2022-2023學(xué)年陜西省安康市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧?/span>，，所以.故選：C.2．復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求的代數(shù)形式，再由虛部的定義確定結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，所以復(fù)數(shù)z的虛部為，故選：B.3．已知，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷出，且，從而可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以.故選：B.4．坐標(biāo)軸與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先求出圓心和半徑，再分別求出圓心到兩坐標(biāo)軸的距離與半徑比較可得結(jié)論.【詳解】圓，即圓，所以圓，半徑，因?yàn)閳A心到軸的距離為1，且，所以圓與軸相交，即與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閳A心到軸的距離為2，且等于半徑，所以圓與軸相切于點(diǎn)，即與軸有一個(gè)交點(diǎn)，綜上坐標(biāo)軸與圓有3個(gè)交點(diǎn)，故選：C5．如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C：的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為8，瓶高等于雙曲線C的虛軸長，則該花瓶的瓶口直徑為（    ）  A． B．24 C．32 D．【答案】D【分析】求出，設(shè)出，代入雙曲線方程，求出，得到直徑.【詳解】因?yàn)樵摶ㄆ繖M截面圓的最小直徑為8，所以.設(shè)M是雙曲線C與瓶口截面的一個(gè)交點(diǎn)，該花瓶的瓶口半徑為r，則，    所以，解得，故該花瓶的瓶口直徑為.故選：D6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（    ）    A．6 B．12 C．20 D．30【答案】B【分析】根據(jù)程序框圖逐步執(zhí)行可得輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)程序框圖，可得其執(zhí)行結(jié)果如下：，，，，執(zhí)行循環(huán)體；，，執(zhí)行循環(huán)體；，，跳出循環(huán)體.輸出.故選：B.7．將函數(shù)（）的圖象向右平移1個(gè)單位長度后，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】先求得的圖象平移后的解析式，再列出關(guān)于的方程，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】的圖象向右平移1個(gè)單位長度后，可得函數(shù)的圖象，則，，即，.又，故的最小值為1.故選：B8．在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的正切值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，直線與直線所成的角為，在中求其正切值即可.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則且故直線與直線所成的角為.因?yàn)?/span>面，面，所以，，設(shè)，，則.  故選：A9．某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)，對2022屆初三年級所有學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下圖所示.該校2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆初三學(xué)生人數(shù)上升了10%，則下列說法錯(cuò)誤的是（    ）      A．該校2022屆初三年級學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占70%B．該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)同個(gè)數(shù)段的學(xué)生人數(shù)的2倍還多C．該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)和2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)的中位數(shù)均在內(nèi)D．相比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)占比增加【答案】C【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形圖對四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷可得答案.【詳解】2022屆初三年級學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占比為，A正確.由于2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆上升了，假設(shè)2022屆初三學(xué)生人數(shù)為（），則仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，，B正確.2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，C錯(cuò)誤.2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)占，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)占，D正確.故選： C.10．已知數(shù)列滿足，且（），則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用題給條件求得（），列出關(guān)于的方程，進(jìn)而求得的值.【詳解】（），，解得.故選：A11．已知某正三棱臺的頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，若該正三棱臺的上、下底邊長分別是和，則該正三棱臺的高為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)可求得上下底面兩個(gè)截面圓的半徑，結(jié)合勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，   設(shè)正三棱臺的上底面所在平面截球所得圓為，下底面所在平面截球所得圓為，所以，，又因?yàn)榍虻陌霃綖?/span>5，所以下底面在過球心的截面上，所以，即該正三棱臺的高為.故選：D.12．函數(shù)的圖象大致為（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】利用，排除A；利用導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)時(shí)的單調(diào)性，兩次求導(dǎo)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可得，排除CD，從而可得答案.【詳解】，排除A.當(dāng)時(shí)，.令函數(shù)，，，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.，，因?yàn)?/span>，所以，，即.所以存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..因?yàn)?/span>，所以，，排除CD.故選:B. 二、填空題13．已知向量，滿足，，則           .【答案】【分析】運(yùn)用平面向量模及數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，，，因?yàn)?/span>，所以.故答案為：.14．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為      .【答案】1【分析】求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解不等式得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，即可求出最值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.故答案為：115．