2022-2023學年上海市晉元高級中學高二下學期期末數(shù)學試題 一、填空題1．過點（-1,3）且平行于直線的直線方程為             ．【答案】【分析】根據(jù)已知直線的斜率及所過的點，由點斜式則所求直線為，整理即可得其一般式.【詳解】由直線的斜率為，結(jié)合題意，知：所求直線為，∴整理可得：.故答案為：.2．若，則      ．【答案】3【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則計算即可．【詳解】，又，故.故答案為：3.3．一個袋子中裝有2個紅球和2個白球（除顏色外其余均相同），現(xiàn)從中隨機摸出2個球，則摸出的2個球中至少有1個是紅球的概率為        .【答案】【分析】先求總的摸球方法為，再求摸出的2個球中至少有1個是紅球的摸球方法，然后可得概率.【詳解】從4個球中隨機摸出2個球共有種摸法，摸出的2個球中至少有1個是紅球的摸法有種，所以摸出的2個球中至少有1個是紅球的概率為.故答案為：.【點睛】本題主要考查古典概率的求解，分別求出總的基本事件和所求事件包含的基本事件是解題關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).4．現(xiàn)從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援滬醫(yī)療隊”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則          .【答案】【分析】結(jié)合分類計數(shù)原理，計算出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的概率，計算出抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生的概率，從而結(jié)合條件概率的計算公式即可求出.【詳解】由題意知，，，所以.故答案為：.5．以拋物線的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為          .【答案】【分析】求出拋物線的焦點坐標和準線方程，確定圓心和半徑，從而求出圓的標準方程.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為：，∴以拋物線的焦點為圓心，并且與此拋物線的準線相切的圓的半徑是2，∴圓的方程為；，故答案為：.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及求圓的標準方程的方法，屬于中檔題.6．受新冠肺炎的影響，部分企業(yè)轉(zhuǎn)型生產(chǎn)口罩，如表為某小型工廠2~5月份生產(chǎn)的口罩數(shù)（單位：萬）23452.23.85.5若與線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則表格中實數(shù)的值為      .【答案】/7.1【分析】根據(jù)線性回歸直線方程經(jīng)過樣本中心，將代入求解.【詳解】，故，故，故，故答案為：7.17．已知橢圓C：的右焦點為F，直線l經(jīng)過橢圓右焦點F，交橢圓C于P、Q兩點（點P在第二象限），若點Q關(guān)于x軸對稱點為Q′，且滿足PQ⊥FQ′，求直線l的方程是  .【答案】【分析】求出橢圓的右焦點坐標，利用已知條件求出直線的斜率，然后求解直線方程.【詳解】橢圓C：的右焦點為F（1，0），由PQ⊥FQ′可知，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以直線l的斜率為﹣1，所以直線l的方程是：，即.故答案為：.8．“東哥”上班的路上有4個紅綠燈路口，假如他走到每個紅綠燈路口遇到綠燈的概率為，則他在上班的路上至少遇到2次綠燈的概率為      ．【答案】【分析】由獨立重復(fù)試驗的概率公式及對立事件的概率公式求解.【詳解】4次均不是綠燈的概率為，3次不是綠燈的概率為，∴至少遇到2次綠燈的概率為．故答案為：.9．設(shè)是圓與圓在第一象限的交點，則的值為      ．【答案】【分析】將兩圓方程作差，可得出公共弦方程，則點可看成公共弦方程和圓在第一象限的交點，當時，直線趨向于，即可求得的值.【詳解】將兩圓方程相減，得公共弦方程為，故點可看成公共弦方程和圓在第一象限的交點，當時，直線趨向于，即，.故答案為：.10．若?是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為        .【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因為△ABF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點，，B為雙曲線上一點，則 ，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應(yīng)用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故答案為：【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率，常常不能經(jīng)過條件直接得到a，c的值，這時可將或視為一個整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 或的方程，從而得到離心率的值.11．已知拋物線：，圓：，點M的坐標為，P、Q分別為、上的動點，且滿足，則點P的橫坐標的取值范圍是             ．【答案】【分析】求出圓的圓心、半徑，設(shè)出點P的坐標，利用圓的性質(zhì)得出，結(jié)合已知建立不等式，求解作答.【詳解】圓：的圓心，半徑，設(shè)點，有，依題意，，當且僅當三點共線時取等號，而，即有，于是，即，整理得，解得，所以點P的橫坐標的取值范圍是.故答案為：12．已知實數(shù)a、b、c、d滿足，則的最小值為      ．【答案】/4.5【分析】將看作是到的距離的平方，P在曲線上，Q在直線上，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合點到直線的距離即可求解.【詳解】∵，∴， ，設(shè)，，則點P在曲線上，Q在直線上，設(shè)曲線上切線斜率為1的切點為，，當時，，此時函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，故當時，，直線在曲線上方，由，即，記，顯然在上是增函數(shù)，而，∴是的唯一解．，，點到直線的距離為，∴的最小值為．  【點睛】處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化. （3）線性規(guī)劃：如果題設(shè)給出的是二元一次不等式組，而目標函數(shù)也是二次一次的，那么我們可以用線性規(guī)劃來處理. 二、單選題13．在一次試驗中，測得的五組數(shù)據(jù)分別為，，，，，去掉一組數(shù)據(jù)后，下列說法正確的是（    ）A．樣本數(shù)據(jù)由正相關(guān)變成負相關(guān) B．樣本的相關(guān)系數(shù)不變C．樣本的相關(guān)性變?nèi)?/span> D．樣本的相關(guān)系數(shù)變大【答案】D【分析】由正負相關(guān)、相關(guān)系數(shù)的含義及相關(guān)性強弱依次判斷即可.