?重慶市渝中區(qū)求精中學2023-2024學年八年級上學期開學數(shù)學試卷（解析版）
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上對應題目的正確答案標號涂黑.
1．（4分）如圖所示的4個圖案中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A．阿基米德螺旋線 B．笛卡爾心形線
C．趙爽弦圖 D．太極圖
2．（4分）為了調(diào)查我市某校學生的視力情況，在全校的2000名學生中隨機抽取了300名學生，下列說法正確的是（　?。?br /> A．此次調(diào)查屬于全面調(diào)查
B．樣本容量是300
C．2000名學生是總體
D．被抽取的每一名學生稱為個體
3．（4分）如圖中∠1與∠2不是同位角的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（4分）一個正方形的面積是34平方厘米，其邊長（　　）
A．小于5cm B．等于5cm
C．在5cm和6cm之間 D．大于6cm
5．（4分）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長相等的等邊三角形組成，第1個圖案有4個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形，?，照此規(guī)律，擺成第7個圖案需要的三角形個數(shù)是（　?。?br /> ?
A．19個 B．22個 C．25個 D．26個
6．（4分）下列命題中，真命題的個數(shù)是（　　）
①同位角相等；
②垂線段最短；
③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
④三條直線兩兩相交，總有三個交點；
⑤若a∥b，b∥c，則a∥c．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．（4分）八年級某小組同學去植樹，若每人平均植樹7棵，則還剩9棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學植樹的棵數(shù)不到2棵．設同學人數(shù)為x人，植樹的棵數(shù)為（7x+9）棵，下列能準確的求出同學人數(shù)與種植棵數(shù)的不等關系是（　?。?br /> A．7x+9≤2+9（x﹣1）
B．7x+9≥9（x﹣1）
C．
D．
8．（4分）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點D、E分別在邊AB、BC上，將△BDE沿直線DE折疊，使點B落在點B′處，DB′、EB′分別交邊AC于點F、G．則陰影部分圖形的周長等于（　?。?br />
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（4分）如圖，在△ABC中，點O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點，若∠BOC＝100°，則這兩條垂直平分線相交所成銳角α的度數(shù)為（　　）

A．40° B．45° C．50° D．80°
10．（4分）如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分線BD、CD交于點D，延長BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，點P在BN上，∠ADP+∠ABC＝180°，則下列結論中正確的個數(shù)（　　）
①AD平分∠MAC；
②S△DAB：S△DBC＝AB：BC；
③若∠BDC＝31°，則∠DAM＝59°；
④BP﹣2AE＝AB．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上.
11．（4分）若|x|＝5，y是9的算術平方根，則x+y的值是 　 ?。?br /> 12．（4分）已知一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個多邊形是　 　邊形．
13．（4分）已知a，b，c是△ABC的三邊，化簡：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|＝　 ?。?br /> 14．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB中，AO＝BO，∠AOB＝90°，頂點A的坐標是（1，2），則點B的坐標是 　 ?。?br />
15．（4分）關于x，y的方程組的解為，請直接寫出關于m、n的方程組的解是 　 ?。?br /> 16．（4分）如圖，△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點為G，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是　 　．

17．（4分）若關于x的一元一次不等式組的解集是x≤a，且關于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非負整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的個數(shù)為 　 ?。?br /> 18．（4分）對于一個四位自然數(shù)N，其千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，各個數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0．將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個位數(shù)字組成一個兩位數(shù)，記為A；百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個兩位數(shù)字，記為B，若A與B的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱N為“坎數(shù)”．例如：6345，A＝65，B34，65+34＝99，11（6+3）＝99，所以6345是“坎數(shù)”．若N1為“坎數(shù)”，且A+B＝99，則N1最大為 　 ??；若N2為“坎數(shù)”，且a＞b，當為9的倍數(shù)時，則所有滿足條件的N2的最大值為 　 ?。?br /> 三、解答題：（本大題9個小題，19題8分，20-26題每題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，請將解答書寫在答題卡中對應的位置上．
19．（8分）計算：
（1）；
（2）．
20．（10分）如圖，在△ABC中，點D為AB邊上一點，DE∥BC交AC于點E，點F為BC延長線上一點，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．
（1）求證：AE＝FD；
（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度數(shù)．

