2022-2023學(xué)年湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體高二下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式化簡集合，根據(jù)函數(shù)的定義域及解對數(shù)不等式化簡集合，由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】由，解得，故.由，可得，故，則.故選:C.2．已知復(fù)數(shù)，且，其中，為實(shí)數(shù)，則（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，進(jìn)而即得.【詳解】由題，，由，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實(shí)部、虛部對應(yīng)相等，得,即.故選：A.3．已知非零向量，滿足，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則結(jié)合數(shù)量積的定義可得，進(jìn)而即得.【詳解】∵，∴，又，，∴，解得，又，所以.故選：D.4．已知長方體的底面是邊長為2的正方形，，，分別為，的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（    ）A． B．4 C． D．6【答案】C【分析】由題可得三棱錐是正四面體，然后利用正四面體的性質(zhì)結(jié)合棱錐的體積公式即得.【詳解】因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，長方體的底面是邊長為2的正方形，，所以，，所以三棱錐是正四面體，設(shè)的中心為，連接，則，，所以三棱錐的體積為.故選：C.5．某學(xué)校在高考模擬考試座位的排定過程中，有來自班的4名學(xué)生和來自班的4名學(xué)生，恰好排在五行八座（每個(gè)考室5行*8座人）中的第二行，則來自同一班級的4名學(xué)生互不相鄰的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用全排列求出試驗(yàn)的基本事件數(shù)，利用插空法求出所求概率的事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概率求解作答.【詳解】8名同學(xué)坐在一行的不同排法共有種，來自同一班級的4名學(xué)生互不相鄰的排法有種，所以事件“來自班的4名學(xué)生互不相鄰，且來自班的4名學(xué)生也互不相鄰”的概率.故選：B6．已知，且的最小正周期為2.若存在，使得對于任意，都有，則為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得的最小正周期為4，可得，由可得，故函數(shù)關(guān)于直線對稱，結(jié)合即可求的值.【詳解】由已知條件可得的最小正周期為4，所以.由,得，因?yàn)榇嬖?/span>，使得對于任意，都有，所以，所以，得到函數(shù)關(guān)于直線對稱，故，又，所以.故選:A.7．已知函數(shù)，，若，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷出函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，然后比較、、三個(gè)數(shù)的大小，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?/span>，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故，當(dāng)時(shí)，，任取，，則，，所以，所以，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，由可得，故， 則，即.故選：A.8．已知，，，是表面積為的球面上四點(diǎn)，，，，三棱錐的體積為，則線段長度的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件可得為直角三角形，由球的表面積公式可得球的半徑結(jié)合球的性質(zhì)可得球心到平面的距離，根據(jù)錐體的體積公式結(jié)合條件可得在距平面距離為3的截面圓上，然后利用球的性質(zhì)可表示出，再結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)球的球心為，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以球的半徑，又因?yàn)?/span>，，，由，所以，故，，，設(shè)的中點(diǎn)為，則為外接圓圓心，連接，則，所以，即球心到平面的距離為2，且，又三棱錐的體積為，所以到平面的距離，  設(shè)在球面的截面圓上，則，截面圓的半徑為2，設(shè)在平面上的投影為，則的軌跡為圓，圓心為的外心，即為的中點(diǎn)，  則，，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)球的性質(zhì)結(jié)合條件找出點(diǎn)的位置，然后表示出再利用圓的性質(zhì)即得. 二、多選題9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．可能是奇函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．當(dāng)的極大值為17時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是【答案】ABC【分析】由奇函數(shù)的定義可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性可判斷BCD.【詳解】因?yàn)閷?/span>，，顯然當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，即A正確；因?yàn)?/span>，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確；由得，結(jié)合選項(xiàng)B可知，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)的極大值為，所以，故C正確；由B可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以無最大值，無最小值，故D錯(cuò)誤.故選:ABC.10．已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則（    ）A．拋物線為B．若，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為4C．直線與拋物線相交所得弦長最短為4D．若拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上不同于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，，，則的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得可判斷A，根據(jù)拋物線的定義利用數(shù)形結(jié)合可判斷B，利用韋達(dá)定理法及弦長公式可判斷C，根據(jù)條件可得當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)最小，然后利用判別式即得.【詳解】因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，從而拋物線的方程是，所以A錯(cuò)誤；設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，由題可知準(zhǔn)線為，則，故B正確；拋物線的焦點(diǎn)為，直線過焦點(diǎn)，由，可得，設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)為，則，所以直線與拋物線相為所得弦長，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；對于D，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，連接，在中，設(shè)，則，要求的最小值，即最小，即最小，所以當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，角最小，設(shè)切線方程為存在，且，由，聯(lián)立得，令，得，所以或（舍），所以，所以，故D正確.故選：BCD.11．已知正方體的棱長為2，則以下結(jié)論正確的是（    ）A．若為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則點(diǎn)到平面的距離為定值B．正方形底面內(nèi)存在點(diǎn)，使得C．