高三8月月考數(shù)學試題考試范圍：函數(shù)、集合  考試時間：120分鐘  考試分數(shù)：150分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合并集的概念及運算，即可求解．【詳解】由集合，，根據(jù)集合并集的概念及運算，可得．故選：B．2. 若函數(shù)，若，則實數(shù)m的值等于（    ）A. －3 B. 1 C. －1或3 D. －3或1【答案】D【解析】【分析】分段求解方程，即可求得函數(shù)的零點.【詳解】當時，等價于，解得；當時，等價于，解得.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)零點的求解，屬基礎題.3. 已知，，，則，，的大小關系為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性判斷與1的大小關系，再由對數(shù)函數(shù)的單調性判斷與0的大小關系，最后判斷與0和1的大小關系即可求解.【詳解】解：因為，，，所以，故選：C.4. 已知不等式的解集為，則不等式的解集為A.  B. C  D. 【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，為方程的根，再解出的值帶入不等式即可.【詳解】有題知：，為方程的根.所以，解得.所以，解得：或.故選：B【點睛】本題主要考查二次不等式的求法，同時考查了學生的計算能力，屬于簡單題.5. 函數(shù)的大致圖象是A.    B.   C.    D.   【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，用排除法判斷，根據(jù)偶函數(shù)排除C、D；再根據(jù)單調性，排除A，即可求解答案.【詳解】可知函數(shù)是偶函數(shù)，排除C，D；定義域滿足：，可得或.當時，是遞增函數(shù)，排除A；故選B.【點睛】本題考查已知函數(shù)解析式的函數(shù)圖像的判斷，考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題.6. 已知，則關于的說法正確的是（    ）A. 有最大值8 B. 有最小值 C. 有最小值8 D. 有最大值【答案】B【解析】【分析】由題意可知x與3y和為定值，根據(jù)基本不等式即可求得的最小值.【詳解】根據(jù)題意得，，則（當且僅當時，等號成立），則有最小值.故選B．7. 定義運算：，例如：，，若函數(shù)有3個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】將問題轉化為函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，畫出函數(shù)圖象，利用圖象求解即可【詳解】因為函數(shù)有3個不同的零點，所以方程有3個不相等的實根，所以函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，函數(shù)圖象如圖所示由圖可知當，兩函數(shù)圖象有3個不同的交點，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：A8. 高斯函數(shù)屬于初等函數(shù)，以大數(shù)學家約翰·卡爾·弗里德里希·高斯的名字命名，其圖形在形狀上像一個倒懸著的鐘，高斯函數(shù)應用范圍很廣，在自然科學、社會科學、數(shù)學以及工程學等領域都能看到它的身影，設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.則函數(shù)的值域為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的值域，再根據(jù)題干中要求即可得出的值域.【詳解】，，，，，即函數(shù)的值域為，由高斯函數(shù)定義可知：函數(shù)的值域為故選：C.【點睛】方法點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9. 當時，冪函數(shù)的圖像在直線的下方，則的值可能為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】轉化為當時，恒成立，可得，由此可得解.【詳解】根據(jù)題意得當時，，可知，故選：AB【點睛】關鍵點點睛：由不等式得出是解題關鍵.10. 下列說法正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質，結合特殊值判斷.【詳解】A.取特殊值，，，顯然不滿足結論；B.由可知，，結論正確；C ，，，，顯然不滿足結論；D. ，則     又，則根據(jù)不等式性質，有成立.故選：BD.11. 已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（    ）A. 4 B. 3 C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】利用分段函數(shù)單調性建立不等關系，從而求出參數(shù)的取值范圍．【詳解】由函數(shù)是上的增函數(shù)，所以所以，故選：CD．12. 對任意兩個實數(shù)a，b，定義，，若，，下列關于函數(shù)的說法正確的是（    ）A. 函數(shù)是偶函數(shù) B. 方程有兩個解C. 函數(shù)有個單調區(qū)間 D. 函數(shù)有最大值為，最小值【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)定義表示出函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象，觀察圖象即可得出正確選項．【詳解】由題意可得，，作出函數(shù)圖象，如下圖所示：由圖像可知，該函數(shù)為偶函數(shù)；函數(shù)有兩個零點；函數(shù)單調遞減區(qū)間為：和，單調遞增區(qū)間為：和，故函數(shù)有四個單調區(qū)間；當時，函數(shù)取得最大值為，無最小值．