21．（10分）北京冬奧會后，為了大力推進冰雪運動的普及與發(fā)展，各單位開展多類活動讓更多的人了解冰雪運動文化、領略冰雪運動魅力．重慶市某小區(qū)采取隨機抽樣的方法對該小區(qū)進行了“最喜歡的冬奧會比賽項目”的問卷調(diào)查，調(diào)楂結果分為“冰球”、“短道速滑”、“花樣滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五類．根據(jù)調(diào)查結果繪制了如圖統(tǒng)計圖．

請你根據(jù)統(tǒng)計圖中提供的信息解答下列問題：
（1）本次調(diào)查隨機從該小區(qū)抽取了 　 　名居民，扇形統(tǒng)計圖中“冰球”對應的扇形圓心角為 　 　度；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖；
（3）請估計該小區(qū)3000人中約有多少人最喜歡的冬奧會項目是花樣滑冰（寫出必要的計算過程）．
22．（10分）在學習正方形的過程中，小陳陳遇到了一個問題：在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，過點D作AE的垂線，分別交AE，AB于點G和點F．求證：AE＝DF．他的思路是：首先利用正方形的性質(zhì)得到正方形各邊相等，再利用垂直，得到角相等，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成以下尺規(guī)作圖與填空：過點D作AE的垂線，分別與AE、AB交于點G、F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝　 ??；
∴　 　+∠DAE＝90°
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴　 ??；
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ 　 ?。?br /> ∴AE＝DF．

23．（10分）已知△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過平移得到的，它們各頂點在平面直角坐標系中的坐標如表所示：

△ABC
A（2，4）
B（5，b）
C（c，7）
△A′B′C′
A′（a，1）
B′（3，1）
C′（4，4）
（1）觀察表中各對應點坐標的變化，并填空：a＝　 　，c＝　 　，b＝　 　；
（2）在如圖所示的平面直角坐標系中畫出△ABC及平移后的△A′B′C′；
（3）點P在y軸上，當三角形ABP的面積為9時，請直接寫出點P的坐標．
24．（10分）重慶市求精中學開學初到商場購買A，B兩種品牌的足球，購買A種品牌的足球50個，B種品牌的足球25個，共花費5000元．已知購買一個B種品牌的足球比購買一個A種品牌的足球需要多花20元．
（1）求購買一個A種品牌、一個B種品牌的足球各需多少元？
（2）為了響應習總書記“足球進校園”的號召，學校決定再次購進A，B兩種品牌的足球50個，正好趕上商場對商品價格進行調(diào)整，A品牌足球的售價比第一次購買時提高5元，B品牌足球按第一次購買時售價的九折出售．如果學校此次購買A，B兩種品牌足球的總費用不超過第一次花費的70%，且保證這次購買的B種品牌足球不少于33個，請在所有可行方案中，給出花費最少的方案，并計算最少方案的費用？
25．（10分）如圖直線AB，CD與直線MN分別交于E，F(xiàn)，且∠AEM與∠CFN互補，O為線段EF上一點．

（1）求證：AB∥CD．
（2）如圖1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大?。?br /> （3）將圖1中的射線ON繞O點順時針轉(zhuǎn)一個角度α（0＜α＜90°）至ON′與CD交于F′，其它圖線保持不變，如圖2所示，作∠OF′D的平分線與∠BEO的平分線交于P′，求∠EP′F′的大小（用含α的代數(shù)式表示）．
26．（10分）已知△BAC、△BDE，其中BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，將△BAC繞著點B旋轉(zhuǎn)．
?
（1）當△BAC旋轉(zhuǎn)到圖1位置，連接AD、CE交于點F，連接BF；
①探究線段AD與線段CE的關系；
②證明：BF平分∠AFE；
（2）當△BAC旋轉(zhuǎn)到圖2位置，連接AE、CD，過點B作BG⊥AE于點G，交CD于點H，證明：AE＝2BH．

