?重慶市渝中區(qū)求精中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（解析版）
一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請將答題卡上對應(yīng)題目的正確答案標(biāo)號涂黑.
1．（4分）如圖所示的4個(gè)圖案中是軸對稱圖形的是（　　）
A．阿基米德螺旋線 B．笛卡爾心形線
C．趙爽弦圖 D．太極圖
2．（4分）為了調(diào)查我市某校學(xué)生的視力情況，在全校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了300名學(xué)生，下列說法正確的是（　?。?br /> A．此次調(diào)查屬于全面調(diào)查
B．樣本容量是300
C．2000名學(xué)生是總體
D．被抽取的每一名學(xué)生稱為個(gè)體
3．（4分）如圖中∠1與∠2不是同位角的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（4分）一個(gè)正方形的面積是34平方厘米，其邊長（　?。?br /> A．小于5cm B．等于5cm
C．在5cm和6cm之間 D．大于6cm
5．（4分）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長相等的等邊三角形組成，第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，?，照此規(guī)律，擺成第7個(gè)圖案需要的三角形個(gè)數(shù)是（　　）
?
A．19個(gè) B．22個(gè) C．25個(gè) D．26個(gè)
6．（4分）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（　　）
①同位角相等；
②垂線段最短；
③過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；
④三條直線兩兩相交，總有三個(gè)交點(diǎn)；
⑤若a∥b，b∥c，則a∥c．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
7．（4分）八年級某小組同學(xué)去植樹，若每人平均植樹7棵，則還剩9棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學(xué)植樹的棵數(shù)不到2棵．設(shè)同學(xué)人數(shù)為x人，植樹的棵數(shù)為（7x+9）棵，下列能準(zhǔn)確的求出同學(xué)人數(shù)與種植棵數(shù)的不等關(guān)系是（　　）
A．7x+9≤2+9（x﹣1）
B．7x+9≥9（x﹣1）
C．
D．
8．（4分）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，將△BDE沿直線DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DB′、EB′分別交邊AC于點(diǎn)F、G．則陰影部分圖形的周長等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
9．（4分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，若∠BOC＝100°，則這兩條垂直平分線相交所成銳角α的度數(shù)為（　　）

A．40° B．45° C．50° D．80°
10．（4分）如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分線BD、CD交于點(diǎn)D，延長BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，點(diǎn)P在BN上，∠ADP+∠ABC＝180°，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（　　）
①AD平分∠MAC；
②S△DAB：S△DBC＝AB：BC；
③若∠BDC＝31°，則∠DAM＝59°；
④BP﹣2AE＝AB．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上.
11．（4分）若|x|＝5，y是9的算術(shù)平方根，則x+y的值是 　 ?。?br /> 12．（4分）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個(gè)多邊形是　 　邊形．
13．（4分）已知a，b，c是△ABC的三邊，化簡：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|＝　 ?。?br /> 14．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB中，AO＝BO，∠AOB＝90°，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 　 ?。?br />
15．（4分）關(guān)于x，y的方程組的解為，請直接寫出關(guān)于m、n的方程組的解是 　 ?。?br /> 16．（4分）如圖，△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點(diǎn)為G，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是　 　．

17．（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是x≤a，且關(guān)于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的個(gè)數(shù)為 　 　．
18．（4分）對于一個(gè)四位自然數(shù)N，其千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0．將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，記為A；百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個(gè)兩位數(shù)字，記為B，若A與B的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱N為“坎數(shù)”．例如：6345，A＝65，B34，65+34＝99，11（6+3）＝99，所以6345是“坎數(shù)”．若N1為“坎數(shù)”，且A+B＝99，則N1最大為 　 ??；若N2為“坎數(shù)”，且a＞b，當(dāng)為9的倍數(shù)時(shí)，則所有滿足條件的N2的最大值為 　 ?。?br /> 三、解答題：（本大題9個(gè)小題，19題8分，20-26題每題10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，請將解答書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19．（8分）計(jì)算：
（1）；
（2）．
20．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BC延長線上一點(diǎn)，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．
（1）求證：AE＝FD；
（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度數(shù)．