故選：ABC．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13. 函數(shù)的單調遞減區(qū)間是___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調性同增異減求得正確答案.【詳解】，，解得或.函數(shù)的開口向上，對稱軸是軸，在上遞減，根據(jù)復合函數(shù)單調性同增異減可知的單調遞減區(qū)間是.故答案為：14. 使得“”成立的一個充分不必要條件是______．【答案】（答案不唯一，只需為集合的真子集即可）【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)性質求得不等式的解，然后根據(jù)充分不必要條件的定義確定．【詳解】，即原不等式解集為，只要取此集合的真子集即可，如．故答案為：．15. 若函數(shù)滿足，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)，分別令，求解.【詳解】因為，令可得：，①令可得：，②聯(lián)立①②可得：，故答案為：1.16. 已知函數(shù)是定義在[-5,5]上的偶函數(shù)，且在區(qū)間是減函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】利用奇偶性及單調性將原命題等價轉化為，從而解該不等式組即可求得正解.【詳解】由已知可得原不等式等價于，結合單調性可得．故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17. 已知集合U為全體實數(shù)集，或，.（1）若，求；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）把代入求出N，然后結合集合的補集交集運算即可.（2）根據(jù)函數(shù)的包含關系即可求解參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：由題意得：當時，集合U為全體實數(shù)集或，【小問2詳解】若，則當時，，解得：；當時，成立，且或成立，解得：；綜上：實數(shù)a的取值范圍或18. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設全部溶解），糖水變甜了，（1）請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立；（2）運用該不等式比較以下三個值的大?。?/span>，，【答案】（1）；證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)添加后的濃度大于之前的濃度，得出，利用作差法證明不等式成立即可．（2）利用（1）中結論可得，時，，依此不等式即可比較所給三個數(shù)的大小.【小問1詳解】由題意可得：，時，．證明如下：，，，，，，．【小問2詳解】由（1）知，時，，即；則，，又綜上所述，.19. 求滿足下列條件的各式的值：（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）首先解方程求出的值，再根據(jù)對數(shù)恒等式計算可得；（2）根據(jù)對數(shù)恒等式計算可得.【詳解】解：（1），；（2），.【點睛】本題考查對數(shù)恒等式的應用（且），屬于基礎題.20. 已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）討論函數(shù)值域．【答案】（1）    （2）偶函數(shù)，理由見解析    （3）答案見解析【解析】【分析】（1）由對數(shù)的真數(shù)大于零可求得函數(shù)的定義域.（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷.（3）換元后分和兩種情況分析判斷.【小問1詳解】且，得，即定義域為.小問2詳解】因為定義域關于原點對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù).【小問3詳解】，令，由，得，則，，當時，，所以原函數(shù)的值域為；當時，，所以原函數(shù)的值域為.21. 設函數(shù)，且，求證：函數(shù)在內至少有一個零點.【答案】見解析【解析】【分析】由可得到，由此化簡得到，確定，可知與中至少有一個為正；利用零點存在定理可證得結論.【詳解】    又            與中至少有一個為正又    或∴函數(shù)在內至少有一個零點【點睛】本題考查零點存在定理的應用，關鍵是能夠通過確定區(qū)間端點處的函數(shù)值的正負，從而利用零點存在定理確定是否存在零點.22. 已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在R上的單調性，并用單調性的定義證明；（2）若，①判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；②若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)是上的增函數(shù)，證明見詳解；    （2）①函數(shù)為奇函數(shù)，證明見詳解；②【解析】【分析】（1）利用單調性的定義證明，任取，設，然后，再分析判斷其符號即可.（2）當時，①，直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；②利用函數(shù)是奇函數(shù)，將，轉化為，再利用是上的單調增函數(shù)求解.【小問1詳解】函數(shù)是增函數(shù)，定義域：，任取，不妨設 ，，，∵，∴.又，∴，即，∴函數(shù)是上的增函數(shù).【小問2詳解】當時，①，定義域為，關于原點對稱，，∴函數(shù)是定義域內的奇函數(shù).②等價于，∵是上的單調增函數(shù)，∴，即恒成立，∴，

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