2022-2023學(xué)年四川省綿陽市南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】該題考查了特稱命題及否定形式知識，量詞要改變，結(jié)論要否定．【詳解】根據(jù)特稱命題的否定形式得，“，”的否定是：，，故A，B，C錯誤.故選：D．2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)， 則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求解即可.【詳解】，故選：B.3．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，下列不等關(guān)系推導(dǎo)不成立的是（    ）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【分析】對于ABC，利用不等式的性質(zhì)即可判斷；對于D，舉反例判斷.【詳解】對于A，利用不等式的對稱性易知，若，則，故A正確；對于B，利用不等式的傳遞性易知，若，，則，故B正確；對于C，利用不等式的可加性易知，若，，則，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，令，則，故D錯誤.故選：D.4．設(shè)，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即可.【詳解】求解二次不等式可得：或，據(jù)此可知：是的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎(chǔ)題.5．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（    ）A．0 B．4 C． D．2【答案】C【分析】可先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令求出即可.【詳解】由，令得，解得.故選：C.6．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求定義域,再對函數(shù)求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)大于零,解出不等式解集即可.【詳解】解:由題知,定義域?yàn)?/span>,所以,令,解得,所以的單調(diào)增區(qū)間為:.故選:C7．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?/span> ,所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,排除答案A、B，當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，排除C，故選D.8．若函數(shù)在上既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由分析可得有解，利用即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，恒成立，為開口向上的拋物線，若函數(shù)在既有極大值也有極小值，則有解，所以，解得或.故選：B9．函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值等于（    ）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，得到在[1，+∞）上，恒成立，從而解得a≤3，故a的最大值為3．【詳解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)∴在[1，+∞）上恒成立．即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）時(shí)，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故選：B．10．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè),則,根據(jù)條件可得在上單調(diào)遞減，不等式可化為，根據(jù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，則由條件，所以，所以在上單調(diào)遞減.由，得不等式，即，也即是，解得 所以不等式的解集為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.11．設(shè)，則下列不等式成立的是（    ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，求導(dǎo)，可得在上是增函數(shù)，所以，代入，化簡即可.【詳解】令，則，于是在上是增函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，及單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在于根據(jù)答案所給形式，進(jìn)行合理構(gòu)造，屬中檔題.12．兩條曲線與存在兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可得有兩個(gè)不等正根，令，即有兩個(gè)不等正根，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】由題可知有兩個(gè)不等正根，即有兩個(gè)不等正根，令，則，又，在上單調(diào)遞增，所以有兩個(gè)不等正根，設(shè)，則，由可得單調(diào)遞增，由可得單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)和的大致圖象，由圖象可知當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)正根，即時(shí)，兩條曲線與存在兩個(gè)公共點(diǎn).故選：C.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的問題. 二、填空題13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為          ．【答案】【分析】求導(dǎo)，可得斜率，進(jìn)而得出切線的點(diǎn)斜式方程.【詳解】由，得，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則所求切線方程為，即.【點(diǎn)睛】求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟：①求出函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率；②寫出切線的點(diǎn)斜式方程；③化簡整理.14．命題“，滿足不等式”是假命題，則m的取值范圍為          .【答案】【解析】根據(jù)命題“，滿足不等式”是假命題，轉(zhuǎn)化為，不等式，恒成立，利用判別式法求解.【詳解】因?yàn)槊}“，滿足不等式”是假命題，所以，不等式，恒成立，則，解得，    所以m的取值范圍為，故答案為：15．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為           .【答案】16【分析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以的最小值為16.故答案為：1616．已知函數(shù)，，若對任意，存在，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為      ．【答案】【分析】首先對進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，根據(jù)題意對任意，存在，使，只要的最小值大于等于在指定區(qū)間上有解 .【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上有解，在上有解，函數(shù)在上單調(diào)增，，.故答案為: 【點(diǎn)睛】不等恒成立與能成立的等價(jià)轉(zhuǎn)換:任意，存在，使任意，任意，使存在，存在，使 三、解答題17．設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，命題：實(shí)數(shù)滿足．(1)若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合與都是真命題，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，結(jié)合是必要不充分條件，得到?