21．（10分）北京冬奧會后，為了大力推進(jìn)冰雪運(yùn)動的普及與發(fā)展，各單位開展多類活動讓更多的人了解冰雪運(yùn)動文化、領(lǐng)略冰雪運(yùn)動魅力．重慶市某小區(qū)采取隨機(jī)抽樣的方法對該小區(qū)進(jìn)行了“最喜歡的冬奧會比賽項(xiàng)目”的問卷調(diào)查，調(diào)楂結(jié)果分為“冰球”、“短道速滑”、“花樣滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五類．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖統(tǒng)計(jì)圖．

請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息解答下列問題：
（1）本次調(diào)查隨機(jī)從該小區(qū)抽取了 　 　名居民，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“冰球”對應(yīng)的扇形圓心角為 　 　度；
（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）請估計(jì)該小區(qū)3000人中約有多少人最喜歡的冬奧會項(xiàng)目是花樣滑冰（寫出必要的計(jì)算過程）．
22．（10分）在學(xué)習(xí)正方形的過程中，小陳陳遇到了一個(gè)問題：在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作AE的垂線，分別交AE，AB于點(diǎn)G和點(diǎn)F．求證：AE＝DF．他的思路是：首先利用正方形的性質(zhì)得到正方形各邊相等，再利用垂直，得到角相等，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成以下尺規(guī)作圖與填空：過點(diǎn)D作AE的垂線，分別與AE、AB交于點(diǎn)G、F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝　 ?。?br /> ∴　 　+∠DAE＝90°
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴　 ?。?br /> 在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ 　 　）．
∴AE＝DF．

23．（10分）已知△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過平移得到的，它們各頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)如表所示：

△ABC
A（2，4）
B（5，b）
C（c，7）
△A′B′C′
A′（a，1）
B′（3，1）
C′（4，4）
（1）觀察表中各對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化，并填空：a＝　 　，c＝　 　，b＝　 ??；
（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC及平移后的△A′B′C′；
（3）點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)三角形ABP的面積為9時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
24．（10分）重慶市求精中學(xué)開學(xué)初到商場購買A，B兩種品牌的足球，購買A種品牌的足球50個(gè)，B種品牌的足球25個(gè)，共花費(fèi)5000元．已知購買一個(gè)B種品牌的足球比購買一個(gè)A種品牌的足球需要多花20元．
（1）求購買一個(gè)A種品牌、一個(gè)B種品牌的足球各需多少元？
（2）為了響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號召，學(xué)校決定再次購進(jìn)A，B兩種品牌的足球50個(gè)，正好趕上商場對商品價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球的售價(jià)比第一次購買時(shí)提高5元，B品牌足球按第一次購買時(shí)售價(jià)的九折出售．如果學(xué)校此次購買A，B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過第一次花費(fèi)的70%，且保證這次購買的B種品牌足球不少于33個(gè)，請?jiān)谒锌尚蟹桨钢?，給出花費(fèi)最少的方案，并計(jì)算最少方案的費(fèi)用？
25．（10分）如圖直線AB，CD與直線MN分別交于E，F(xiàn)，且∠AEM與∠CFN互補(bǔ)，O為線段EF上一點(diǎn)．

（1）求證：AB∥CD．
（2）如圖1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大?。?br /> （3）將圖1中的射線ON繞O點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜90°）至ON′與CD交于F′，其它圖線保持不變，如圖2所示，作∠OF′D的平分線與∠BEO的平分線交于P′，求∠EP′F′的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）．
26．（10分）已知△BAC、△BDE，其中BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，將△BAC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．
?
（1）當(dāng)△BAC旋轉(zhuǎn)到圖1位置，連接AD、CE交于點(diǎn)F，連接BF；
①探究線段AD與線段CE的關(guān)系；
②證明：BF平分∠AFE；
（2）當(dāng)△BAC旋轉(zhuǎn)到圖2位置，連接AE、CD，過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，證明：AE＝2BH．