若點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡的周長為D．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球半徑【答案】ACD【分析】利用線面平行的判定定理可得平面進(jìn)而可判斷A，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量垂直的條件可判斷B，根據(jù)條件找出點(diǎn)的軌跡進(jìn)而可判斷C，利用線面垂直的判定定理可得平面，然后利用球的性質(zhì)結(jié)合條件可判斷D.【詳解】對于A，由題意可得：且，∴為平行四邊形，則，又平面，平面，∴平面，又∵為線段上的點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為定值，故A正確；對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，若，則，即與題意矛盾，所以B不正確；對于C，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，分別連接，，，，，，連接，則，，由平面，平面，所以平面，故平面，平面，所以，同理可得，且平面，所以平面，由題意可得的軌跡為正六邊形，其中，所以點(diǎn)的軌跡的周長為，C正確；對于D，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，三棱錐的外接球的球心，半徑為，連接，，，則平面，且，對于，，，∴，則，所以，則，∴，即，D正確.故選：ACD.12．已知定義在的函數(shù)存在使為函數(shù)的最小值，其中，則的值可以為（附：，，）（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AB【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合條件可得表示函數(shù)上的點(diǎn)與兩點(diǎn)，的距離之和，然后構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)?/span>，故表示函數(shù)上的點(diǎn)與兩點(diǎn)，的距離之和，所以當(dāng)為線段與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)時(shí)，的值最小，由，可設(shè)，，，所以，使得，由題可得時(shí)，成立，所以A正確；時(shí)，成立，所以B正確；當(dāng)時(shí)，，不合題意.故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)上的點(diǎn)與兩點(diǎn)，的距離之和，然后利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合條件即得. 三、填空題13．在的展開式中常數(shù)項(xiàng)等于       .【答案】16【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式結(jié)合其常數(shù)項(xiàng)組成形式即可得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>展開式的通項(xiàng)為，，的展開式中常數(shù)項(xiàng)由兩項(xiàng)構(gòu)成，即與，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：16.14．若一直線與曲線和曲線相切于同一點(diǎn)，則的值為       .【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則由，得，由，得，則解得.故答案為：e.15．有窮等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則的最小值是       .【答案】/0.75【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】由已知得，又，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號.故答案為：.16．如圖，已知雙曲線：與過其焦點(diǎn)的圓相交于，，，四個(gè)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與雙曲線交于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，則雙曲線的離心率為       .  【答案】【分析】根據(jù)雙曲線與圓的對稱性確定關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用直線斜率的坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)關(guān)系即可得關(guān)系，從而可得雙曲線離心率.【詳解】由題可知關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以又在雙曲線上，所以，則，所以，即，①∴由，連接，可得可得，②  由①②聯(lián)立，所以離心率.故答案為：. 四、解答題17．在數(shù)列中，，.(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義即得；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合條件可得，然后利用裂項(xiàng)相消法即得.【詳解】（1）由已知可得，∴，又，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，因此，，所以.18．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)一系列對應(yīng)的值如下表：………020…(1)求的解析式；(2)若在銳角中，，角所對的邊，求面積的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用五點(diǎn)作圖法結(jié)合條件可得函數(shù)解析式；（2）由題可得，然后利用正弦定理，三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍，再根據(jù)三角形的面積公式即得.【詳解】（1）由題中表格給出的信息可知，函數(shù)的周期，由；又，所以，∴；（2）由可知，因?yàn)?/span>，所以，所以，則，由正弦定理得，即，，則，又因?yàn)樵阡J角三角形中，由，即，得，所以，所以，則，故的取值范圍為，所以，所以面積的取值范圍為.19．一個(gè)小型制冰廠有3臺(tái)同一型號的制冰設(shè)備，在一天內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備只要有一臺(tái)能正常工作，制冰廠就會(huì)有利潤，當(dāng)3臺(tái)都無法正常工作時(shí)制冰廠就因停業(yè)而虧本（3臺(tái)設(shè)備相互獨(dú)立，3臺(tái)都正常工作時(shí)利潤最大）.每臺(tái)制冰設(shè)備的核心系統(tǒng)由3個(gè)同一型號的電子元件組成，3個(gè)元件能正常工作的概率都為，它們之間相互不影響，當(dāng)系統(tǒng)中有不少于的電子元件正常工作時(shí)，此臺(tái)制冰設(shè)備才能正常工作.(1)當(dāng)時(shí)，求一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率；(2)若已知當(dāng)前每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.6，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，若制冰廠由于設(shè)備不能正常工作而停業(yè)一天，制冰廠將損失1萬元，為減少經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案可供選擇參考：方案1：更換3臺(tái)設(shè)備的部分零件，使每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.85，更新費(fèi)用共為600元.方案2：對設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.75，設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為元.請從期望損失最小的角度判斷如何決策？【答案】(1)；(2)答案見解析. 