參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上對應題目的正確答案標號涂黑.
1．（4分）如圖所示的4個圖案中是軸對稱圖形的是（　　）
A．阿基米德螺旋線 B．笛卡爾心形線
C．趙爽弦圖 D．太極圖
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：A，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：B．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（4分）為了調(diào)查我市某校學生的視力情況，在全校的2000名學生中隨機抽取了300名學生，下列說法正確的是（　　）
A．此次調(diào)查屬于全面調(diào)查
B．樣本容量是300
C．2000名學生是總體
D．被抽取的每一名學生稱為個體
【分析】根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，總體、個體、樣本、樣本容量的意義，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、此次調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故A不符合題意；
B、樣本容量是300，故B符合題意；
C、2000名學生的視力情況是總體，故C不符合題意；
D、被抽取的每一名學生的視力情況稱為個體，故D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，總體、個體、樣本、樣本容量，熟練掌握這些數(shù)學概念是解題的關鍵．
3．（4分）如圖中∠1與∠2不是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)同位角的定義作出選擇．
【解答】解：觀察圖形，選項B中∠1與∠2不可能成為同位角．
故選：B．
【點評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角．解答此類題確定三線八角是關鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義．
4．（4分）一個正方形的面積是34平方厘米，其邊長（　?。?br /> A．小于5cm B．等于5cm
C．在5cm和6cm之間 D．大于6cm
【分析】根據(jù)正方形的面積公式計算，利用算術平方根的定義解答．
【解答】解：∵正方形的面積是34平方厘米，
∴邊長＝cm，
∵5＜＜6，
∴其邊長在5cm和6cm之間．
故選：C．
【點評】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，根據(jù)算術平方根的定義是解答此題的關鍵．
5．（4分）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長相等的等邊三角形組成，第1個圖案有4個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形，?，照此規(guī)律，擺成第7個圖案需要的三角形個數(shù)是（　?。?br /> ?
A．19個 B．22個 C．25個 D．26個
【分析】根據(jù)圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可用含n的代數(shù)式表示．
【解答】解：第1個圖案有4個三角形，即4＝3×1+1，
第2個圖案有7個三角形，即7＝3×2+1，
第3個圖案有10個三角形，即10＝3×3+1，
…，
按此規(guī)律擺下去，
第n個圖案有（3n+1）個三角形．
第7個圖案有（3×7+1）＝22個三角形．
故選：B．
【點評】本題考查了規(guī)律型﹣圖形的變化類、列代數(shù)式，解決本題的關鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律．
6．（4分）下列命題中，真命題的個數(shù)是（　?。?br /> ①同位角相等；
②垂線段最短；
③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
④三條直線兩兩相交，總有三個交點；
⑤若a∥b，b∥c，則a∥c．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據(jù)平行線的定義，平行公理和相交線對各小題分析判斷利用排除法求解．
【解答】解：①∵同位角不一定是兩平行直線被截得到，∴同位角相等錯誤，故本小題錯誤；
②垂線段最短，故本小題正確；
③應為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本小題錯誤；
④三條直線兩兩相交，總有一個或三個交點，故本小題錯誤；
⑤若a∥b，b∥c，則a∥c，正確．
綜上所述，說法正確的有②⑤共2個．
故選：B．
【點評】本題考查的是命題與定理，涉及到平行公理，相交線與平行線，同位角的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．
7．（4分）八年級某小組同學去植樹，若每人平均植樹7棵，則還剩9棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學植樹的棵數(shù)不到2棵．設同學人數(shù)為x人，植樹的棵數(shù)為（7x+9）棵，下列能準確的求出同學人數(shù)與種植棵數(shù)的不等關系是（　?。?br /> A．7x+9≤2+9（x﹣1）
B．7x+9≥9（x﹣1）
C．
D．
【分析】不到2棵意思是植樹棵數(shù)在0棵和2棵之間，包括0棵，不包括2棵，關系式為：植樹的總棵數(shù)≥9（x﹣1），植樹的總棵數(shù)＜8+9（x﹣1），把相關數(shù)值代入即可．
【解答】解：（x﹣1）位同學植樹棵數(shù)為9（x﹣1），
∵有1位同學植樹的棵數(shù)不到8棵．植樹的總棵數(shù)為（7x+9）棵，
∴可列不等式組為．
故選：D．
【點評】本題考查了列一元一次不等式組，得到植樹總棵數(shù)和預計植樹棵數(shù)之間的關系式是解決本題的關鍵．
8．（4分）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點D、E分別在邊AB、BC上，將△BDE沿直線DE折疊，使點B落在點B′處，DB′、EB′分別交邊AC于點F、G．則陰影部分圖形的周長等于（　?。?br />
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用折疊的性質(zhì)可得△BDE≌△B′DE，利用等量代換和等式的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：利用折疊的性質(zhì)可得△BDE≌△B′DE，
∴BD＝BD′，BE＝B′E．
∴陰影部分圖形的周長＝AD+B′D+AG+B′E+EC+EC+CG
＝（AD+B′D）+（AG+GC）+（B′E+EC）
＝（AD+BD）+（AG+GC）+（BE+EC）
＝AB+AC+BC，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，
∴AB+AC+BC＝6，
∴陰影部分圖形的周長等于6，
故選：C．
【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)得△BDE≌△B′DE是解題的關鍵．
9．（4分）如圖，在△ABC中，點O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點，若∠BOC＝100°，則這兩條垂直平分線相交所成銳角α的度數(shù)為（　?。?br />
A．40° B．45° C．50° D．80°
【分析】連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA＝OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出答案即可．
【解答】解：連接OA，