參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請將答題卡上對應(yīng)題目的正確答案標(biāo)號涂黑.
1．（4分）如圖所示的4個(gè)圖案中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A．阿基米德螺旋線 B．笛卡爾心形線
C．趙爽弦圖 D．太極圖
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
B選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（4分）為了調(diào)查我市某校學(xué)生的視力情況，在全校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了300名學(xué)生，下列說法正確的是（　　）
A．此次調(diào)查屬于全面調(diào)查
B．樣本容量是300
C．2000名學(xué)生是總體
D．被抽取的每一名學(xué)生稱為個(gè)體
【分析】根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的意義，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、此次調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，故A不符合題意；
B、樣本容量是300，故B符合題意；
C、2000名學(xué)生的視力情況是總體，故C不符合題意；
D、被抽取的每一名學(xué)生的視力情況稱為個(gè)體，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．
3．（4分）如圖中∠1與∠2不是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)同位角的定義作出選擇．
【解答】解：觀察圖形，選項(xiàng)B中∠1與∠2不可能成為同位角．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角．解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．
4．（4分）一個(gè)正方形的面積是34平方厘米，其邊長（　　）
A．小于5cm B．等于5cm
C．在5cm和6cm之間 D．大于6cm
【分析】根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算，利用算術(shù)平方根的定義解答．
【解答】解：∵正方形的面積是34平方厘米，
∴邊長＝cm，
∵5＜＜6，
∴其邊長在5cm和6cm之間．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，根據(jù)算術(shù)平方根的定義是解答此題的關(guān)鍵．
5．（4分）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長相等的等邊三角形組成，第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，?，照此規(guī)律，擺成第7個(gè)圖案需要的三角形個(gè)數(shù)是（　　）
?
A．19個(gè) B．22個(gè) C．25個(gè) D．26個(gè)
【分析】根據(jù)圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可用含n的代數(shù)式表示．
【解答】解：第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，即4＝3×1+1，
第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，即7＝3×2+1，
第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，即10＝3×3+1，
…，
按此規(guī)律擺下去，
第n個(gè)圖案有（3n+1）個(gè)三角形．
第7個(gè)圖案有（3×7+1）＝22個(gè)三角形．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型﹣圖形的變化類、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律．
6．（4分）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> ①同位角相等；
②垂線段最短；
③過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；
④三條直線兩兩相交，總有三個(gè)交點(diǎn)；
⑤若a∥b，b∥c，則a∥c．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】根據(jù)平行線的定義，平行公理和相交線對各小題分析判斷利用排除法求解．
【解答】解：①∵同位角不一定是兩平行直線被截得到，∴同位角相等錯誤，故本小題錯誤；
②垂線段最短，故本小題正確；
③應(yīng)為過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本小題錯誤；
④三條直線兩兩相交，總有一個(gè)或三個(gè)交點(diǎn)，故本小題錯誤；
⑤若a∥b，b∥c，則a∥c，正確．
綜上所述，說法正確的有②⑤共2個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是命題與定理，涉及到平行公理，相交線與平行線，同位角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．
7．（4分）八年級某小組同學(xué)去植樹，若每人平均植樹7棵，則還剩9棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學(xué)植樹的棵數(shù)不到2棵．設(shè)同學(xué)人數(shù)為x人，植樹的棵數(shù)為（7x+9）棵，下列能準(zhǔn)確的求出同學(xué)人數(shù)與種植棵數(shù)的不等關(guān)系是（　　）
A．7x+9≤2+9（x﹣1）
B．7x+9≥9（x﹣1）
C．
D．
【分析】不到2棵意思是植樹棵數(shù)在0棵和2棵之間，包括0棵，不包括2棵，關(guān)系式為：植樹的總棵數(shù)≥9（x﹣1），植樹的總棵數(shù)＜8+9（x﹣1），把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解答】解：（x﹣1）位同學(xué)植樹棵數(shù)為9（x﹣1），
∵有1位同學(xué)植樹的棵數(shù)不到8棵．植樹的總棵數(shù)為（7x+9）棵，
∴可列不等式組為．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了列一元一次不等式組，得到植樹總棵數(shù)和預(yù)計(jì)植樹棵數(shù)之間的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．
8．（4分）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，將△BDE沿直線DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DB′、EB′分別交邊AC于點(diǎn)F、G．則陰影部分圖形的周長等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用折疊的性質(zhì)可得△BDE≌△B′DE，利用等量代換和等式的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：利用折疊的性質(zhì)可得△BDE≌△B′DE，
∴BD＝BD′，BE＝B′E．
∴陰影部分圖形的周長＝AD+B′D+AG+B′E+EC+EC+CG
＝（AD+B′D）+（AG+GC）+（B′E+EC）
＝（AD+BD）+（AG+GC）+（BE+EC）
＝AB+AC+BC，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，
∴AB+AC+BC＝6，
∴陰影部分圖形的周長等于6，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)得△BDE≌△B′DE是解題的關(guān)鍵．
9．（4分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，若∠BOC＝100°，則這兩條垂直平分線相交所成銳角α的度數(shù)為（　?。?br />
A．40° B．45° C．50° D．80°
【分析】連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA＝OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出答案即可．
【解答】解：連接OA，

