2022-2023學年陜西省安康市石泉縣江南中學高二下學期期中數(shù)學（文）試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式得到集合，，然后求交集即可.【詳解】，.故選：A.2．已知復數(shù)滿足，則的虛部為（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】化簡，再求出即得解.【詳解】由，得，從而，所以的虛部為1．故選：A3．是直線與圓相切的（    ）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】判斷“”和“直線與圓相切”之間的邏輯推理關系，可得答案.【詳解】當時，直線為，則的圓心到直線的距離為，故此時直線和圓相切；當直線與圓相切時，則，解得或，推不出一定是，故是直線與圓相切的充分不必要條件，故選：B4．將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求解即可【詳解】將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，所得圖象表示的函數(shù)是，再把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是.故選：D5．函數(shù)的大致圖象為A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除A、C.當時排除B【詳解】解：由可得所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除A、C.因為時，，排除B.故選：D.6．甲?乙?丙?丁4名學生參加數(shù)學競賽，在成績公布前，4人作出如下預測：甲說：乙第一；乙說：丁第一；丙說：我不是第一；丁說：乙第二.公布的成績表明，4名學生的成績互不相同，并且有且只有1名學生預測錯誤，則預測錯誤的學生是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】分別假設甲?乙?丙?丁的預測錯誤，看能否推出與題意相矛盾的情況，即可判斷答案.【詳解】若甲預測錯誤，則其余三人預測正確，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合題意；若乙預測錯誤，則其余三人預測正確，則甲和丁的預測相矛盾，這樣有兩人預測錯誤，不符合題意；若丙預測錯誤，則其余三人預測正確，則甲和丁的預測相矛盾，這樣有兩人預測錯誤，不符合題意；若丁預測錯誤，則其余三人預測正確，則甲和乙的預測相矛盾，這樣有兩人預測錯誤，不符合題意；故選：A7．如圖，在直棱柱中，，，E為BC的中點，F為的中點，則異面直線AF與所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接BF，證明，在中計算即可作答.【詳解】在直棱柱中，連接BF，如圖，因E為BC的中點，F為的中點，則，則四邊形為平行四邊形，即有，因此是異面直線AF與所成角或其補角，因平面，平面，則，又，，平面，即有平面，平面，即，令，則，所以異面直線AF與所成角的正弦值為.故選：B8．設，分別是雙曲線的左、右焦點．為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率為（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的定義及標準方程，得到，，結(jié)合勾股定理表示出和 的關系即可.【詳解】利用雙曲線的定義及標準方程，得到,又，因為，所以；故，即故答案為：9．若某程序框圖如圖所示，已知該程序運行后輸出的值是，則判斷框的條件可能是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)程序框圖與數(shù)列裂項求和，即可得出判斷框的條件.【詳解】由題意，假設先執(zhí)行若干次循環(huán)：，；，；，，…，，；，；結(jié)束循環(huán)，再分析選項，只有B符合題意，故選：B.10．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算法》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1至2023這2023個數(shù)中，能被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項數(shù)為（    ）A．56 B．57 C．58 D．59【答案】C【分析】由題意能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的數(shù)，從而可得數(shù)列的通項，再結(jié)合條件列不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】因為能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的數(shù)，所以，，，即是以1為首項，35為公差的等差數(shù)列，即.由題意知且，得，解得，，所以此數(shù)列的項數(shù)為58項.故選：C.11．若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】先分析出當切線與直線平行時，點到直線距離最小，設出切點，求導后利用斜率得到切點坐標，求出答案.【詳解】過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離最小.設切點為，所以切線斜率為，由題知，解得或（舍），，此時點到直線距離.故選：D12．已知三棱錐的所有頂點都在球的表面上，是邊長為的等邊三角形，若三棱錐體積的最大值是，則球的表面積是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設球O的半徑為R，的外心為，由題意可得外接圓的半徑及面積，高的最大值為，代入體積公式，結(jié)合題意可求得R值，代入球的表面積公式即可得答案.【詳解】設外接圓的半徑為，則，設球的半徑為，當三棱錐的高最大時，體積取最大值，高的最大值.所以，即，解得.故球的表面積是．故選：A. 二、填空題13．設滿足約束條件，則的最小值為          .【答案】【分析】根據(jù)約束條件，畫出可行域，由目標函數(shù)求出最小值．【詳解】畫出，滿足約束條件的可行域如下圖：，可得點，當直線過點時，取最小值．故答案為：．  14．已知向量與的夾角為，則          .【答案】【分析】由向量的模長公式和數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因為向量與的夾角為，所以，.故答案為：.15．記為數(shù)列的前項和.若，則          .【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列通項和前項和之間的關系判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得答案．【詳解】，令得當時，，兩式相減可得數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，.故答案為：.16．已知點，點在拋物線上運動，點在圓上運動，則的最小值          .【答案】4【分析】由已知可得，利用基本不等式可求的最小值．【詳解】設圓心為，則為拋物線的焦點．設，則，要使最小，則需最大，，且，，當且僅當，即時取等號，的最小值是4．故答案為：4．     三、解答題17．