?大連市2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期期末考試
高一數(shù)學(xué)
注意事項：
1.請在答題紙上作答，在試卷上作答無效；
2.本試卷分第I卷選擇題和第Ⅱ卷非選擇題兩部分，共150分，考試時間120分鐘.
第I卷（選擇題）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1.已知，，則角的終邊位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）
A. B. C. D.
3.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是腰長為1的等腰直角三角形，則原平面圖形的面積為（）

A. B.1 C. D.
4.1988年3月14日，Lany Shaw在舊金山科學(xué)博物館組織舉辦了最早的大型以為主題的活動，之后博物館繼承了這一傳統(tǒng)，后來3月14日成為了國際圓周率日（日）。歷史上，求圓周率的方法有多種，其中的一種方法：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值。按照這種方法，的近似值的表達式是（）
A. B.
C. D.
5.已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，圓心角為的扇形，過該圓錐頂點作截面，則截面面積的最大值為（）
A. B.8 C. D.6
6.某校學(xué)生為測量操場上的旗桿高度，在與旗桿底端位于同一水平高度的共線三點，，處，測得旗桿頂端處的仰角分別為，，，且，則旗桿的高度為（）

A. B. C. D.
7.菱形十二面體是由12個全等的菱形構(gòu)成的，管有24條棱，14個頂點，它每個面的兩條對角線之比為，已知一個菱形十二面體的棱長為，體積為16，則該菱形十二面體的內(nèi)切球的體積為（）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)（，，）在區(qū)間上單調(diào)，且，則不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
二、多項選擇題（本大題共4小題.每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）
9.設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列命題中正確的是（）
A.若，，則
B.若，，，則
C.若，，則
D.若，，，則
10.在中，角，，的對邊分別是，，，且，，，則角的值可能為（）
A. B. C. D.
11.如圖，正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為1，.若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點，分別旋轉(zhuǎn)至點，處，且，，，四點共面，點，分別位于兩側(cè)，連接，則（）

A.平面
B.
C.多面體的體積為原多面體的體積的2倍
D.點，旋轉(zhuǎn)運動的軌跡長相等
12.在中，，，，為中點，在上，且，延長線交于點，則下列結(jié)論正確的有（）
A. B. C.的面積為D.
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13.已知實數(shù)，滿足，為虛數(shù)單位，則________.
14.已知函數(shù)（其中）在上的值域為，則的取值范圍是________.
15.下面兩圖是正四面體與它的外接球被過球心的平面所被形成的截面圖，圖①中的三角形為正三角形，其面積為，圖②中三角形的面積為，則________.

16.如圖，在直三棱柱中，，，該三棱柱存在體積為的內(nèi)切球，為的中點，為棱上的動點，當(dāng)直線、與平面成角相等時，_____，此時四面體的外接球表面積為________.（第一空2分，第二空3分）

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17.（本小題滿分10分）
如圖，在直三棱柱中，，且，點是的中點.

（I）證明：平面；
（II）證明：平面.
18.（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，.
（I）求的最小正周期：
（II）求在區(qū)間上的最大值與最小值.
19.（本小題滿分12分）
在中，角，，所對的邊分別為，，，向量，，.
（I）求角的大小；
（II）若，，點在邊上，為的平分線，求長.
20.（本小題滿分12分）
在正三棱臺中，，，為中點，在上，.

（I）請作出與平面的交點，并寫出與的比值（在圖中保留作圖痕跡，不必寫出畫法和理由）；
（II）求直線與平面所成角的正弦值。
21.（本小題滿分12分）
已知函數(shù)（，）圖像的一個對稱中心為，當(dāng)時，，將函數(shù)圖像向左平移個單位長度，再將所得圖像上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后得到函數(shù)的圖像.
（I）求函數(shù)與的解析式；
（II）求滿足在內(nèi)恰有2023個零點的實數(shù)與正整數(shù)的值.
22.（本小題滿分12分）
如圖，在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，是直角三角形，點為直角頂點.，，，分別是線段，，，上的動點，且四邊形為平行四邊形，設(shè).

（I）求證：平面；
（II）若二面角的大小為，，則為何值時，四邊形的面積最小，并求出最小值：
（Ⅲ）當(dāng)平面平面時，求四面體體積的最大值。

大連市2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期期末考試
高一數(shù)學(xué)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)
說明：
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則.
二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
一、單項選擇題：
1.D2.C3.A4.B5.B6.C7.C8.A
二、多項選擇題：
9.AD 10.AB 11.BC 12.BCD
三、填空題：
13.； 14.； 15.； 16.1，
四、解答題：
17.（本小題滿分10分）
解：（I）因為三棱柱為直三棱柱，所以底面，底面，
所以.
在中，，為線段的中點，所以.
又，平面，平面.所以平面.
（II）設(shè)與的交點為，連接，
因為是的中點，是的中點，所以.
因為平面，平面，
所以平面.

18.（本小題滿分12分）
解：（I）


所以的最小正周期為；
（II）因為，所以，
所以，所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.
19.（本小題滿分12分）
解：（I）因為，所以，
即，
由正弦定理得：，
，即，
因為，所以；
（II）法一：因為
所以
得.
法二：由正弦定理得：，，
又，，所以，
因為，.
所以，，
又因為，
所以，
得.
法三：由正弦定理得：，，
又，，所以，
所以，
所以
，
所以.
20.（本小題滿分12分）
解：（I）作圖

，
（II）由（I）可知，，由，，
易知，所以，
所以，
所以，
棱臺的高，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以.
（其他方法請酌情給分）

21.（本小題滿分12分）
解：（I）由題意得，的最大值為1，最小值為?1，
，，，得，
將代入得：，，，
.
函數(shù)圖像向左平移個單位長度得，
再將所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得.
（II），
函數(shù)的零點即為方程的根，
設(shè)，討論方程的根，顯然，
若方程的根，則在內(nèi)可對應(yīng)兩個，
若方程的根，則在內(nèi)可對應(yīng)兩個，
此時函數(shù)在內(nèi)只能有偶數(shù)個零點，不符合題意.
故必有，
當(dāng)時，，，
在內(nèi)有1個零點，內(nèi)有2個零點，
，；
當(dāng)時，，，
在內(nèi)有2個零點，一個周期內(nèi)有3個零點，此時在內(nèi)有2022個零點，在內(nèi)有2個零點，不符合題意，
綜上所述，，.
22.（本小題滿分12分）
（I）證明：四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
，
平面，平面，平面；

（II）解：取中點，連接，交于點，
過點作，交于點，連接，
過點作，垂足為.
是邊長為2的等邊三角形，，，
是二面角的平面角，，
，，，
，，平面，平面，
平面，，
同（I）過程可得：，，，
，，
，
，，
在中，，
四邊形的面積，
當(dāng)，即或時，的最小值為.

（III）解：由（II）知，是二面角的平面角，設(shè)，
點到平面的距離，
設(shè)，則，，
平面平面，，平面，平面，
平面，，
中，，
，
，，，
，即四面體體積的最大值為，此時.

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