∵點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，
∵∠BOC＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，
∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，
即∠BAC＝50°，
∵點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠α＝180°﹣130°＝50°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟記線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解此題的關(guān)鍵．
10．（4分）如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分線BD、CD交于點(diǎn)D，延長BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，點(diǎn)P在BN上，∠ADP+∠ABC＝180°，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（　　）
①AD平分∠MAC；
②S△DAB：S△DBC＝AB：BC；
③若∠BDC＝31°，則∠DAM＝59°；
④BP﹣2AE＝AB．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】由角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF＝DH，可得AD平分∠MAC；故①正確；由面積公式可判斷②，由“AAS”可證△ADE≌△PDF，可得AE＝PF，由“HL”可證Rt△BDE≌Rt△BDF，可得BE＝BF，由線段的和差關(guān)系可得BP﹣2AE＝AB，故④正確，由角平分線的性質(zhì)可求∠DAM＝59°；故③正確，即可求解．
【解答】解：過D作DH⊥AC于H，

∵∠ABC、∠ACN的角平分線BD、CD交于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴DE＝DF，DH＝DF，
∴DE＝DH，
∴AD平分∠MAC；故①正確；
∵S△DAB：S△DBC＝＝，故②正確；
∵∠ABC+∠DEF+∠DFE+∠EDF＝360°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°，
∵∠ADP+∠ABC＝180°，
∴∠EDF＝∠ADP，
∴∠EDA＝∠PDF，
在△ADE和△PDF中，
，
∴△ADE≌△PDF（AAS），
∴AE＝PF，
在Rt△BDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴BE＝BF，
∴BP﹣AB＝BF+PF﹣AB＝BE+AE﹣AB＝AE+AB+AE﹣AB＝2AE，
∴BP﹣2AE＝AB，故④正確，
∵AD平分∠MAC，DC平分∠ACN，BD平分∠ABC，
∴∠DAC＝∠MAC，∠DCA＝∠ACN，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝90°﹣∠ABC，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABC﹣31°，
∴∠DAE＝∠ABD+∠ADB＝59°，故③正確，
故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上.
11．（4分）若|x|＝5，y是9的算術(shù)平方根，則x+y的值是 　8或﹣2??。?br /> 【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)及算術(shù)平方根的定義分別求得x，y的值后代入x+y中計(jì)算即可．
【解答】解：∵|x|＝5，y是9的算術(shù)平方根，
∴x＝±5，y＝3，
當(dāng)x＝5，y＝3時(shí)，x+y＝5+3＝8，
當(dāng)x＝﹣5，y＝3時(shí)，x+y＝﹣5+3＝﹣2，
綜上，x+y的值是8或﹣2，
故答案為：8或﹣2．
【點(diǎn)評】本題考查絕對值的性質(zhì)及算術(shù)平方根的定義，結(jié)合已知條件求得x，y的值是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個(gè)多邊形是　五　邊形．
【分析】利用n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，結(jié)合方程即可求出答案．
【解答】解：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和可得：（n﹣2）180°＝540°，
解得：n＝5．
則這個(gè)多邊形是五邊形．
故答案為：五．
【點(diǎn)評】此題考查多邊形的內(nèi)角和問題，關(guān)鍵是根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°．
13．（4分）已知a，b，c是△ABC的三邊，化簡：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|＝　3a﹣b﹣c?。?br /> 【分析】三角形三邊滿足兩邊和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，根據(jù)此來確定絕對值內(nèi)的式子的正負(fù)，從而化簡計(jì)算即可．
【解答】解：∵△ABC的三邊長分別是a、b、c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＝b﹣（a+c）＜0，c+b﹣a＞0，
∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|
＝a+b﹣c﹣b+a+c﹣c﹣b+a
＝3a﹣b﹣c．
故答案為：3a﹣b﹣c．
【點(diǎn)評】此題考查了三角形三邊關(guān)系與絕對值的性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來判定絕對值內(nèi)式子的正負(fù)．
14．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB中，AO＝BO，∠AOB＝90°，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 　（﹣2，1）?。?br />
【分析】過A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，證明△AOC≌△OBD（AAS），得AC＝OD，OC＝BD，即可解決問題．
【解答】解：過如圖，過A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠CAO＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠DOB＝90°．
∴∠CAO＝∠DOB．
在△AOC與△OBD中，
，
∴△AOC≌△OBD（AAS）．
∴AC＝OD，OC＝BD，
又∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），
∴AC＝OD＝2，OC＝BD＝1，
∴B（﹣2，1）．
故答案為：（﹣2，1）．