，即可求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，不等式，解得，即命題，且因?yàn)?/span>為真，所以與都是真命題，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）解：由不等式，解得，可得，又由，且是的必要不充分條件，可得?所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)極值的定義可以求出實(shí)數(shù)的值；（2）求導(dǎo)，求出時(shí)的極值，比較極值和之間的大小的關(guān)系，最后求出函數(shù)的最小值.【詳解】（1），函數(shù)在處取得極值，所以有；（2）由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極大值，因此，，，故函數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了求閉區(qū)間上函數(shù)的最小值，考查了極值的定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19．如圖一邊長為10cm的正方形硬紙板，四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一個(gè)無蓋長方體手工作品．所得作品的體積（單位：cm2）是關(guān)于截去的小正方形的邊長（單位：cm）的函數(shù)．（1）寫出體積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．（2）截去的小正方形的邊長為多少時(shí)，作品的體積最大？最大體積是多少？【答案】（1），；（2）小正方形的邊長為cm時(shí)，作品的體積最大，最大體積是cm3．【解析】（1）根據(jù)長方體的體積公式可得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間及極值可得答案.【詳解】（1）由題意可得，.（2），令得，，0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴時(shí)，的最大值為，截去的小正方形的邊長為時(shí)，作品的體積最大，最大體積是．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序：第一步：審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建模——將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：求模——求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原——將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義；第五步：反思回顧——對于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對實(shí)際問題的合理性．20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間；減區(qū)間(2) 【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由可得，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令可得，列表如下：取值為正取值為負(fù)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由，可得，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，由，可得，列表如下：取值為正取值為負(fù)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，和函數(shù)相比，一次函數(shù)呈爆炸性增長，所以，且，，又，根據(jù)以上信息，作出其圖象如下：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．21．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在定義域上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，對實(shí)數(shù)分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值，由此可求出實(shí)數(shù)的值；（2）由已知整理可得，對任意的恒成立，結(jié)合，，可知，故只需對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值的取值范圍，由此可求得滿足條件的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值．【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，函數(shù)在定義域上無最大值；當(dāng)時(shí)，令，得，由，得，由，得，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．所以函數(shù)，即為所求；（2）由，因?yàn)?/span>對任意的恒成立，即，當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，，，，只需對任意的恒成立即可．構(gòu)造函數(shù)，，，，且單調(diào)遞增，，，一定存在唯一的，使得，即，，且當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，因此，的最小整數(shù)值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式恒成立問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．22．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為（為參數(shù)），直線的極坐標(biāo)方程為．曲線與直線相交于、兩點(diǎn)．(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，求的值．【答案】(1):；：(2) 【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式化簡求值即可；（2）根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)榍€的方程為（為參數(shù)），所以，消去參數(shù)，得曲線的普通方程為；因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，所以，用代換得直線的直角坐標(biāo)方程為.所以，曲線的普通方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）解：由直線的直角坐標(biāo)方程為，所以，直線的斜率為，傾斜角為，因?yàn)辄c(diǎn)為直線上一點(diǎn)，所以，直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)榍€與直線相交于、兩點(diǎn)，所以，將代入，整理得，因?yàn)?/span>，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，記為，所以，，且均為負(fù)數(shù)，所以，根據(jù)直線參數(shù)方程幾何意義得.23．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若存在實(shí)數(shù)，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）按照，，進(jìn)行討論，得到每段上的解析，再得到答案；（2）由題意可將所求問題轉(zhuǎn)化為，再求出的最小值為，從而得到關(guān)于的絕對值不等式，解出的范圍，得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，成立，∴；當(dāng)時(shí)，，∴．綜上，解集為．（2）由題意，，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)與異號時(shí)等號成立，所以，∴．【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，絕對值三角不等式求最值，屬于簡單題. 

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