已知角，為銳角，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；（2）先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得出，再根據(jù)兩角和與差的正切公式即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以．（2）因?yàn)?/span>，均為銳角，所以，所以， 所以，因?yàn)?/span>為銳角，所以，又β為銳角，所以，  則， 所以．20．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若的面積為，求a的最小值.【答案】(1)(2)3 【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角可得.然后根據(jù)兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)整理可得，根據(jù)的范圍，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可求得.進(jìn)而根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可得出的范圍.【詳解】（1）由，得.又，所以， 所以，整理得，因?yàn)?/span>，所以，故，又，所以.（2）因?yàn)?/span>的面積，所以. 由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 即，.故的最小值為3.21．某地帆賽舉行之前，為確保賽事安全，海事部門(mén)舉行安保海上安全演習(xí).為了測(cè)量正在海面勻速行駛的某航船的速度，在海岸上選取距離為2千米的兩個(gè)觀察點(diǎn)C，D，在某天10：00觀察到該航船在A處，此時(shí)測(cè)得，6分鐘后該船行駛至B處，此時(shí)測(cè)得，，，求船的速度是多少千米/分鐘.【答案】千米/分鐘.【分析】先根據(jù)條件求出BD，BC再在△ACD中用正弦定理解出AC，最后在△ACB中，用余弦定理即可解出AB，進(jìn)而求出速度.【詳解】由已知條件可得中，，，∴，.在中，，，，由正弦定理，∴. 在中，根據(jù)余弦定理可得，則，，，∴，∴，即船的速度是千米/分鐘22．已知函數(shù)，其中.若對(duì)恒成立，且，（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，試求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求的值.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為：，；（3），或.【分析】（1）直接利用和，進(jìn)一步求出的值；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出不等式，解出增區(qū)間，然后再與求交集即可；（3）令，然后結(jié)合的圖像即可得到答案.【詳解】（1）∵對(duì)任意恒成立，∴，若，即，，，∵，∴.當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去.若，即，，，∵，∴.當(dāng)時(shí)，，故.（2）∵，∴當(dāng)，即時(shí)為增函數(shù).設(shè)，，則，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為：，.（3）令，∵，∴，如圖，由的圖像可知：，設(shè)方程的兩根分別為：，，則或，即或，所以或. 

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