【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及等腰直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．
15．（4分）關(guān)于x，y的方程組的解為，請直接寫出關(guān)于m、n的方程組的解是 　?。?br /> 【分析】設(shè)m+2＝s，n﹣3＝t，則方程組的即為，根據(jù)關(guān)于x，y的方程組的解為，得到，由此求出m、n的值即可．
【解答】解：設(shè)m+2＝s，n﹣3＝t，
∴方程組的即為，
∵關(guān)于x，y的方程組的解為，
∴關(guān)于s，t的方程組為的解為得到，
∴，
∴，
∴關(guān)于m、n的方程組，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了求二元一次方程組的解，正確發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程組之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點(diǎn)為G，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是　4?。?br />
【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，知△ABC的面積即為陰影部分的面積的3倍．
【解答】方法1
解：∵△ABC的三條中線AD、BE，CF交于點(diǎn)G，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，
∴S陰影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案為4．
方法2
設(shè)△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面積分別為S1，S2，S3，S4，S5，S6，根據(jù)中線平分三角形面積可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②
由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故陰影部分的面積為4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，該圖中，△BGF的面積＝△BGD的面積＝△CGD的面積，△AGF的面積＝△AGE的面積＝△CGE的面積．
17．（4分）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是x≤a，且關(guān)于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的個(gè)數(shù)為 　5?。?br /> 【分析】先求出不等式組中每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是x≤a，可以求得a的取值范圍，再求出關(guān)于y的方程2y﹣a﹣3＝0的解，然后根據(jù)關(guān)于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非負(fù)整數(shù)解，即可求出a的值，從而可以解答本題．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤a，
解不等式②，得：x＜7，
∵關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是x≤a，
∴a＜7，
由方程2y﹣a﹣3＝0可得y＝，
∵關(guān)于y的方程2y﹣a﹣3＝0有非負(fù)整數(shù)解，
∴a＝﹣3或a＝﹣1或a＝1或a＝3或a＝5，
∴符合條件的所有整數(shù)a的個(gè)數(shù)為5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解、解一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法和解一元一次方程的方法．
18．（4分）對于一個(gè)四位自然數(shù)N，其千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不相同且均不為0．將自然數(shù)N的千位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，記為A；百位數(shù)字和十位數(shù)字組成另一個(gè)兩位數(shù)字，記為B，若A與B的和等于N的千位數(shù)字與百位數(shù)字之和的11倍，則稱N為“坎數(shù)”．例如：6345，A＝65，B34，65+34＝99，11（6+3）＝99，所以6345是“坎數(shù)”．若N1為“坎數(shù)”，且A+B＝99，則N1最大為 　8172??；若N2為“坎數(shù)”，且a＞b，當(dāng)為9的倍數(shù)時(shí)，則所有滿足條件的N2的最大值為 　8154?。?br /> 【分析】根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到10a+d+10b+c＝11（a+b），可得出a+b＝c+d，根據(jù)當(dāng)為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，所以可知c＝d，則可知c＝5，d＝4，故a+b＝9，則最大的值為a＝8，b＝1，即可求解．
【解答】解：∵A+B＝99，N1為“坎數(shù)”，
∵千位數(shù)字為8，個(gè)數(shù)位上的數(shù)字1，百位數(shù)字為7，十位數(shù)字為2，
∴N1最大為8172，
根據(jù)“坎數(shù)”的定義可以得到10a+d+10b+c＝11（a+b），、∴a+b＝c+d，
∴ 為9的倍數(shù)，且a、b、c、d都是小于10的自然數(shù)，a＞b，
，
，
∴，
∴c＝5，d＝4，
∴a+b＝c+d＝9，
當(dāng)a＝8，時(shí)，N有最大值，
∴b＝9﹣8＝1，
∴N的最大值為8154，
【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，通過給出的“坎數(shù)”的定義求出對應(yīng)的各個(gè)數(shù)位的數(shù)字的關(guān)系，通過給出的式子，求出對應(yīng)的數(shù)字的結(jié)果，從而求出最后的解．
三、解答題：（本大題9個(gè)小題，19題8分，20-26題每題10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，請將解答書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19．（8分）計(jì)算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化簡方程組，再根據(jù)加減消元法可以解答此方程組；
（2）先求出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集．
【解答】解：（1），
化簡，得：，
②﹣①×2，得：5y＝10，
解得y＝2，
將y＝2代入①，得：x＝3，
∴該方程組的解是；
（2），
解不等式①，得：x≥﹣4，
解不等式②，得：x＞7，
∴該不等式組的解集是x＞7．
【點(diǎn)評】本題考查解二元一次方程組、解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確解二元一次方程組的方法和解一元一次不等式的方法．
20．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BC延長線上一點(diǎn)，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．
（1）求證：AE＝FD；
（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度數(shù)．

