遼寧省重點(diǎn)高中沈陽(yáng)市郊聯(lián)體2023—2024學(xué)年度上學(xué)期高二年級(jí)10月月考試題數(shù)學(xué)命題人：康平縣高級(jí)中學(xué)  何慶超  評(píng)審題人：沈陽(yáng)市第八十三中學(xué)  于洋考試時(shí)間：120分鐘  試卷總分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷  選擇題（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1．已知向量，且，則（    ）A．4 B．6 C． D．2．若，則直線與平面的位置關(guān)系是（    ）A．相交 B．平行 C．在平面內(nèi) D．平行或在平面內(nèi)3．已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)且直線的法向量是則實(shí)數(shù)的值是（    ）A． B． C．3 D．14．直線經(jīng)過兩點(diǎn)，那么直線的傾斜角的取值范圍為（    ）A． B． C． D．5．已知直線的方程為，當(dāng)原點(diǎn)直線到的距離最大時(shí)，的值為（    ）A． B． C．1 D．56．直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為（    ）A． B． C． D．7．柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對(duì)正多面體進(jìn)行系統(tǒng)研究后而得名的幾何體，下圖是棱長(zhǎng)均為1的柏拉圖多面體分別是的中點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．8．已知為平面外一點(diǎn)，到兩邊的距離都為，則到面的距離（    ）A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．給出下列命題，其中正確的命題是（    ）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底D．是共線的充要條件10．下列說法錯(cuò)誤的是的是（    ）A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是B．若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為C．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或D．過兩點(diǎn)的直線方程為11．在正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)為1，又與交于點(diǎn)，則（    ）A． B．C．三棱錐的體積為 D．與所成為的角為12．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且直線平行于平面，下列說法正確的（    ）A．的軌跡長(zhǎng)度為B．直線與直線所成角記為，則的最小值為C．平面與平面所成的銳二面角記為，則D．平面將正方體分成的兩部分體積之比為第Ⅱ卷  非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為_______．14．過點(diǎn)且和的距離相等的直線方程是_______．15．長(zhǎng)為4的線段的兩端點(diǎn)在直二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且與這兩個(gè)面都成角，求異面直線與所成的角為_______．16．如圖所示在三棱錐中，側(cè)面底面，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)面中，，且為棱中點(diǎn)，則直線上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)距離的最小值為_______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知直線．（1）若與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，求實(shí)數(shù)的值．18．在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，（1）設(shè)用表示；（2）若，且，求19．已知直線，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，（1）求的最小值：（2）求的最大值，以及最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)20．如圖，在正四棱錐中，為底面中心，為的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求：（ⅰ）直線到平面的距離；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．21．在中，已知，且邊上的中線在軸上的截距為2．（1）求直線的一般式方程；（2）若點(diǎn)在軸上方，的面積為，且過點(diǎn)的直線在軸、軸上的截距相等，求直線的方程．22．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為等邊三角形，平面平面．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）為線段上一點(diǎn)，若直線與平面所成的角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．23-2024學(xué)年度(上）沈陽(yáng)市郊聯(lián)體10月份考試高二數(shù)學(xué)答案一、單項(xiàng)選擇題：1.C        2.D       3.C      4.D5.A        6.B       7.A      8.B二、多選題：9.BC       10.BCD    11.AC   12.ABC三、填空題13.              14.2x+y-1=0；y-1=0    （或y=-2x+1；y=1）15.            16.四、解答題17.（1）且直線與垂直所以（1分）解得（3分）（2）因?yàn)橹本€在連個(gè)坐標(biāo)軸截距的絕對(duì)值相等，所以當(dāng)直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸截距為0時(shí)，，解得（5分）當(dāng)直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸截距相等且不為0時(shí)，，解得（7分）當(dāng)直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸截距相反且不為0時(shí)，，解得（9分）綜上所述（10分）18.因?yàn)?/span>，所以是棱的中點(diǎn)，所以，則，故因?yàn)?/span>，所以，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，所以，解得．（1）法一：因?yàn)橹本€點(diǎn)P(m,n)上，所以m-2n+4=0.法二：所以原式最小值為（2）設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為解得所以并且取最小值時(shí)所以最大值為6，此時(shí)P（4,4）20.（1）證明：連接BD，則O是BD的中點(diǎn)，且.在正四棱錐中，平面ABCD，，，所以，，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，設(shè)平面EAC的法同量，則,即，取，得，∵，∴，∵DM在平面EAC外，∴平面EAC.（2）（i），∴直線DM到平面EAC的距高.（8分）（ii），則，∴直線MA與平面EAC所成角的正弦值為.21：根據(jù)題意得到點(diǎn)又直線過點(diǎn)．根據(jù)兩點(diǎn)式得直線的方程為，即．因?yàn)?/span>的面積為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以的面積為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)?/span>，所以，解得，因?yàn)橹本€的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離，解得舍去，所以點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，即．當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得，此時(shí)直線的方程為．綜上所述，直線的方程為或．22（此題學(xué)生用空間向量法和幾何法求距離，二面角都可以，判卷老師課酌情給分）（1）取AD中點(diǎn)O，連接OB，OP.∵為等邊三角形，∴，OA=1，.又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，∴平面ABC.又∵平面ABCD，∴.∵，∴，∴.又∵，平面POB，平面POB，，∴平面POB.又∵平面POB，∴.∴，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，則即，∴；（2）由（1），分別以OA，OB，OP為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，.設(shè)，則，.得，則.又平面ABC，則取平面ABCD的法向量.設(shè)AE與平面ABCD所成的角為，則，解得.則，.設(shè)平面ADE的法向量，則.令，則取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量.故平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值為.

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