【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可得每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率，然后根據(jù)對立事件概率公式可得一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率；（2）根據(jù)條件分別計(jì)算不采取措施，采用方案1，采用方案2制冰廠的總損失的期望，然后比較即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為：，所以一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率為；（2）若不采取措施，設(shè)總損失為，當(dāng)前每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.6，故元；設(shè)方案1、方案2的總損失分別為，，采用方案1，更換3臺(tái)設(shè)備的部分零件，使得每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.85，故元；采用方案2，對設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.75，故元，又，且，因此，從期望損失最小的角度，當(dāng)時(shí)，可以選擇方案1或2；當(dāng)時(shí)，選擇方案2；當(dāng)時(shí)，采取方案1.20．如圖，圓柱的軸截面是邊長，的矩形，點(diǎn)在上底面圓內(nèi)，且（，，三點(diǎn)不在一條直線上）.下底面圓的一條弦交于點(diǎn)，其中，平面平面.      (1)證明：平面；(2)若二面角的正切值為，求的長.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得平面，利用面面平行及線面平行的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而即得；（2）利用坐標(biāo)法，設(shè)平面交圓柱上底面于，交于點(diǎn)，根據(jù)面面角的向量求法結(jié)合條件可得，進(jìn)而可得，然后利用勾股定理即得.【詳解】（1）由題意可知：在下底面圓中，為直徑，因?yàn)?/span>，所以為弦的中點(diǎn)，且，因?yàn)?/span>，，，平面，所以平面，又因?yàn)閳A柱上、下底面相互平行，即平面平面，且平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，又平面，所以平面；（2）如圖，設(shè)平面交圓柱上底面于，交于點(diǎn)，則二面角的大小就是二面角的大小，分別以下底面垂直于的直線、、為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，    因?yàn)?/span>，底面圓半徑為2，所以，，則，，，設(shè)，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得即令，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得即令，可得，又因?yàn)槎娼?/span>的正切值為，所以，化簡得，解得或（舍）.即，又因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，所以，，且為的中點(diǎn)，所以，，，所以若二面角的正切值為，則的長為.21．已知，且在處的切線與直線平行.(1)求的值，并求此切線方程；(2)若，且有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，求證：【答案】(1)，；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得時(shí)，再利用導(dǎo)數(shù)證明時(shí)，進(jìn)而即得.【詳解】（1）把代入可得切點(diǎn)為，∵，所以切線斜率為，即，所以切線方程為；（2）由（1）知，，由得，由得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，且時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以，過和作直線，可知時(shí)，易得恒成立，過和作直線，下面證明：時(shí)，恒成立，要證：，只需要證：，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因而成立，   令與和分別交于，，故由，由，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).22．已知直線過點(diǎn)且與圓：交于，兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作垂直于的直線交于點(diǎn)，記的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程(2)設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線相交于點(diǎn).請判斷的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，8 【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義，即可得曲線的軌跡方程；（2）設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與橢圓得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合直線的方程與直線的方程為即可得交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定其軌跡，可求解三角形的面積.【詳解】（1）由題意得，圓：的圓心為，半徑為,  因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，且，所以是線段的垂直平分線，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡即曲線是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)曲線：，其中，.則，，，故曲線：（2）的面積是定值，理由如下：    由題意易得，，且直線的斜率不為0，可設(shè)直線：，，，由,得，恒成立，所以，則.直線的方程為：，直線的方程為：，由，得.又，解得.故點(diǎn)在直線上，所以到的距離，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別為，所以設(shè)，所以，解得，所以，同理可得因此的面積是定值，為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓與直線綜合的面積問題，解題關(guān)鍵是利用坐標(biāo)關(guān)系確定動(dòng)點(diǎn)軌跡．本題中直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理求出，然后坐標(biāo)確定直線與的方程，從而聯(lián)立得交點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得軌跡方程．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題． 

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這是一份2022-2023學(xué)年湖南省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題PDF版含答案，文件包含高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)正文pdf、高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)答案pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共16頁， 歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年湖南省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2022-2023學(xué)年湖南省名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案，共22頁。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答，已知圓，若，，，則，已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則，已知函數(shù)，滿足，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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