∵點O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，
∵∠BOC＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，
∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，
即∠BAC＝50°，
∵點O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠α＝180°﹣130°＝50°，
故選：C．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，熟記線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解此題的關鍵．
10．（4分）如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分線BD、CD交于點D，延長BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，點P在BN上，∠ADP+∠ABC＝180°，則下列結論中正確的個數(shù)（　?。?br /> ①AD平分∠MAC；
②S△DAB：S△DBC＝AB：BC；
③若∠BDC＝31°，則∠DAM＝59°；
④BP﹣2AE＝AB．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】由角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF＝DH，可得AD平分∠MAC；故①正確；由面積公式可判斷②，由“AAS”可證△ADE≌△PDF，可得AE＝PF，由“HL”可證Rt△BDE≌Rt△BDF，可得BE＝BF，由線段的和差關系可得BP﹣2AE＝AB，故④正確，由角平分線的性質(zhì)可求∠DAM＝59°；故③正確，即可求解．
【解答】解：過D作DH⊥AC于H，

∵∠ABC、∠ACN的角平分線BD、CD交于點D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴DE＝DF，DH＝DF，
∴DE＝DH，
∴AD平分∠MAC；故①正確；
∵S△DAB：S△DBC＝＝，故②正確；
∵∠ABC+∠DEF+∠DFE+∠EDF＝360°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°，
∵∠ADP+∠ABC＝180°，
∴∠EDF＝∠ADP，
∴∠EDA＝∠PDF，
在△ADE和△PDF中，
，
∴△ADE≌△PDF（AAS），
∴AE＝PF，
在Rt△BDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴BE＝BF，
∴BP﹣AB＝BF+PF﹣AB＝BE+AE﹣AB＝AE+AB+AE﹣AB＝2AE，
∴BP﹣2AE＝AB，故④正確，
∵AD平分∠MAC，DC平分∠ACN，BD平分∠ABC，
∴∠DAC＝∠MAC，∠DCA＝∠ACN，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝90°﹣∠ABC，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABC﹣31°，
∴∠DAE＝∠ABD+∠ADB＝59°，故③正確，
故選：D．

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上.
11．（4分）若|x|＝5，y是9的算術平方根，則x+y的值是 　8或﹣2??。?br /> 【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)及算術平方根的定義分別求得x，y的值后代入x+y中計算即可．
【解答】解：∵|x|＝5，y是9的算術平方根，
∴x＝±5，y＝3，
當x＝5，y＝3時，x+y＝5+3＝8，
當x＝﹣5，y＝3時，x+y＝﹣5+3＝﹣2，
綜上，x+y的值是8或﹣2，
故答案為：8或﹣2．
【點評】本題考查絕對值的性質(zhì)及算術平方根的定義，結合已知條件求得x，y的值是解題的關鍵．
12．（4分）已知一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個多邊形是　五　邊形．
【分析】利用n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，結合方程即可求出答案．
【解答】解：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和可得：（n﹣2）180°＝540°，
解得：n＝5．
則這個多邊形是五邊形．
故答案為：五．
【點評】此題考查多邊形的內(nèi)角和問題，關鍵是根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°．
13．（4分）已知a，b，c是△ABC的三邊，化簡：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|＝　3a﹣b﹣c　．
【分析】三角形三邊滿足兩邊和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，根據(jù)此來確定絕對值內(nèi)的式子的正負，從而化簡計算即可．
【解答】解：∵△ABC的三邊長分別是a、b、c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＝b﹣（a+c）＜0，c+b﹣a＞0，
∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|
＝a+b﹣c﹣b+a+c﹣c﹣b+a
＝3a﹣b﹣c．
故答案為：3a﹣b﹣c．
【點評】此題考查了三角形三邊關系與絕對值的性質(zhì)．解此題的關鍵是根據(jù)三角形三邊的關系來判定絕對值內(nèi)式子的正負．
14．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB中，AO＝BO，∠AOB＝90°，頂點A的坐標是（1，2），則點B的坐標是 ?。ī?，1）?。?br />
【分析】過A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥x軸于點D，證明△AOC≌△OBD（AAS），得AC＝OD，OC＝BD，即可解決問題．
【解答】解：過如圖，過A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥x軸于點D，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠CAO＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠DOB＝90°．
∴∠CAO＝∠DOB．
在△AOC與△OBD中，
，
∴△AOC≌△OBD（AAS）．
∴AC＝OD，OC＝BD，
又∵頂點A的坐標是（1，2），
∴AC＝OD＝2，OC＝BD＝1，
∴B（﹣2，1）．
故答案為：（﹣2，1）．