【詳解】由題意，去掉離群點后，仍然為正相關(guān)，相關(guān)性變強，相關(guān)系數(shù)變大，故A、B、C錯誤，D正確.故選：D.14．在直角坐標平面內(nèi)，點的坐標分別為，則滿足為非零常數(shù)）的點的軌跡方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè),由于直線的傾斜角為,直線的傾斜角的補角為,利用直線斜率公式可將轉(zhuǎn)化為,化簡整理即可【詳解】由題,設(shè),因為,因為直線的傾斜角為,直線的傾斜角的補角為,所以,化簡可得故選：C【點睛】本題考查直接法求軌跡方程,考查斜率公式的應(yīng)用15．如圖是函數(shù)的大致圖象，則等于（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】函數(shù)表達式中有三個未知數(shù)，將圖像與軸的三個交點代入表達式，可求出函數(shù)的表達式，是函數(shù)的兩個極值點，通過求導(dǎo)，根據(jù)韋達定理得到的關(guān)系式，從而求出【詳解】由圖可得：，代入函數(shù)表達式得：，解得：，所以：，，由圖可得，是函數(shù)的兩個極值點，令，則或，根據(jù)韋達定理得： ，所以故選：C16．已知分別為雙曲線的左?右焦點，雙曲線的半焦距為，且滿足，點為雙曲線右支上一點，為的內(nèi)心，若成立表示面積），則實數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可求出雙曲線的離心率，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則由可得，而，則，從而可求出的值.【詳解】因為，所以，所以，解得，因為，所以，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，因為為的內(nèi)心，成立表示面積），所以，所以，因為點為雙曲線右支上一點，所以，所以，所以，所以，故選：C 三、解答題17．函數(shù)的定義域為集合A，函數(shù)的定義域為集合B，(1)求和；(2)若集合，且，求實數(shù)P的取值范圍．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）解不等式求出，進而求和；（2）根據(jù)可得滿足的不等式，其解即為實數(shù)p的取值范圍.【詳解】（1）對于集合A：由，解得或，∴，對于集合B：由，解得，∴，所以，，；（2），因為，所以，解得，，所以，實數(shù)p的取值范圍為：．18．已知直線．（1）若，求實數(shù)的值；（2）當時，求直線與之間的距離．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實數(shù)a的方程.（2）由平行可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實數(shù)a的方程，進而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.【詳解】（1）∵，且，∴，解得．（2）∵，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為．【點睛】本題考查了由兩直線平行求參數(shù)，考查了由兩直線垂直求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.19．某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示．組別頻數(shù)2515020025022510050(1)已知此次問卷調(diào)查的得分，近似為這1000人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），求；（附：若，則，，，）(2)在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次贈送的機制為：贈送20元話費的概率為，贈送40元話費的概率為．現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費為元，求的分布及期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為 【分析】（1）根據(jù)題中的統(tǒng)計表，求得，結(jié)合，進而求得的值.（2）根據(jù)題得到話費可能的值有20，40，60，80元，根據(jù)互斥事件與獨立事件的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題中的統(tǒng)計表，結(jié)合題設(shè)中的條件，可得： ，又由，所以.（2）解：根據(jù)題，可得所得話費可能的值有20，40，60，80元，其中；；；，所以隨機變量的分布列為：20406080所以期望為.20．已知橢圓：過點記橢圓的左頂點為M，右焦點為(1)若橢圓C的離心率，求的范圍；(2)已知，過點作直線與橢圓分別交于，兩點（異于左右頂點）連接，，試判定與是否可能垂直，請說明理由；(3)已知，設(shè)直線的方程為，它與相交于，.若直線與的另一個交點為.證明：.【答案】(1)；(2)垂直，理由見解析；(3)證明見解析. 【分析】（1）先根據(jù)在橢圓上，得到b,a的關(guān)系，再結(jié)合離心率的范圍可以求得b的范圍；（2）假設(shè)向量數(shù)量積為0，可以求得E點坐標，可以確定EM與EG垂直；（3）設(shè)點后聯(lián)立直線和橢圓方程，再消參數(shù)得出橫坐標關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）在橢圓上, 可得；（2）  且橢圓過, 因此橢圓方程為由題意得，假設(shè)設(shè),則,由得 即①又點在橢圓上，②①②聯(lián)立消去，得則 （為左項點不符合題意舍）, 所以與垂直.（3）  設(shè),由（2）知橢圓方程為與直線的方程 聯(lián)立消去，并整理得，可得又點A 在直線上， 又直線 AD 的方程為與橢圓方程為聯(lián)立消去，整理得,所以于是可得  ，即,從而B , D 兩點關(guān)于 x 軸對稱，因此.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．已知函數(shù)（1）若時，取得極值，求實數(shù)a的值；（2）當時，求在上的最小值；（3）若對任意，直線都不是曲線的切線，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用，再驗證在的左右兩側(cè)的符號是否異號即可；（2）對于分類討論當時與時，利用的單調(diào)性即可得出；（3）任意，直線都不是曲線的切線，等價于對恒成立，即最小值大于-1，解出即可.【詳解】（1）又 時，取得極值，解得 ，當時，，當 ，，在時取得極小值，故符合.（2）當時，對恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，由解得 ，若，則，在上單調(diào)遞減.若，則，在上單調(diào)遞增.在時取得極小值，也是最小值，即 ,綜上所述，（3）任意，直線都不是曲線的切線，對恒成立，即的最小值大于-1，而的最小值為，，故. 

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