的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）應用正弦定理邊角關系及三角恒等變換得，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)得，進而確定角的大小；（2）根據(jù)余弦定理求，再應用三角形面積公式求面積即可.【詳解】（1）由結(jié)合正弦定理可得，整理得，，.（2），即，解得，的面積為.18．2023年春節(jié)期間，科幻電影《流浪地球2》上映，獲得較好的評價，也取得了很好的票房成績，某平臺為了解觀眾對該影片的評價情況（評價結(jié)果僅有“好評”“差評”），從平臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取400人進行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人）： 好評差評合計男性 80200女性90  合計  400(1)把2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.5%的把握認為“對該部影片的評價與性別有關”？(2)從隨機抽取的400人中所有給出“好評”的觀眾中采用按男女分層抽樣的方法隨機抽取7人參加平臺和影片出品方組織的活動，為了方便活動，現(xiàn)從7人中隨機選出2人作為正、副領隊，求所選出的正、副領隊是一男一女的概率．參考公式：，其中，參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有99.5%的把握認為“對該部影片的評價與性別有關”(2) 【分析】（1）由題意進行數(shù)據(jù)分析，完善2×2列聯(lián)表，套公式求出，對照參數(shù)下結(jié)論；（2）列舉基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解.【詳解】（1）2×2列聯(lián)表補充完整如下： 好評差評合計男性12080200女性90110200合計210190400，因此有99.5%的把握認為“對該部影片的評價與性別有關”.（2）采用分層抽樣的方法從男性給出“好評”者中抽取的人數(shù)為人，記作a，b，c，d；從女性給出“好評”者中抽取的人數(shù)為 人，記作A，B，C，所以從7人中抽取2人包含的基本事件有ab，ac，ad，aA，aB，aC，bc，bd，bA，bB，bC，cd，cA，cB，cC，dA，dB，dC，AB，AC，BC，共21個，其中包含一男一女的基本事件有aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，dA，dB，dC，共12個，故所求概率．19．如圖（1），在等腰梯形中，，，為中點.以為折痕將折起，使點到達點的位置，如圖（2）.（1）求證：；（2）若，求點到平面的距離.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)已知的長度和平行關系可證得均為等邊三角形，取中點，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可證得，，則根據(jù)線面垂直判定定理證得平面，由線面垂直性質(zhì)定理可得結(jié)論；（2）利用體積橋的方式可構(gòu)造出關于所求距離的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】（1）在圖中，，，為中點四邊形是菱形，且是等邊三角形，即圖中是等邊三角形連結(jié)，    四邊形為平行四邊形則，即是等邊三角形設中點為，連結(jié)，，則，，平面    平面平面    （2）由（1）知：又        又，，平面平面，即為三棱錐的高設點到平面的距離為在中，，    由得：，解得：點到平面的距離為【點睛】本題考查立體幾何中線線垂直關系的證明、點到平面距離的求解問題；證明線線垂直關系時，通常需要采用先證線面垂直的方式，再利用線面垂直性質(zhì)證得結(jié)論；求解點到平面距離時，常采用體積橋的方式，構(gòu)造出關于所求距離的方程來求得結(jié)果.20．已知橢圓的一個焦點為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)不過原點的直線與橢圓交于兩點，求面積的最大值及此時直線的方程.【答案】(1)(2)最大值為，方程為 【分析】（1）由焦點和離心率即可知，從而可得橢圓方程；（2）設出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，由點到直線的距離公式結(jié)合韋達定理，把面積表示為函數(shù)，再用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由已知得，由離心率，得，橢圓的方程為.（2）設，聯(lián)立可得，，直線與橢圓交于兩點，，解得，由韋達定理可得，由弦長公式可得，點到直線的距離為，，當且僅當，即時取等號，面積的最大值為，此時直線的方程為.21．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍；(3)證明：.【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析 【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）分離參數(shù)，令，只需，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為只需證明，由（2）可知在單調(diào)遞減，，從而證明結(jié)論成立．【詳解】（1）.若，則，此時在上單調(diào)遞增；若，當時，；當時，，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）的定義域為，若恒成立，則恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；，解得.（3）要證明，只需證明，即，即只需證明，由（2）可知在單調(diào)遞減，，故，.22．在平面直角坐標系中，直線的傾斜角為且過點．以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，且曲線的極坐標方程．（1）寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于不同的兩點，，求的最大值．【答案】（1）（為參數(shù)）；；（2）.【分析】（1）根據(jù)直線參數(shù)方程的定義求出直線的參數(shù)方程，再根據(jù)公式將曲線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義計算可得；【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；曲線的極坐標方程，所以所以曲線的直線坐標方程為．（2）將代入，并整理得．設、對應的參數(shù)分別為，，則．因為在圓的內(nèi)部，所以與異號，于是．考慮到，則當時，．23．已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)絕對值的幾何意義分類討論去絕對值符號，分別解不等式組，再將解集求并集即可；（2）利用絕對值三角不等式得，然后根據(jù)題意得，解含絕對值的不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當時，，當時，，解得，此時；當時，，整理得，該式恒成立，此時；當時，，解得，此時，綜上可知，不等式的解集為.（2）若滿足題意，必須，等價轉(zhuǎn)化為即解得，故的取值范圍為. 

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