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)以及等腰直角三角形等知識，解題的關鍵是通過添加輔助線構造全等三角形解決問題．
15．（4分）關于x，y的方程組的解為，請直接寫出關于m、n的方程組的解是 　?。?br /> 【分析】設m+2＝s，n﹣3＝t，則方程組的即為，根據(jù)關于x，y的方程組的解為，得到，由此求出m、n的值即可．
【解答】解：設m+2＝s，n﹣3＝t，
∴方程組的即為，
∵關于x，y的方程組的解為，
∴關于s，t的方程組為的解為得到，
∴，
∴，
∴關于m、n的方程組，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了求二元一次方程組的解，正確發(fā)現(xiàn)兩個方程組之間的聯(lián)系是解題關鍵．
16．（4分）如圖，△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點為G，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是　4?。?br />
【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，知△ABC的面積即為陰影部分的面積的3倍．
【解答】方法1
解：∵△ABC的三條中線AD、BE，CF交于點G，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，
∴S陰影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案為4．
方法2
設△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面積分別為S1，S2，S3，S4，S5，S6，根據(jù)中線平分三角形面積可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②
由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故陰影部分的面積為4．
故答案為：4．
【點評】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，該圖中，△BGF的面積＝△BGD的面積＝△CGD的面積，△AGF的面積＝△AGE的面積＝△CGE的面積．
17．（4分）若關于x的一元一次不等式組的解集是x≤a，且關于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非負整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的個數(shù)為 　5?。?br /> 【分析】先求出不等式組中每個不等式的解集，再根據(jù)關于x的一元一次不等式組的解集是x≤a，可以求得a的取值范圍，再求出關于y的方程2y﹣a﹣3＝0的解，然后根據(jù)關于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非負整數(shù)解，即可求出a的值，從而可以解答本題．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤a，
解不等式②，得：x＜7，
∵關于x的一元一次不等式組的解集是x≤a，
∴a＜7，
由方程2y﹣a﹣3＝0可得y＝，
∵關于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非負整數(shù)解，
∴a＝﹣3或a＝﹣1或a＝1或a＝3或a＝5，
∴符合條件的所有整數(shù)a的個數(shù)為5，
故答案為：5．
【點評】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解、解一元一次方程，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法和解一元一次方程的方法．
18．（4分）對于一個四位自然數(shù)N，其千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，各個數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0．將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個位數(shù)字組成一個兩位數(shù)，記為A；百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個兩位數(shù)字，記為B，若A與B的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱N為“坎數(shù)”．例如：6345，A＝65，B34，65+34＝99，11（6+3）＝99，所以6345是“坎數(shù)”．若N1為“坎數(shù)”，且A+B＝99，則N1最大為 　8172??；若N2為“坎數(shù)”，且a＞b，當為9的倍數(shù)時，則所有滿足條件的N2的最大值為 　8154?。?br /> 【分析】根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到10a+d+10b+c＝11（a+b），可得出a+b＝c+d，根據(jù)當為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，所以可知c＝d，則可知c＝5，d＝4，故a+b＝9，則最大的值為a＝8，b＝1，即可求解．
【解答】解：∵A+B＝99，N1為“坎數(shù)”，
∵千位數(shù)字為8，個數(shù)位上的數(shù)字1，百位數(shù)字為7，十位數(shù)字為2，
∴N1最大為8172，
根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到10a+d+10b+c＝11（a+b），、∴a+b＝c+d，
∴ 為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，a＞b，
，
，
∴，
∴c＝5，d＝4，
∴a+b＝c+d＝9，
當a＝8，時，N有最大值，
∴b＝9﹣8＝1，
∴N的最大值為8154，
【點評】本題考查了因式分解的應用，通過給出的“坎數(shù)”的定義求出對應的各個數(shù)位的數(shù)字的關系，通過給出的式子，求出對應的數(shù)字的結果，從而求出最后的解．
三、解答題：（本大題9個小題，19題8分，20-26題每題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，請將解答書寫在答題卡中對應的位置上．
19．（8分）計算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化簡方程組，再根據(jù)加減消元法可以解答此方程組；
（2）先求出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集．
【解答】解：（1），
化簡，得：，
②﹣①×2，得：5y＝10，
解得y＝2，
將y＝2代入①，得：x＝3，
∴該方程組的解是；
（2），
解不等式①，得：x≥﹣4，
解不等式②，得：x＞7，
∴該不等式組的解集是x＞7．
【點評】本題考查解二元一次方程組、解一元一次不等式組，解答本題的關鍵是明確解二元一次方程組的方法和解一元一次不等式的方法．
20．（10分）如圖，在△ABC中，點D為AB邊上一點，DE∥BC交AC于點E，點F為BC延長線上一點，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．
（1）求證：AE＝FD；
（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度數(shù)．

