2022-2023學(xué)年江西省九江市德安縣第一中學(xué)高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．過兩點的直線方程為(    )A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，結(jié)合點斜式方程，即可求解.【詳解】由兩點，可得過兩點的直線的斜率為，又由直線的點斜式方程，可得，即.故選：B.2．設(shè)直線被圓：所截得弦的中點為，則直線的方程為（    ）A．  B． C．  D． 【答案】D【分析】求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)得到，利用垂直求出直線的斜率，再根據(jù)點斜式可得結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，設(shè)直線的斜率為，由已知直線與垂直，又，所以，解得：，所以的方程為，即.故選：D.3．某同學(xué)喜愛球類和游泳運動，在暑假期間，該同學(xué)上午去打球的概率為，若該同學(xué)上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為.已知該同學(xué)在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)上午打球為事件，下午游泳為事件，根據(jù)題意求出，再根據(jù)條件概率即可得解.【詳解】設(shè)上午打球為事件，下午游泳為事件，則，故，所以，所以上午打球的概率為.故選：C.4．【陜西省西安市長安區(qū)第一中學(xué)上學(xué)期期末考】已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），則雙曲線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意結(jié)合雙曲線的漸近線方程可得：，解得：，雙曲線方程為：.本題選擇D選項.【解析】 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【名師點睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法就是依據(jù)題目的條件列出關(guān)于的方程，解方程組求出，另外求雙曲線方程要注意巧設(shè)雙曲線（1）雙曲線過兩點可設(shè)為，（2）與共漸近線的雙曲線可設(shè)為，（3）等軸雙曲線可設(shè)為等，均為待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程.5．記為等差數(shù)列的前n項和，已知，，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求得公差，得等差數(shù)列前項和，結(jié)合二次函數(shù)知識得最小值．【詳解】設(shè)公差為，則，，，所以時，取得最小值．故選：A．6．在數(shù)列中，，數(shù)列是以5為公比的等比數(shù)列，則（    ）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式結(jié)合對數(shù)運算求解.【詳解】因為數(shù)列是以首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以.故選：B．7．已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，再由其單調(diào)性即可求得不等式.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，即，所以，即的解集為.故選：D8．若實數(shù)a，b，c滿足，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等式解出a、b、c的值，利用作差法，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性判斷差的正負，從而得出結(jié)果.【詳解】由可得：，，，比較a和b，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，故，即.比較b和c，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即.綜上，.故選：A.【點睛】方法點睛：比較數(shù)值大小方法.①估值法：找出式子的取值區(qū)間，以此判斷各個式子的大小關(guān)系；②作差法與構(gòu)造函數(shù)法：當(dāng)無法進行估值判斷式子大小時，可將兩個式子相減并構(gòu)造成函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷差的正負，以此判斷式子大小. 二、多選題9．已知首項為的等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由得出的范圍，判斷A；作差結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷B；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，判斷C；由求和公式結(jié)合性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，則，解得，故A正確；對于B：，則，故B錯誤；對于C：因為，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，因為，，即數(shù)列的前8項為負數(shù)，從第9項開始，都為正數(shù)，則，故C正確；對于D：，故D錯誤；故選：AC10．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（    ）A．若丙在甲、乙的中間（可不相鄰）排隊，則不同的排法有20種B．若五位同學(xué)排隊甲不在最左端，乙不在最右端，則不同的排法共有78種C．若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且甲、丙不能相鄰，則不同的排法有36種D．若甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每位同學(xué)只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有150種【答案】BCD【分析】對于A：討論甲、乙之間有幾位同學(xué)，分析運算即可；對于B：討論甲、乙所在位置，分析運算即可；對于C：先求甲、乙相鄰的安排方法，再排除甲、乙相鄰且甲、丙相鄰的安排方法；對于D：先將學(xué)生安排出去，再排除有小區(qū)沒有人去的可能.【詳解】對于選項A：可知有三種可能：甲、乙之間只有一位同學(xué)，則不同的排法有種；甲、乙之間有兩位同學(xué)，則不同的排法有種；甲、乙之間有三位同學(xué)，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故A錯誤；對于選項B：可知有四種可能：甲在最右端，乙在最左端，則不同的排法有種；甲在最右端，乙不在最左端，則不同的排法有種；甲不在最右端，乙在最左端，則不同的排法有種；甲不在最右端，乙不在最左端，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故B正確；對于選項C：若甲、乙相鄰，則不同的排法有種；若甲、乙必須相鄰且甲、丙相鄰，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故C正確；對于選項D：若每位同學(xué)只去一個社區(qū)，則不同的排法有種；若有小區(qū)沒有人去，則有兩種可能：所有人去了一個小區(qū)，則不同的排法有種；所有人去了兩個小區(qū)，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故D正確；故選：BCD.11．若時，關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的值可以為（    ）（附：）A． B．3C． D．【答案】BC【分析】采用參變分離的方法可得恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由此可得，進而確定的范圍，對比選項可得結(jié)果.【詳解】由題意知：當(dāng)時，恒成立；令，則，令，則，當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞增，所以，即恒成立，在上單調(diào)遞增，，，即實數(shù)的取值范圍為.，，，，.故選：BC.【點睛】思路點睛：解決本題中的恒成立問題的基本思路是采用參變分離的方法，將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為，由此可將問題轉(zhuǎn)化為最大值的求解問題.12．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．在上單調(diào)遞增B．的最大值為1C．當(dāng)時，D．若函數(shù)恰有2個零點，則的取值范圍為【答案】BCD【分析】對于選項AB，通過對函數(shù)求導(dǎo)，直接求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，即可判斷出選項AB的正誤；對選項C，通過構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性即可判斷出選項C的正誤；對于選項D，令，從而得到，再利用的單調(diào)性即可判斷出選項D的正誤.【詳解】選項AB，易知的定義域為，，所以，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故選項A錯誤，選項B正確；選項C，令，則 ，因為，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，故選項C正確；選項D，令，由，得到，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，當(dāng)趨近于0時，趨近于0，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以時，恒有，所以，如圖1，當(dāng)或時，無解，則無零點，不合題意；當(dāng)時，時，，由，得到，即時，則有且只有一個零點，不合題意；當(dāng)時，有兩個解，因為，如圖2，有且僅有兩解，，無解，則有且兩個零點，符合題意；所以恰有兩個零點時，，故選項D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解． 三、填空題13．等比數(shù)列中，，，則公比q的值為             .【答案】或【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，結(jié)合得到是方程的兩根，從而求出，得到公比.【詳解】∵，，∴是方程的兩根，∴或，∵，∴或，∴或故答案為：或14．已知函數(shù)，則        ．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式直接求解.【詳解】,所以.故答案為:.15．過拋物線的焦點作一直線交拋物線于、兩點，則的值是        ．【答案】【分析】設(shè)出直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立得出與，再代入斜率公式即可得出答案.【詳解】由題意知，拋物線焦點坐標(biāo)為，從而設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程，得，，，.所以.故答案為：.16．若關(guān)于x的不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為       ．【答案】【分析】變換得到，設(shè)得到，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算最值得到答案.【詳解】，即，，設(shè)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，設(shè)，，故，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，故，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用同構(gòu)的思想，變換得到是解題的關(guān)鍵. 四、解答題17．已知的三個頂點，，，求：(1)邊上的高所在直線的方程；(2)的垂直平分線所在直線的方程．