?2023-2024學(xué)年重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)八年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）
1．（4分）在實數(shù)：3.142，，，π中，無理數(shù)是（　?。?br /> A．3.142 B． C． D．π
2．（4分）下列等式中，錯誤的是（　?。?br /> A．3x3+6x3＝9x3 B．2x2﹣3x2＝﹣1
C．3x3?6x3＝18x6 D．
3．（4分）估算﹣2的值是在（　　）
A．2到3之間 B．3到4之間 C．4到5之間 D．5到6之間
4．（4分）下列說法正確的是（　?。?br /> A．等邊三角形只有一條對稱軸
B．若三條線段長度之比為2：3：4，則它們可以構(gòu)成三角形
C．等腰三角形的一個底角為70°，則頂角為55°
D．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等
5．（4分）若x＞y，則下列不等式一定成立的是（　?。?br /> A．x2＞y2 B．a(chǎn)2x＞a2y C． D．2﹣x＞2﹣y
6．（4分）若x、y為等腰三角形的兩邊，且滿足|x﹣4|+（x﹣y+2）2＝0，則這個等腰三角形的周長為（　?。?br /> A．16 B．14 C．10 D．16或14
7．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是BC、AB上的中點，若S△DEA＝3，則四邊形AEDC的面積為（　?。?br />
A．3 B．6 C．9 D．12
8．（4分）重慶北站到萬州客車站路程全長270km，一小汽車和一輛貨車同時從重慶北站、萬州客車站兩地相向而行，經(jīng)過1小時40分鐘相遇，設(shè)小汽車和貨車的平均速度分別為xkm/h和ykm/h，則個列方程組中正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
9．（4分）若實數(shù)m使關(guān)于x的不等式組有解且至多有3個整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程2y＝，則滿足條件的所有整數(shù)m的和為（　?。?br /> A．15 B．11 C．10 D．6
10．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，過點A作AF∥BC且AF＝AD，點E是AC上一點且AE＝AB，DE．連接FD交BE于點G．下列結(jié)論中正確的有（　?。﹤€．
①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE四邊形ABDE＝S四邊形ADEF；⑤BG＝GE．

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題，（本大題10個小題，每小題4分，共40分）
11．（4分）﹣的立方根為　 ?。?br /> 12．（4分）因式分解：2x2﹣2＝　 ?。?br /> 13．（4分）已知一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，則它的邊數(shù)為　 ?。?br /> 14．（4分）點P（a，b）關(guān)于y軸的對稱點P1（3，﹣2），則點P的坐標(biāo)為 　 ?。?br /> 15．（4分）已知點P的坐標(biāo)為（m，3），點Q的坐標(biāo)為（2﹣2m，m﹣3），且PQ∥y軸　 ?。?br /> 16．（4分）如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°　 ?。?br />
17．（4分）如圖，在△ABC中，過點A作AD⊥BC于D，已知AC＝BE，BD＝5，則AE的長為 　 ?。?br />
18．（4分）若一個四位正整數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且千位數(shù)字與個位數(shù)字不相等，百位數(shù)字與十位數(shù)字不相等，可以得到四個新三位數(shù)，把這四個新三位數(shù)的和與3的商記為P（m），“不同數(shù)”m＝2135，去掉其中任意一位數(shù)后得到的四個新三位數(shù)分別為：135、235、215、213，798÷3＝266，所以P（2135）（1933）＝　 　，若“不同數(shù)”n的百位數(shù)字比千位數(shù)字大2，個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，且P（n），則n的值為 　 　．
三、解答題：（本大題8個小題共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步
19．（8分）（1）計算：；
（2）﹣6xy（x2﹣2xy﹣y2）+3xy（2x2﹣4xy+y2）．
20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）將△ABC向右平移5個單位再向下平移1個單位得到△A1B1C1，在圖中作出△A1B1C1，并寫出點C1的坐標(biāo) 　 ??；
（2）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A2B2C2，點A、B、C的對應(yīng)點分別為A2、B2、C2；
（3）求△A2B2C2的面積．

21．（10分）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝90°

（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）
（2）在（1）的條件下，求證：∠AFE＝AEF．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴　 　+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝　 　，
∴∠FBD+　 　＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+　 ?。?0°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝　 　，
∴∠AFE＝AEF．