【分析】（1）由“ASA”可證△ADE≌△FBD，可得結論；
（2）由三角形內(nèi)角和定理可求∠F＝30°，即可求解．
【解答】（1）證明：∵∠ACF＝∠ADF，
∴∠B+∠A＝∠B+∠F，
∴∠A＝∠F，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
在△ADE和△FBD中，
，
∴△ADE≌△FBD（ASA），
∴AE＝FD；
（2）解：∵∠FDB＝80°，∠B＝70°，
∴∠F＝30°，
∴∠ACF＝∠ADF＝∠B+∠F＝100°，
∴∠1＝∠F+∠ACF＝130°．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．
21．（10分）北京冬奧會后，為了大力推進冰雪運動的普及與發(fā)展，各單位開展多類活動讓更多的人了解冰雪運動文化、領略冰雪運動魅力．重慶市某小區(qū)采取隨機抽樣的方法對該小區(qū)進行了“最喜歡的冬奧會比賽項目”的問卷調(diào)查，調(diào)楂結果分為“冰球”、“短道速滑”、“花樣滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五類．根據(jù)調(diào)查結果繪制了如圖統(tǒng)計圖．

請你根據(jù)統(tǒng)計圖中提供的信息解答下列問題：
（1）本次調(diào)查隨機從該小區(qū)抽取了 　200　名居民，扇形統(tǒng)計圖中“冰球”對應的扇形圓心角為 　72　度；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖；
（3）請估計該小區(qū)3000人中約有多少人最喜歡的冬奧會項目是花樣滑冰（寫出必要的計算過程）．
【分析】（1）用“短道速滑”的學生人數(shù)除以所占的百分比即可得出抽取的總?cè)藬?shù)，先算出喜歡“冰球”的人數(shù)所占的百分比，再用360°乘百分比可得圓心角；
（2）用總?cè)藬?shù)分別減去其它項目的人數(shù)，即可得出最喜歡“花樣滑冰”的人數(shù)，進而補全條形統(tǒng)計圖；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以最喜歡“花樣滑冰”的學生所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的樣本容量為：80÷40%＝200，
扇形統(tǒng)計圖中“冰球”對應的扇形心角為：360°×＝72°，
故答案為：200；72；
（2）最喜歡“花樣滑冰”的人數(shù)為：200﹣40﹣80﹣20﹣10＝50（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：

（3）3000×＝750（人），
答：估計該小區(qū)3000人中約有750人最喜歡的冬奧會項目是花樣滑冰．
【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．
22．（10分）在學習正方形的過程中，小陳陳遇到了一個問題：在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，過點D作AE的垂線，分別交AE，AB于點G和點F．求證：AE＝DF．他的思路是：首先利用正方形的性質(zhì)得到正方形各邊相等，再利用垂直，得到角相等，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成以下尺規(guī)作圖與填空：過點D作AE的垂線，分別與AE、AB交于點G、F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝　90°　；
∴　∠ADF　+∠DAE＝90°
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴　∠ADF＝∠BAE　；
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ 　ASA?。?br /> ∴AE＝DF．

【分析】先根據(jù)題中步驟作圖，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)證明．
【解答】證明：過點D作AE的垂線，分別與AE、AB交于點G、