盒中裝有標(biāo)有數(shù)字1，2，3的卡片各2張，從盒中任意抽取2張，每張卡片被取出的可能性都相等，則抽出的2張卡片上最大的數(shù)字是3的概率為      .【答案】/【分析】利用列舉法求解即可.【詳解】記“抽出的2張卡片上最大的數(shù)字是3”的事件為.記標(biāo)有數(shù)字1的2張卡片分別為，；標(biāo)有數(shù)字2的2張卡片分別為，；標(biāo)有數(shù)字3的2張卡片分別為，.從盒中任意抽取2張卡片的基本事件有15個(gè)，分別為，，，，，，，，，，，，，，.抽出的2張卡片上最大的數(shù)字是3的基本事件有9個(gè)，分別為，，，，，，，，.故.故答案為：16．已知，為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，，則C的離心率為    .【答案】【分析】先利用題給條件列出關(guān)于的齊次方程，解之即可求得橢圓C的離心率.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，.由及橢圓的對稱性可知，四邊形為矩形，所以，則，化簡得，則橢圓C的離心率.故答案為： 三、解答題17．近日來，ChatGPT的“火”在教育界引發(fā)了熱議，尤其是在未來課堂上的實(shí)踐與應(yīng)用，引起廣泛的關(guān)注.某學(xué)校計(jì)劃嘗試“ChatGPT進(jìn)課堂”，隨機(jī)抽取400名家長，對“ChatGPT”的了解情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.已知了解的人數(shù)為280，不了解的人數(shù)為120. 男家長女家長合計(jì)了解160  不了解 80 合計(jì)   (1)請補(bǔ)充完整上面的列聯(lián)表，并分別估計(jì)該校男、女家長中對“ChatGPT”了解的概率；(2)判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校家長對“ChatGPT”的了解情況與性別有關(guān)系.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，(2)有99.9%的把握認(rèn)為家長對“ChatGPT”的了解情況與性別有關(guān)系 【分析】（1）先根據(jù)題意和表中的數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再利用表格中數(shù)據(jù)求出校男、女家長中對“ChatGPT”了解的頻率，從而可求出概率；（2）利用公式求出，再根據(jù)臨界值表進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1） 男家長女家長合計(jì)了解160120280不了解4080120合計(jì)200200400該校男家長中對“ChatGPT”了解的概率為. 該校女家長中對“ChatGPT”了解的概率為.（2）. 故有99.9%的把握認(rèn)為家長對“ChatGPT”的了解情況與性別有關(guān)系.18．在中，分別是內(nèi)角的對邊，.(1)求角的大??；(2)若，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理進(jìn)行角化邊可得，再結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；（2）利用余弦定理解得，再結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.由正弦定理可得：，根據(jù)余弦定理可得，因?yàn)?/span>，所以.（2）由余弦定理知，即，化簡得，解得或（舍去）.由正弦定理知，則.19．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）方法一：由題意可得，解方程組求出，從而可求出通項(xiàng)公式，方法二：由，得，兩式相減可求出公比，再由可求出，從而可求出通項(xiàng)公式，（2）由（1）得，再利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）方法一：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為.由，得，即，解得，故.方法二：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為.由，得，兩式相減得，即，得.由，得，解得.故.（2）因?yàn)?/span>，所以，①.②由①-②得，故.20．如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，為的中點(diǎn)，，，且為正三角形.  (1)證明：；(2)點(diǎn)在上，當(dāng)的面積最小時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）作出輔助線，由余弦定理求出，得到，再得到，從而得到線面垂直，得到線線垂直；（2）證明出，得到，所以當(dāng)的面積最小時(shí)，最小，此時(shí)，，求出，從而得到點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的，故，利用等體積法求出，求出答案.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，. 因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以，由余弦定理得，故，故. 因?yàn)?/span>，所以⊥，，由勾股定理得.因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以為的中位線，因?yàn)?/span>，，所以，即.因?yàn)?/span>，所以. 又因?yàn)?/span>，平面，所以平面. 因?yàn)?/span>平面，所以.（2）連接，.因?yàn)?/span>，，所以.因?yàn)?/span>，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.因?yàn)?/span>，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)的面積最小時(shí)，最小. 當(dāng)取最小值時(shí)，，此時(shí)，，由勾股定理得.故，  設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，則點(diǎn)到平面的距離為.故，其中. 故三棱錐的體積為.21．已知函數(shù)，.(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過對m的討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由已知條件解不等式即可.【詳解】（1）若，則，且.又，所以.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)?/span>，所以.令函數(shù)，則.因?yàn)?/span>，所以，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)，即時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，所以，符合題意.當(dāng)，即時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?/span>，所以，不符合題意.綜上，的取值范圍為.22．已知拋物線C：（）上一點(diǎn)（）與焦點(diǎn)的距離為2.(1)求p和m；(2)若在拋物線C上存在點(diǎn)A，B，使得，設(shè)的中點(diǎn)為D，且D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，求點(diǎn)D的坐標(biāo).【答案】(1)，(2)或. 【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求出，然后將代入拋物線的方程即可求出m；（2）根據(jù)D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離求出D的橫坐標(biāo)，將轉(zhuǎn)為，從而得到，兩者結(jié)合即可求出，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，根據(jù)題意可知，解得.故拋物線C：.因?yàn)?/span>M在拋物線C上，所以.又因?yàn)?/span>，所以.（2）設(shè)，，，直線的斜率為，直線的斜率為.易知，一定存在，則，.由，得，即，化簡得，即因?yàn)?/span>D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離，所以，則，即，.，即，解得或，則或.故點(diǎn)D的坐標(biāo)為或. 

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