22．（10分）今年是巴蜀中學(xué)建校88周年紀(jì)念，為了讓學(xué)生進一步了解巴蜀中學(xué)的歷史，學(xué)校在初一年級組織了一系列“校史知識”專題學(xué)習(xí)活動（滿分100分）閱卷后教務(wù)處隨機地抽取了部分答卷進行分析統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)考試成績（x分），最高分為100分，且分?jǐn)?shù)都為整數(shù)．并繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖表，解答下列問題：
分?jǐn)?shù)段（分）
頻數(shù)
頻率
51≤x＜61
a
0.2
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
c
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ??；
（2）將頻數(shù)分布直方圖補充完整；
（3）若用扇形統(tǒng)計圖描述此成績統(tǒng)計分布情況，則分?jǐn)?shù)段71≤x＜81對應(yīng)扇形圓心角度數(shù)是 　 　度；
（4）我校初一年級共有2000人參加測試，學(xué)校準(zhǔn)備對成績在91≤x＜101的學(xué)生進行獎勵，請你計初一年級獲得獎勵的學(xué)生人數(shù)．

23．（10分）如圖，點E在△ABC的邊AC上，且∠ABE＝∠C，F(xiàn)D∥BC交AC于點D．
（1）求證：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5

24．（10分）某商店購進甲，乙兩種型號的服裝，已知購進甲種服裝20件，購進甲種10件，乙種30件用去2800元．
（1）求甲乙服裝的單價各多少？
（2）若甲種服裝每件售價為50元，乙種服裝的售價為100元，該商店預(yù)計用不高于6480元錢購進兩種服裝共100件，問有幾種購貨方案？
25．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點C（0，6），點B在x軸正半軸上，連接AC、BC，AB＝BC＝10．
（1）直接寫出點A、點B的坐標(biāo)；
（2）動點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿C→B→O的方向運動．設(shè)運動時間為t，是否存在某一時刻？若存在，請求出時間t，請說明理由．