【分析】（1）由“ASA”可證△ADE≌△FBD，可得結(jié)論；
（2）由三角形內(nèi)角和定理可求∠F＝30°，即可求解．
【解答】（1）證明：∵∠ACF＝∠ADF，
∴∠B+∠A＝∠B+∠F，
∴∠A＝∠F，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
在△ADE和△FBD中，
，
∴△ADE≌△FBD（ASA），
∴AE＝FD；
（2）解：∵∠FDB＝80°，∠B＝70°，
∴∠F＝30°，
∴∠ACF＝∠ADF＝∠B+∠F＝100°，
∴∠1＝∠F+∠ACF＝130°．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
21．（10分）北京冬奧會后，為了大力推進(jìn)冰雪運(yùn)動的普及與發(fā)展，各單位開展多類活動讓更多的人了解冰雪運(yùn)動文化、領(lǐng)略冰雪運(yùn)動魅力．重慶市某小區(qū)采取隨機(jī)抽樣的方法對該小區(qū)進(jìn)行了“最喜歡的冬奧會比賽項(xiàng)目”的問卷調(diào)查，調(diào)楂結(jié)果分為“冰球”、“短道速滑”、“花樣滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五類．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖統(tǒng)計(jì)圖．

請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息解答下列問題：
（1）本次調(diào)查隨機(jī)從該小區(qū)抽取了 　200　名居民，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“冰球”對應(yīng)的扇形圓心角為 　72　度；
（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）請估計(jì)該小區(qū)3000人中約有多少人最喜歡的冬奧會項(xiàng)目是花樣滑冰（寫出必要的計(jì)算過程）．
【分析】（1）用“短道速滑”的學(xué)生人數(shù)除以所占的百分比即可得出抽取的總?cè)藬?shù)，先算出喜歡“冰球”的人數(shù)所占的百分比，再用360°乘百分比可得圓心角；
（2）用總?cè)藬?shù)分別減去其它項(xiàng)目的人數(shù)，即可得出最喜歡“花樣滑冰”的人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以最喜歡“花樣滑冰”的學(xué)生所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的樣本容量為：80÷40%＝200，
扇形統(tǒng)計(jì)圖中“冰球”對應(yīng)的扇形心角為：360°×＝72°，
故答案為：200；72；
（2）最喜歡“花樣滑冰”的人數(shù)為：200﹣40﹣80﹣20﹣10＝50（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

（3）3000×＝750（人），
答：估計(jì)該小區(qū)3000人中約有750人最喜歡的冬奧會項(xiàng)目是花樣滑冰．
【點(diǎn)評】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
22．（10分）在學(xué)習(xí)正方形的過程中，小陳陳遇到了一個(gè)問題：在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作AE的垂線，分別交AE，AB于點(diǎn)G和點(diǎn)F．求證：AE＝DF．他的思路是：首先利用正方形的性質(zhì)得到正方形各邊相等，再利用垂直，得到角相等，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成以下尺規(guī)作圖與填空：過點(diǎn)D作AE的垂線，分別與AE、AB交于點(diǎn)G、F；（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝　90°?。?br /> ∴　∠ADF　+∠DAE＝90°
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴　∠ADF＝∠BAE??；
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ 　ASA?。?br /> ∴AE＝DF．

【分析】先根據(jù)題中步驟作圖，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)證明．
【解答】證明：過點(diǎn)D作AE的垂線，分別與AE、AB交于點(diǎn)G、