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)由斜率公式易知，由垂直關(guān)系可得直線的斜率，代入點斜式易得方程；(2)根據(jù)可得，再由中點坐標(biāo)公式可得線段的中點，可得方程．【詳解】（1）由斜率公式易知，直線的斜率．又直線過點，代入點斜式得直線的方程為：．（2），．又線段的中點為，所在直線的方程為，整理得所求的直線方程為：．18．已知，，，四個袋，每個袋中都有1個黑球和1個白球共兩個球，這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)有，兩個空盒，甲同學(xué)從，兩袋中各隨機取出1個球，放入盒中；乙同學(xué)從，兩袋中各隨機取出1個球，放入盒中．(1)求：盒中是兩個黑球的概率，盒中是一個黑球和一個白球的概率，盒中是兩個白球的概率；(2)接下來丙同學(xué)從，兩盒各隨機取出1個球，記錄下顏色后，放回原盒；隨后丁同學(xué)從，兩盒各隨機取出1個球，記錄下顏色后，放回原盒．（i）求：丙同學(xué)取得兩個白球的概率；（ii）在，兩盒中無任何一盒是兩個白球的條件下，求丙、丁兩位同學(xué)都取得兩個白球的概率．【答案】(1)答案見解析(2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用古典概型的概率求解；（2）（i）分，盒中是兩個黑球的概率，，盒中是一個黑球和一個白球的概率，，盒中是兩個白球，利用古典概型的概率和獨立事件的概率求解；（ii）法一：利用古典概型的概率求解；法二：利用條件概率求解.【詳解】（1）解：盒中是兩個黑球的概率為，或；盒中是一個黑球和一個白球的概率為，或；盒中是兩個白球的概率為，或．（2）（i）丙同學(xué)取得兩個白球的概率為，或．（ii）法一：在，兩盒中無任何一盒是兩個白球的條件下，丙、丁兩位同學(xué)都取得兩個白球的概率為．法二：，兩盒中無任何一盒是兩個白球的概率為．，兩盒中無任何一盒是兩個白球且丙、丁兩位同學(xué)都取得兩個白球的概率為．從而在，兩盒都不是兩個白球的條件下，丙、丁兩位同學(xué)都取得兩個白球的概率為．19．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是菱形，底面ABCD，，，點E是CD的中點，異面直線PE與AC所成角的余弦值為．(1)求PA；(2)求PE與平面PBD所成角的正弦值．【答案】(1)1(2) 【分析】（1）先作出異面直線PE與AC所成的角，再利用其余弦值為，解三角形列方程求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系用向量法求解.【詳解】（1）解：如圖，取AD的中點H，連接EH，PH，設(shè)，∵H，E分別為AD，CD的中點，∴，∴異面直線PE與AC所成角即為（或其補角），又∵四邊形ABCD為菱形，，，∴，.∵底面ABCD，∴，，，∴，（無解）解得或者（舍），即．（2）如圖，取BC的中點F，∵△ABC為等邊三角形，∴，又∵底面ABCD，如圖以A為原點，分別以，，為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，，∴，，∴，設(shè)平面PBD的法向量為，∴，，即，，不妨令，得：，，∴，∴PE與平面PBD所成角的正弦值為．20．已知橢圓的右頂點為，右焦點為，上頂點為，過兩點的直線平分圓的面積，且（為坐標(biāo)原點）．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于兩點，且點，當(dāng)的面積最大時，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或． 【分析】（1）直線的方程為，直線過圓心有，又，解出得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用點到直線距離和弦長公式，表示出的面積，由基本不等式求面積最大值，根據(jù)等號成立的條件得到的值，可得直線方程.【詳解】（1）如圖所示：由題意可知，所以直線的方程為，因為過兩點的直線平分圓的面積，所以直線的方程過圓心，即，又，兩式聯(lián)立可得，所以橢圓的方程為；（2）由直線的方程為，則點到直線的距離為，聯(lián)立方程組整理可得，由判別式，解得，設(shè)，則，可得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以所求直線的方程為或．21．已知函數(shù)，對任意，都有．(1)求的值．(2)數(shù)列滿足：，求數(shù)列前項和．(3)若，證明：【答案】(1)(2)(3)證明見解析 【分析】（1）依題意令，即可得解；（2）令可得，再利用倒序相加法得到，從而得到，最后利用錯位相減法計算可得；（3）利用放縮法得到，利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）因為對任意，都有，令，所以，所以.（2）因為，令，則，①，又②，兩式相加得：，所以．，所以③，④，③④可得，，所以；（3）由（2）可知，所以，所以，所以.22．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間(2) 【分析】（1）可得，設(shè)，求得，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值，結(jié)合，即可求解；（2）由，得到，令，求得，得到單調(diào)遞減，結(jié)合，，得到，使得，得到，再由單調(diào)性和，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得的定義域為且，設(shè)，可得當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，即，故在定義域為上單調(diào)遞增，無減區(qū)間，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間.（2）解：設(shè)，其中，則，令，其中，可得對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因為，，所以，使得，即，則，即，因此，當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞減，故，解得，所以當(dāng)時，恒成立．【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別． 

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