26．（12分）如圖1，已知等邊△ABC，以B為直角頂點向右作等腰直角△BCD
（1）若，求點D到AB邊的距離；
（2）如圖2，過點B作AD的垂線，分別交AD，F(xiàn)，求證：EF＝CF+BE：
（3）如圖3，點M，N分別為線段AD，AM＝BN，連接CM，若AC＝6，當(dāng)CM+CN取得最小值時
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2023-2024學(xué)年重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)八年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）
1．（4分）在實數(shù)：3.142，，，π中，無理數(shù)是（　?。?br /> A．3.142 B． C． D．π
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．
【解答】解：A、3.142是有限小數(shù)，故本選項不合題意；
B、＝3，屬于有理數(shù)；
C、是分?jǐn)?shù)，故本選項不合題意；
D、π是無理數(shù)．
故選：D．
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.2020020002…（相鄰兩個2中間依次多1個0），等有這樣規(guī)律的數(shù)．
2．（4分）下列等式中，錯誤的是（　?。?br /> A．3x3+6x3＝9x3 B．2x2﹣3x2＝﹣1
C．3x3?6x3＝18x6 D．
【分析】根據(jù)合并同類項，單項式乘單項式，單項式除以單項式的法則進行計算，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、3x3+3x3＝9x7，故A不符合題意；
B、2x2﹣2x2＝﹣x2，故B符合題意；
C、8x3?6x7＝18x6，故C不符合題意；
D、3x6÷6x3＝，故D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了整式的混合運算，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
3．（4分）估算﹣2的值是在（　　）
A．2到3之間 B．3到4之間 C．4到5之間 D．5到6之間
【分析】先根式出的范圍，再求出﹣2的范圍，再得出選項即可．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴減7得：3﹣2＜8，
即﹣2的值在3到3之間，
故選：B．
【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出的范圍是解此題的關(guān)鍵．
4．（4分）下列說法正確的是（　　）
A．等邊三角形只有一條對稱軸
B．若三條線段長度之比為2：3：4，則它們可以構(gòu)成三角形
C．等腰三角形的一個底角為70°，則頂角為55°
D．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)對各選項分析判斷即可．
【解答】解：A．等邊三角形有3條對稱軸；
B．若三條線段長度之比為2：7：4，故此選項符合題意；
C．等腰三角形的一個底角為70°，故此選項不合題意；
D．兩直線平行，故此選項不合題意．
故選：B．
【點評】此題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（4分）若x＞y，則下列不等式一定成立的是（　?。?br /> A．x2＞y2 B．a(chǎn)2x＞a2y C． D．2﹣x＞2﹣y
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進行計算，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、∵x＞y＞0，
∴x2＞y5，
故A不符合題意；
B、∵x＞y，
∴a2x＞a2y，
故B不符合題意；
C、∵x＞y，
∴＞，
故C符合題意；
D、∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴2﹣x＜4﹣y，
故D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（4分）若x、y為等腰三角形的兩邊，且滿足|x﹣4|+（x﹣y+2）2＝0，則這個等腰三角形的周長為（　?。?br /> A．16 B．14 C．10 D．16或14
【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，再分4是腰長與底邊兩種情況討論求解．
【解答】解：根據(jù)題意得x﹣4＝0，x﹣y+6＝0，
解得x＝4，y＝3，
①4是腰長時，三角形的三邊分別為4、2、6，
能組成三角形，周長＝4+8+6＝14，
所以三角形的周長為14，
②4是底邊時，三角形的三邊分別為6、6、6，
能組成三角形，周長＝7+6+6＝16，
所以三角形的周長為16，
故選：D．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，絕對值非負數(shù)，平方非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0求出x、y的值是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關(guān)系進行判斷．
7．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是BC、AB上的中點，若S△DEA＝3，則四邊形AEDC的面積為（　?。?br />
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：∵點E是AB上的中點，
∴S△BED＝S△DEA＝3，
∴S△ABD＝6，
∵點D是BC上的中點，
∴S△ADC＝S△ABD＝4，
∴S四邊形AEDC＝3+6＝4，
故選：C．
【點評】本題考查的是三角形的中線、三角形的面積計算，掌握三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．
8．（4分）重慶北站到萬州客車站路程全長270km，一小汽車和一輛貨車同時從重慶北站、萬州客車站兩地相向而行，經(jīng)過1小時40分鐘相遇，設(shè)小汽車和貨車的平均速度分別為xkm/h和ykm/h，則個列方程組中正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合“經(jīng)過1小時40分鐘兩車相遇，且相遇時小汽車比貨車多行駛40km”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：設(shè)小汽車和貨車的平均速度分別為xkm/h和ykm/h，根據(jù)題意可得：，
故選：D．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
9．（4分）若實數(shù)m使關(guān)于x的不等式組有解且至多有3個整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程2y＝，則滿足條件的所有整數(shù)m的和為（　　）
A．15 B．11 C．10 D．6
【分析】先解一元一次不等式組，根據(jù)題意可得1≤＜4，再解一元一次方程，根據(jù)題意可得≥0且為整數(shù)，從而可得4≤m≤6且為整數(shù)，然后進行計算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥3，
解不等式②得：x≤，
∵不等式組有解且至多有7個整數(shù)解，
∴1≤＜4，
∴4≤m＜10，
2y＝+6，
解得：y＝，
∵方程的解為非負整數(shù)解，
∴≥0且，
∴m≤6且為整數(shù)，
綜上所述：4≤m≤2且為整數(shù)，
∴m＝5或6，
∴滿足條件的所有整數(shù)m的和＝4+6＝10，
故選：C．
【點評】本題考查了一元一次方程的解，一元一次不等式組的整數(shù)解，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，過點A作AF∥BC且AF＝AD，點E是AC上一點且AE＝AB，DE．連接FD交BE于點G．下列結(jié)論中正確的有（　?。﹤€．
①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE四邊形ABDE＝S四邊形ADEF；⑤BG＝GE．

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由“SAS”可證△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性質(zhì)依次判斷可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，AF∥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠FAD＝90°＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAD，故①正確；
在△ABD和△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（SAS），
∴BD＝EF，∠ADB＝∠AFE＝90°；
∵AF＝AD，∠DAF＝90°，
∴∠AFD＝45°＝∠EFD，
∴FD平分∠AFE，故③正確；
∵△ABD≌△AEF，
∴S△ABD＝S△AEF，
∴S四邊形ABDE＝S四邊形ADEF，故④正確；
如圖，過點E作EN⊥EF，