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝90°．
∴∠ADF+∠DAE＝90°．
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE．
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA）．
∴AE＝DF，
故答案為：90°，∠ADF，∠ADF＝∠BAE，∠ABC＝∠DAB，ASA．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判斷和性質(zhì)是解題的關鍵．
23．（10分）已知△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過平移得到的，它們各頂點在平面直角坐標系中的坐標如表所示：

△ABC
A（2，4）
B（5，b）
C（c，7）
△A′B′C′
A′（a，1）
B′（3，1）
C′（4，4）
（1）觀察表中各對應點坐標的變化，并填空：a＝　0　，c＝　4　，b＝　6??；
（2）在如圖所示的平面直角坐標系中畫出△ABC及平移后的△A′B′C′；
（3）點P在y軸上，當三角形ABP的面積為9時，請直接寫出點P的坐標．
【分析】（1）利用點平移的坐標變換規(guī)律即可得到結論；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結論；
（3）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．
【解答】解：（1）由題意得，△A′B′C′是由△ABC向下平移3個單位、向左平移2個單位得到；
∴a＝2﹣2＝0，b＝1+3＝4，c＝4+2＝6；
故答案為：0，4，6；
（2）如圖所示：

（3）設點P的坐標為（0，y），
∴△ABP的面積＝，
∴|y﹣4|＝6，
∴y＝10或y＝﹣2，
∴P點的坐標為（0，10）或（0，﹣2）．
【點評】本題考查了作圖﹣平移變換：作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形．
24．（10分）重慶市求精中學開學初到商場購買A，B兩種品牌的足球，購買A種品牌的足球50個，B種品牌的足球25個，共花費5000元．已知購買一個B種品牌的足球比購買一個A種品牌的足球需要多花20元．
（1）求購買一個A種品牌、一個B種品牌的足球各需多少元？
（2）為了響應習總書記“足球進校園”的號召，學校決定再次購進A，B兩種品牌的足球50個，正好趕上商場對商品價格進行調(diào)整，A品牌足球的售價比第一次購買時提高5元，B品牌足球按第一次購買時售價的九折出售．如果學校此次購買A，B兩種品牌足球的總費用不超過第一次花費的70%，且保證這次購買的B種品牌足球不少于33個，請在所有可行方案中，給出花費最少的方案，并計算最少方案的費用？
【分析】（1）設A種品牌足球的單價為x元，B種品牌足球的單價為y元，根據(jù)“總費用＝買A種足球費用+買B種足球費用，以及B種足球單價比A種足球貴20元”可得出關于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結論；
（2）設第二次購買A種足球m個，則購買B種足球（50﹣m）個，根據(jù)“總費用＝買A種足球費用+買B種足球費用，以及B種足球不小于33個”可得出關于m的一元一次不等式組，解不等式組可得出m的取值范圍，由此即可得出結論．
【解答】解：（1）設A種品牌足球的單價為x元，B種品牌足球的單價為y元，
依題意得：
，
解得：．
答：購買一個A種品牌的足球需要60元，購買一個B種品牌的足球需要80元．
（2）設第二次購買A種足球m個，則購買B種足球（50﹣m）個，
依題意得：，
解得：≤m≤17．
故這次學校購買足球有三種方案：
方案一：購買A種足球15個，B種足球35個；
方案二：購買A種足球16個，B種足球34個；
方案三：購買A種足球17個，B種足球33個．
設總費用為w，則w＝（60+5）m+80×0.9（50﹣m）＝﹣7m+3600，
∵﹣7＜0，
∴W隨m的增大而減小，
故當m＝17時，總費用最少，
∴W＝﹣7×17+3600＝3481（元）．
答：購買A種足球17個，B種足球33個費用最少．最少費用為3481元．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關系找出關于x、y的二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關系找出關于m的一元一次不等式組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)量關系列出方程（方程組、不等式或不等式組）是關鍵．
25．（10分）如圖直線AB，CD與直線MN分別交于E，F(xiàn)，且∠AEM與∠CFN互補，O為線段EF上一點．