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝90°．
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝90°．
∴∠ADF+∠DAE＝90°．
又∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE．
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA）．
∴AE＝DF，
故答案為：90°，∠ADF，∠ADF＝∠BAE，∠ABC＝∠DAB，ASA．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判斷和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）已知△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過平移得到的，它們各頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)如表所示：

△ABC
A（2，4）
B（5，b）
C（c，7）
△A′B′C′
A′（a，1）
B′（3，1）
C′（4，4）
（1）觀察表中各對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化，并填空：a＝　0　，c＝　4　，b＝　6?。?br /> （2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC及平移后的△A′B′C′；
（3）點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)三角形ABP的面積為9時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)變換規(guī)律即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意得，△A′B′C′是由△ABC向下平移3個(gè)單位、向左平移2個(gè)單位得到；
∴a＝2﹣2＝0，b＝1+3＝4，c＝4+2＝6；
故答案為：0，4，6；
（2）如圖所示：

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），
∴△ABP的面積＝，
∴|y﹣4|＝6，
∴y＝10或y＝﹣2，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，10）或（0，﹣2）．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣平移變換：作圖時(shí)要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點(diǎn)后，再順次連接對應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形．
24．（10分）重慶市求精中學(xué)開學(xué)初到商場購買A，B兩種品牌的足球，購買A種品牌的足球50個(gè)，B種品牌的足球25個(gè)，共花費(fèi)5000元．已知購買一個(gè)B種品牌的足球比購買一個(gè)A種品牌的足球需要多花20元．
（1）求購買一個(gè)A種品牌、一個(gè)B種品牌的足球各需多少元？
（2）為了響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號召，學(xué)校決定再次購進(jìn)A，B兩種品牌的足球50個(gè)，正好趕上商場對商品價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球的售價(jià)比第一次購買時(shí)提高5元，B品牌足球按第一次購買時(shí)售價(jià)的九折出售．如果學(xué)校此次購買A，B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過第一次花費(fèi)的70%，且保證這次購買的B種品牌足球不少于33個(gè)，請?jiān)谒锌尚蟹桨钢?，給出花費(fèi)最少的方案，并計(jì)算最少方案的費(fèi)用？
【分析】（1）設(shè)A種品牌足球的單價(jià)為x元，B種品牌足球的單價(jià)為y元，根據(jù)“總費(fèi)用＝買A種足球費(fèi)用+買B種足球費(fèi)用，以及B種足球單價(jià)比A種足球貴20元”可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)第二次購買A種足球m個(gè)，則購買B種足球（50﹣m）個(gè)，根據(jù)“總費(fèi)用＝買A種足球費(fèi)用+買B種足球費(fèi)用，以及B種足球不小于33個(gè)”可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解不等式組可得出m的取值范圍，由此即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)A種品牌足球的單價(jià)為x元，B種品牌足球的單價(jià)為y元，
依題意得：
，
解得：．
答：購買一個(gè)A種品牌的足球需要60元，購買一個(gè)B種品牌的足球需要80元．
（2）設(shè)第二次購買A種足球m個(gè)，則購買B種足球（50﹣m）個(gè)，
依題意得：，
解得：≤m≤17．
故這次學(xué)校購買足球有三種方案：
方案一：購買A種足球15個(gè)，B種足球35個(gè)；
方案二：購買A種足球16個(gè)，B種足球34個(gè)；
方案三：購買A種足球17個(gè)，B種足球33個(gè)．
設(shè)總費(fèi)用為w，則w＝（60+5）m+80×0.9（50﹣m）＝﹣7m+3600，
∵﹣7＜0，
∴W隨m的增大而減小，
故當(dāng)m＝17時(shí)，總費(fèi)用最少，
∴W＝﹣7×17+3600＝3481（元）．
答：購買A種足球17個(gè)，B種足球33個(gè)費(fèi)用最少．最少費(fèi)用為3481元．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出關(guān)于m的一元一次不等式組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程（方程組、不等式或不等式組）是關(guān)鍵．
25．（10分）如圖直線AB，CD與直線MN分別交于E，F(xiàn)，且∠AEM與∠CFN互補(bǔ)，O為線段EF上一點(diǎn)．