∴∠FEN＝90°，
∴∠EFN＝∠ENF＝45°，
∴EF＝EN＝BD，∠END＝∠BDF＝135°，
在△BGD和△EGN中，
，
∴△BDG≌△ENG（AAS），
∴BG＝GE，故⑤正確，
故選：D．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題，（本大題10個小題，每小題4分，共40分）
11．（4分）﹣的立方根為　﹣?。?br /> 【分析】可以利用立方根的定義來進行計算．
【解答】解：
∵＝﹣，
∴﹣的立方根為﹣，
故答案為：﹣．
【點評】本題主要考查立方根的定義，正確掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵，即如果a3＝N，則a叫N的立方根．
12．（4分）因式分解：2x2﹣2＝　2（x+1）（x﹣1）?。?br /> 【分析】首先提公因式2，再利用平方差公式進行二次分解．
【解答】解：原式＝2（x2﹣7）＝2（x+1）（x﹣4）．
故答案為：2（x+1）（x﹣4）．
【點評】此題主要考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解．
13．（4分）已知一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，則它的邊數(shù)為　8?。?br /> 【分析】首先設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，由n邊形的內(nèi)角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，
根據(jù)題意得：180（n﹣2）＝1080，
解得：n＝8．
故答案為：5．
【點評】此題考查了多邊形的內(nèi)角和公式．此題比較簡單，注意熟記公式是準(zhǔn)確求解此題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．
14．（4分）點P（a，b）關(guān)于y軸的對稱點P1（3，﹣2），則點P的坐標(biāo)為 ?。ī?，﹣2）?。?br /> 【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變即可得出答案．
【解答】解：∵點P（a，b）關(guān)于y軸的對稱點P1（3，﹣8），
∴a＝﹣3，b＝﹣2，
∴點P（﹣7，﹣2），
故答案為：（﹣3，﹣8）．
【點評】本題主要考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握坐標(biāo)的變化特點．
15．（4分）已知點P的坐標(biāo)為（m，3），點Q的坐標(biāo)為（2﹣2m，m﹣3），且PQ∥y軸　?。?br /> 【分析】根據(jù)平行于y軸的直線上各點的橫坐標(biāo)相等列出關(guān)于m的方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵點P的坐標(biāo)為（m，3），m﹣3），
∴m＝3﹣2m，
解得m＝．
故答案為：．
【點評】本題考查的是坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟知平行于y軸的直線上各點的橫坐標(biāo)相等是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°　85°?。?br />
【分析】根據(jù)角平分線定義求得∠BAD＝∠BAC，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求得∠ABE＝90°﹣∠BAC，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得∠ADC的度數(shù)．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE是高，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°．
∵∠EBC＝20°，
∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．
故答案為：85°．
【點評】此題綜合運用了角平分線定義、直角三角形兩個銳角互余以及三角形的外角的性質(zhì)．
17．（4分）如圖，在△ABC中，過點A作AD⊥BC于D，已知AC＝BE，BD＝5，則AE的長為 　3?。?br />
【分析】先證△ADC≌△BDE（AAS），再由全等三角形的對應(yīng)邊相等得DE＝DC＝2，再根據(jù)AE＝AD﹣DE即可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDE＝90°，∠AFE＝90°，
又∵∠AEF＝∠BED，
∴∠CAD＝∠EBD，
在△ADC與△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（AAS），