（1）求證：AB∥CD．
（2）如圖1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大小．
（3）將圖1中的射線ON繞O點順時針轉(zhuǎn)一個角度α（0＜α＜90°）至ON′與CD交于F′，其它圖線保持不變，如圖2所示，作∠OF′D的平分線與∠BEO的平分線交于P′，求∠EP′F′的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）．
【分析】（1）∠AEM與∠CFN互補，則∠AEM+∠CFN＝180°，而∠AEM+∠AEN＝180°，可得∠CFN＝∠AEN，進而判定AB∥CD．
（2）由AB∥CD得∠BEO+∠DFO＝180°，由PE平分∠BEO，PF平分∠DFO得，∠PEO+∠PFO＝（∠BEO+∠DFO）＝90°，由三角形內(nèi)角和定理可得結果．
（3）過點O作OH∥AB，過點P′作P′Q∥AB，得到∠EON′＝∠BEO+∠DF′O＝180°﹣α，∠EP′F′＝∠BEP′+∠DF′P′，又由
EP′平分∠BEO，F(xiàn)′P′平分∠DF′O，得到∠EP′F′＝（∠BEO+∠DF′O），從而得到結果．
【解答】（1）證明：∵∠AEM與∠CFN互補，
∴∠AEM+∠CFN＝180°，
又∵∠AEM+∠AEN＝180°，
∴∠CFN＝∠AEN，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）得，AB∥CD，
∴∠BEO+∠DFO＝180°，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠PEO＝∠BEO，∠PFO＝∠DFO，
∴∠PEO+∠PFO＝（∠BEO+∠DFO）＝×180°＝90°，
∴∠EPF＝180°﹣（∠PEO+∠PFO）＝180°﹣90°＝90°．
（3）解：如圖，過點O作OH∥AB，過點P′作P′Q∥AB，
∵AB∥CD，P′Q∥AB，
∴OH∥AB∥CD，P′Q∥AB∥CD，
∴∠EOH＝∠BEO，∠N′OH＝∠DF′O，
∠EP′Q＝∠BEP′，∠F′P′Q＝∠DF′P′，
∴∠EON′＝∠BEO+∠DF′O＝180°﹣α，
∠EP′F′＝∠BEP′+∠DF′P′，
∵EP′平分∠BEO，F(xiàn)′P′平分∠DF′O，
∴∠BEP′＝∠BEO，∠DF′P′＝∠DF′O，
∴∠EP′F′＝（∠BEO+∠DF′O）＝（180°﹣α）＝90°﹣．

【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，余角和補角，正確添加平行線，熟練運用平行線的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．
26．（10分）已知△BAC、△BDE，其中BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，將△BAC繞著點B旋轉(zhuǎn)．
?
（1）當△BAC旋轉(zhuǎn)到圖1位置，連接AD、CE交于點F，連接BF；
①探究線段AD與線段CE的關系；
②證明：BF平分∠AFE；
（2）當△BAC旋轉(zhuǎn)到圖2位置，連接AE、CD，過點B作BG⊥AE于點G，交CD于點H，證明：AE＝2BH．
【分析】（1）①證明△ABD≌△CBE （SAS），即可得證；
②證明△ABD≌△CBE （SAS），再根據(jù)全等三角形對應邊上的高相等，推出BG＝BH，可得結論；
（2）在BG上截取BF，使BF＝AE，連接DF，用SAS證明△EBA≌△BDF，再證明△CBH≌△DFH，可得結論．
【解答】（1）①解：AD⊥CE，AD＝CE，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
又∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE （SAS），
∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD+∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴AD⊥CE；
②證明：如圖，過點B作BG⊥AD于點G，BH⊥EC于點H，

∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
又∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
又∵BG⊥AD，BH⊥CE，
∴BG＝BH（全等三角形對應邊上的高相等），
∴BF平分∠AFE，
（2）證明：在BG上截取BF，使BF＝AE，連接DF

∵BG⊥AE，
∴∠BEG+∠EBG＝90°，
∵∠DBE＝∠DBG+∠EBG＝90°，
∴∠DBG＝∠BEG，
又∵BD＝BE，
∴△EBA≌△BDF（SAS），
∴BA＝DF，∠EBA＝∠BDF，
∵BA＝BC，
∴DF＝BC，
∵∠DBE+∠ABC＝180°，
∴∠DBC+∠ABE＝180°，
∴∠DBC+∠BDF＝180，
∴BC∥DF，
∴∠BCH＝∠FDH，∠HBC＝∠HFD，
∵DF＝BC，
∴△CBH≌△DFH（ASA），
∴HB＝HF，
∴AE＝2BH．
【點評】本題屬于旋轉(zhuǎn)變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，

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