（1）求證：AB∥CD．
（2）如圖1，已知PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，求∠EPF的大?。?br /> （3）將圖1中的射線ON繞O點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜90°）至ON′與CD交于F′，其它圖線保持不變，如圖2所示，作∠OF′D的平分線與∠BEO的平分線交于P′，求∠EP′F′的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）．
【分析】（1）∠AEM與∠CFN互補(bǔ)，則∠AEM+∠CFN＝180°，而∠AEM+∠AEN＝180°，可得∠CFN＝∠AEN，進(jìn)而判定AB∥CD．
（2）由AB∥CD得∠BEO+∠DFO＝180°，由PE平分∠BEO，PF平分∠DFO得，∠PEO+∠PFO＝（∠BEO+∠DFO）＝90°，由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果．
（3）過點(diǎn)O作OH∥AB，過點(diǎn)P′作P′Q∥AB，得到∠EON′＝∠BEO+∠DF′O＝180°﹣α，∠EP′F′＝∠BEP′+∠DF′P′，又由
EP′平分∠BEO，F(xiàn)′P′平分∠DF′O，得到∠EP′F′＝（∠BEO+∠DF′O），從而得到結(jié)果．
【解答】（1）證明：∵∠AEM與∠CFN互補(bǔ)，
∴∠AEM+∠CFN＝180°，
又∵∠AEM+∠AEN＝180°，
∴∠CFN＝∠AEN，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）得，AB∥CD，
∴∠BEO+∠DFO＝180°，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠PEO＝∠BEO，∠PFO＝∠DFO，
∴∠PEO+∠PFO＝（∠BEO+∠DFO）＝×180°＝90°，
∴∠EPF＝180°﹣（∠PEO+∠PFO）＝180°﹣90°＝90°．
（3）解：如圖，過點(diǎn)O作OH∥AB，過點(diǎn)P′作P′Q∥AB，
∵AB∥CD，P′Q∥AB，
∴OH∥AB∥CD，P′Q∥AB∥CD，
∴∠EOH＝∠BEO，∠N′OH＝∠DF′O，
∠EP′Q＝∠BEP′，∠F′P′Q＝∠DF′P′，
∴∠EON′＝∠BEO+∠DF′O＝180°﹣α，
∠EP′F′＝∠BEP′+∠DF′P′，
∵EP′平分∠BEO，F(xiàn)′P′平分∠DF′O，
∴∠BEP′＝∠BEO，∠DF′P′＝∠DF′O，
∴∠EP′F′＝（∠BEO+∠DF′O）＝（180°﹣α）＝90°﹣．

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，余角和補(bǔ)角，正確添加平行線，熟練運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（10分）已知△BAC、△BDE，其中BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，將△BAC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．
?
（1）當(dāng)△BAC旋轉(zhuǎn)到圖1位置，連接AD、CE交于點(diǎn)F，連接BF；
①探究線段AD與線段CE的關(guān)系；
②證明：BF平分∠AFE；
（2）當(dāng)△BAC旋轉(zhuǎn)到圖2位置，連接AE、CD，過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，證明：AE＝2BH．
【分析】（1）①證明△ABD≌△CBE （SAS），即可得證；
②證明△ABD≌△CBE （SAS），再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，推出BG＝BH，可得結(jié)論；
（2）在BG上截取BF，使BF＝AE，連接DF，用SAS證明△EBA≌△BDF，再證明△CBH≌△DFH，可得結(jié)論．
【解答】（1）①解：AD⊥CE，AD＝CE，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
又∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE （SAS），
∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD+∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴AD⊥CE；
②證明：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥AD于點(diǎn)G，BH⊥EC于點(diǎn)H，

∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
又∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
又∵BG⊥AD，BH⊥CE，
∴BG＝BH（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），
∴BF平分∠AFE，
（2）證明：在BG上截取BF，使BF＝AE，連接DF

∵BG⊥AE，
∴∠BEG+∠EBG＝90°，
∵∠DBE＝∠DBG+∠EBG＝90°，
∴∠DBG＝∠BEG，
又∵BD＝BE，
∴△EBA≌△BDF（SAS），
∴BA＝DF，∠EBA＝∠BDF，
∵BA＝BC，
∴DF＝BC，
∵∠DBE+∠ABC＝180°，
∴∠DBC+∠ABE＝180°，
∴∠DBC+∠BDF＝180，
∴BC∥DF，
∴∠BCH＝∠FDH，∠HBC＝∠HFD，
∵DF＝BC，
∴△CBH≌△DFH（ASA），
∴HB＝HF，
∴AE＝2BH．
【點(diǎn)評】本題屬于旋轉(zhuǎn)變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，

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