∴DE＝DC＝2．
∵BD＝5．
∴AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝3．
故答案為：6．
【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是證明△ADC≌△BDE（AAS）．
18．（4分）若一個四位正整數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且千位數(shù)字與個位數(shù)字不相等，百位數(shù)字與十位數(shù)字不相等，可以得到四個新三位數(shù)，把這四個新三位數(shù)的和與3的商記為P（m），“不同數(shù)”m＝2135，去掉其中任意一位數(shù)后得到的四個新三位數(shù)分別為：135、235、215、213，798÷3＝266，所以P（2135）（1933）＝　484　，若“不同數(shù)”n的百位數(shù)字比千位數(shù)字大2，個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，且P（n），則n的值為 　4648?。?br /> 【分析】先根據(jù)“異友數(shù)”的定義求出P（1933）＝816；設(shè)“異友數(shù)”n的千位數(shù)字為x，百位數(shù)字為x+2，十位數(shù)字為y，個位數(shù)字是2y，根據(jù)“異友數(shù)”的定義求出x，y的取值范圍，進而得到P（n）＝13（10x+6）+10x+9y+2，即10x+9y+2能被13整除，最后分別當(dāng)y＝1，2，3，4時討論即可．
【解答】解：∵1933去掉其中任意一位數(shù)后得到的四個新三位數(shù)分別為：933、133、193，1452÷3＝484，
∴P（1933）＝484；
設(shè)“異友數(shù)”n的千位數(shù)字為x，百位數(shù)字為x+2，個位數(shù)字是5y，
∵一個四位正整數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且千位數(shù)字與個位數(shù)字不相等，那么稱這個四位正整數(shù)為“異友數(shù)”
∴x≠2y，x+5≠y，且，
∴x≠2y，x+2≠y，，
∴n去掉其中任意一位數(shù)后得到的四個新三位數(shù)分別為：100（x+2）+10y+8y、100x+10y+2y、100x+10（x+2）+y，
這四個三位數(shù)之和為100（x+5）+10y+2y+100x+10y+2y+100x+10（x+8）+2y+100x+10（x+2）+y＝420x+27y+240，（420x+27y+240）÷2＝140x+9y+80，
∴P（n）＝140x+9y+80＝13（10x+3）+10x+9y+2，
∵P（n）能被13整除，
∴10x+8y+2能被13整除，
當(dāng)y＝1時，10x+7y+2＝10x+11，存在x＝8使10x+6y+2能被13整除，故不符合題意；
當(dāng)y＝2時，10x+5y+2＝10x+20＝13+10x+7，在7≤x≤7范圍內(nèi)不存在整數(shù)x使10x+9y+3能被13整除；
當(dāng)y＝3時，10x+9y+4＝10x+29＝26+10x+3，此時n＝1336，舍去）
當(dāng)y＝4時，10x+6y+2＝10x+38＝26+10x+12，此時n＝4648；
綜上所述，n＝4648；
故答案為：816；4648．
【點評】本題考查整除問題，考查方式比較新穎，理解“異友數(shù)”的具體特征是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題8個小題共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步
19．（8分）（1）計算：；
（2）﹣6xy（x2﹣2xy﹣y2）+3xy（2x2﹣4xy+y2）．
【分析】（1）先計算開方和乘方，再算除法，最后算加減；
（2）先利用單項式乘多項式法則，再合并同類項．
【解答】解：（1）
＝﹣1+﹣2÷4
＝﹣1+﹣
＝﹣；
（2）﹣6xy（x4﹣2xy﹣y2）+4xy（2x2﹣5xy+y2）
＝﹣6x7y+12x2y2+8xy3+6x8y﹣12x2y2+2xy3
＝9xy8．
【點評】本題考查了實數(shù)及整式的運算，掌握乘方、開方運算及單項式乘多項式法則、合并同類項法則是解決本題的關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．
（1）將△ABC向右平移5個單位再向下平移1個單位得到△A1B1C1，在圖中作出△A1B1C1，并寫出點C1的坐標(biāo) ?。?，0）　；
（2）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A2B2C2，點A、B、C的對應(yīng)點分別為A2、B2、C2；
（3）求△A2B2C2的面積．

【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；
（2）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A2，B2，C2即可；
（3）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C7即為所求，點C1的坐標(biāo)（3，4）．
故答案為：（3，0）；
（2）如圖，△A7B2C2即為所求；
（3）求△A3B2C2的面積＝5×3﹣×1×3﹣×2×2＝6．

【點評】本題考查作圖﹣平移變換，軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換，軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
21．（10分）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝90°

（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）
（2）在（1）的條件下，求證：∠AFE＝AEF．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴　∠DBF　+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝　∠AFE　，
∴∠FBD+　∠AFE　＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+　∠AEF?。?0°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝　∠DBF　，
∴∠AFE＝AEF．

【分析】（1）根據(jù)作角的平分線的基本作法作圖；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及等角的余角相等進行證明．
【解答】解：（1）如圖：BE即為所求；

（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD+∠AFE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AEF＝90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠AFE＝AEF．
故答案為：∠DBF，∠AFE，∠AEF．
【點評】本題考查了基本作圖，掌握角平分線的性質(zhì)及等角的余角相等是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）今年是巴蜀中學(xué)建校88周年紀(jì)念，為了讓學(xué)生進一步了解巴蜀中學(xué)的歷史，學(xué)校在初一年級組織了一系列“校史知識”專題學(xué)習(xí)活動（滿分100分）閱卷后教務(wù)處隨機地抽取了部分答卷進行分析統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)考試成績（x分），最高分為100分，且分?jǐn)?shù)都為整數(shù)．并繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖表，解答下列問題：
分?jǐn)?shù)段（分）
頻數(shù)
頻率
51≤x＜61
a
0.2
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
c
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12
（1）填空：a＝　20　，b＝　15　，c＝　0.15??；
（2）將頻數(shù)分布直方圖補充完整；
（3）若用扇形統(tǒng)計圖描述此成績統(tǒng)計分布情況，則分?jǐn)?shù)段71≤x＜81對應(yīng)扇形圓心角度數(shù)是 　54　度；
（4）我校初一年級共有2000人參加測試，學(xué)校準(zhǔn)備對成績在91≤x＜101的學(xué)生進行獎勵，請你計初一年級獲得獎勵的學(xué)生人數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)段在61≤x＜71中的頻數(shù)是18人，頻率為0.18，由頻率＝可求出調(diào)查人數(shù)，進而求出a、b、c的值；
（2）根據(jù)a、b的值以及各組的頻數(shù)即可補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）求出分?jǐn)?shù)段71≤x＜81的人數(shù)所占調(diào)查人數(shù)的百分比，即可求出對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)；
（4）根據(jù)樣本中成績在91≤x＜101的學(xué)生所占的百分比，即可估計總體2000人中成績在91≤x＜101的學(xué)生人數(shù)．
【解答】解：（1）∵被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為18÷0.18＝100（人），
∴a＝100×0.7＝20，b＝100﹣（20+18+35+12）＝15，
∴c＝15÷100＝0.15，
故答案為：20、15；
（2）補全圖形如下：

（3）360°×＝54°，
故答案為：54；
（4）2000×0.12＝240（人），
答：初一年級2000人中成績在91≤x＜101的獲得獎勵的學(xué)生大約有240人．
【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖，頻數(shù)分布表，理解頻率＝是正確解答的前提．
23．（10分）如圖，點E在△ABC的邊AC上，且∠ABE＝∠C，F(xiàn)D∥BC交AC于點D．
（1）求證：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADF＝∠C，等量代換得到∠ABF＝∠ADF，由角平分線的定義得到∠BAF＝∠CAF，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝AB＝8，BF＝DF，由線段的和差得到DE＝AD＝AE＝8﹣5＝3，根據(jù)三角形的周長公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵FD∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠ABF＝∠C，
∴∠ABF＝∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠CAF，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（AAS）；
（2）∵△ABF≌△ADF，
∴AD＝AB＝8，BF＝DF，
∵AE＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝6﹣5＝3，
∴△EFD的周長＝EF+DF+DE＝EF+BF+DE＝BE+DE＝4+3＝10．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，根據(jù)全等三角形的判定定理證得△ABF≌△ADF是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）某商店購進甲，乙兩種型號的服裝，已知購進甲種服裝20件，購進甲種10件，乙種30件用去2800元．
（1）求甲乙服裝的單價各多少？
（2）若甲種服裝每件售價為50元，乙種服裝的售價為100元，該商店預(yù)計用不高于6480元錢購進兩種服裝共100件，問有幾種購貨方案？
【分析】（1）設(shè)甲服裝的單價為x元，乙服裝的單價為y元，根據(jù)購進甲種服裝20件，乙種服裝15件用去2000元，購進甲種10件，乙種30件用去2800元，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)購進甲種服裝a件，購進乙種服裝（100﹣a）件，根據(jù)進價不超過6480元，全部銷售出后總獲利不低于1600元，列出一元一次不等式組，再求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)甲服裝的單價為x元，乙服裝的單價為y元，
由題意得：，
解得：，
答：甲服裝的單價為40元，乙服裝的單價為80元；
（2）設(shè)購進甲種服裝a件，則購進乙種服裝（100﹣a）件，
由題意得：，
解得：38≤a≤40，
∵a為正整數(shù)，
∴a＝38，39，
∴有3種購貨方案：
方案一：購進甲種服裝38件，購進乙種服裝62件；
方案二：購進甲種服裝39件，購進乙種服裝61件；
方案三：購進甲種服裝40件，購進乙種服裝60件．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
25．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點C（0，6），點B在x軸正半軸上，連接AC、BC，AB＝BC＝10．
（1）直接寫出點A、點B的坐標(biāo)；
（2）動點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿C→B→O的方向運動．設(shè)運動時間為t，是否存在某一時刻？若存在，請求出時間t，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)OB＝4OA，AB＝BC＝10求出OA、OB的長即可得點A、點B的坐標(biāo)；
（2）先求出S△ABC＝×AB×OC＝×10×6＝30，即有S△COP＝S△ABC＝10，分點P在BC和OB上兩種情況，分別用t表示出CP、OP的長，利用面積法求出△OCB中BC邊的高，根據(jù)S△COP＝10列方程求出t，即可得答案；
【解答】（1）∵OB＝4OA，AB＝BC＝10，
∴OA＝10×＝2，
∵點A在x軸負半軸上，點B在x軸正半軸上，
∴A（﹣2，3），0）．
（2）存在，
如圖，當(dāng)點P在BC上時，

∵AB＝10，OC＝6，
∴S△ABC＝×AB×OC＝，
∴S△COP＝S△ABC＝10，
∵S△OBC＝×OB×OC＝，
∴OD＝＝＝，
∵點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿C→B→O的方向運動，
∴CP＝2t，
∴S△COP＝×CP×OD＝＝10，
解得：t＝，
如圖，當(dāng)點P在線段BO上時，

∵點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿C→B→O的方向運動，
∴OP＝18﹣3t，
∴S△COP＝×OP×OC＝，
解得：t＝
綜上：t的值為秒或秒．
【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形、幾何圖形的動點問題及三角形面積的應(yīng)用，正確表示出邊長及三角形面積是解題關(guān)鍵．
26．（12分）如圖1，已知等邊△ABC，以B為直角頂點向右作等腰直角△BCD
（1）若，求點D到AB邊的距離；
（2）如圖2，過點B作AD的垂線，分別交AD，F(xiàn)，求證：EF＝CF+BE：
（3）如圖3，點M，N分別為線段AD，AM＝BN，連接CM，若AC＝6，當(dāng)CM+CN取得最小值時
?
【分析】（1）過點D作DE⊥AB延長線于點E，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AB＝BC＝AC，再根據(jù)等腰直角三角形求出BD＝BC，根據(jù)含30°角的直角三角性質(zhì)求出DE即可；
（2）在EF上取EG＝BE，連接AG，AF，證明△AFC≌△AFG，得FC＝FG，然后得證結(jié)論即可；
（3）過點A作AP⊥AD，且AP＝BC，連接PM，過點C作CE⊥AD于點E，證明△APM≌△BCN（SAS），得PM＝CN，得出CN+CM＝PM+CM，得出當(dāng)C、M、P三點共線時，CN+CM最小，然后求出此時△ACM的面積即可．
【解答】（1）解：過點D作DE⊥AB延長線于點E，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝3，∠CBD＝90°，
∴∠DBE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴DE＝BD＝，
即點D到AB邊的距離為3；
（2）證明：在EF上取EG＝BE，連接AG，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝BC＝8，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝6，∠CBD＝90°，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°+90°＝150°，
∵BE⊥AD，
∴AE＝DE，∠ABE＝∠BDE＝，
∵BE＝GE，AE⊥BG，
∴AE垂直平分BG，
∴AG＝AB，
∴∠AGB＝∠ABG＝75°，
∴∠AGF＝180°﹣75°＝105°，
∵∠ACF＝60°+45°＝105°，
∴∠AGF＝∠ACF，
∵AE＝DE，BF⊥AD，
∴BF垂直平分AD，
∴AF＝AD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFG＝∠DFB，
∵∠DFB＝180°﹣∠BDF﹣∠DBF＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AFC＝∠AFG，
又∵AF＝AF，
∴△AFC≌△AFG（AAS），
∴FC＝FG，
∴EF＝EG+FG＝BE+CF；
（3）解：過點A作AP⊥AD，且AP＝BC，過點C作CE⊥AD于點E，

∵∠PAM＝∠CBN＝90°，AP＝BC，
∴△APM≌△BCN（SAS），
∴PM＝CN，
∴CN+CM＝PM+CM，
∴當(dāng)C、M、P三點共線時，
由（2）知，∠CAB＝60°，∠ABD＝150°，
∴∠BAD＝∠BDA＝15°，
∴∠CAE＝60°﹣15°＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE＝＝＝6，
過點M作MO⊥AC于點O，
則△MOA是等腰直角三角形，
∴AM＝OM，
∵∠CEM＝∠PAM＝90°，∠AMP＝∠CME，
∴∠P＝∠MCE，
∵AP＝BC＝AC，
∴∠P＝∠ACM，
∴∠MCE＝∠ACM，
∴ME＝OM，
∴ME＝AM，
即AM+AM＝6，
解得AM＝12﹣6，
∴S△ACM＝AM?CE＝．
【點評】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．

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