2022-2023學(xué)年江西省湖口中學(xué)高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)求導(dǎo)，得到，令，得到，即可得到，然后求即可.【詳解】由，得，令，則，解得，所以，.故選：D.2．等差數(shù)列中，若，則n的值為（    ）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】先由得到，再利用解出即可.【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知：，，因?yàn)?/span>，故，又，故，所以.故選：B.3．在遞增等比數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且是和的等差中項(xiàng)，則（    ）A．28 B．20 C．18 D．12【答案】A【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式代入化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意得，，解得或（舍），則.故選：A.4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求定義域，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，解不等式即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令，得，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：B．5．某一天的課程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有（    ）種不同的排法A． B． C． D．【答案】D【分析】先安排數(shù)學(xué)，將物理和化學(xué)捆綁，與其余三門課程進(jìn)行排序，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】若數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，則數(shù)學(xué)的排法有種，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，將物理和化學(xué)捆綁，與語(yǔ)文、英語(yǔ)、生物三門課程進(jìn)行排序，有種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的排法.故選：D.6．對(duì)于函數(shù)，定義滿足的實(shí)數(shù)為的不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，其中且，若有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A．或 B．C．或 D．【答案】C【解析】根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，利用換底公式分離參數(shù)可得；構(gòu)造函數(shù)，并討論的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)圖象，即可確定的取值范圍.【詳解】由得，.令，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，即最大值為，則的圖象如下圖所示：由有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，可得得或，解得或.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用，屬于中檔題.7．斐波那契數(shù)列是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在撰寫《算盤全書》(LiberAbacci)一書中研究的一個(gè)著名數(shù)列，，，，，，，，，，該數(shù)列是數(shù)學(xué)史中非常重要的一個(gè)數(shù)列．它與生活中許多現(xiàn)象息息相關(guān)，如松果、鳳梨、樹葉的排列符合該數(shù)列的規(guī)律，與楊輝三角，黃金分割比等知識(shí)的關(guān)系也相當(dāng)密切．已知該數(shù)列滿足如下規(guī)律，即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，根據(jù)這個(gè)遞推關(guān)系，令該數(shù)列為，其前項(xiàng)和為，，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合數(shù)列的遞推公式，由累加法求解即可.【詳解】由已知，斐波那契數(shù)列的遞推公式為，∴，∴，，，，，上式累加，得，∴，∴.故選：D.8．設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且的圖象是連續(xù)不間斷，，有，若，則的取值范圍是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，先研究函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后將轉(zhuǎn)化為，即，最后求出的取值范圍即可.【詳解】令，，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，則函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上是奇函數(shù)且單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>等價(jià)于，即，所以，且，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確構(gòu)造函數(shù)，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題. 二、多選題9．有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒子里有1個(gè)紅球，乙盒子里有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球放入甲盒子后，再?gòu)募缀凶永镫S機(jī)取一球，記取到紅球的個(gè)數(shù)為，則隨著的增加，下列說法正確的是（    ）A．增加 B．減小 C．增加 D．減小【答案】BC【分析】由超幾何分布與二項(xiàng)分布，求解離散隨機(jī)變量的期望與方差，然后判斷選項(xiàng)【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布，，，則．故從甲盒子里隨機(jī)取一球，相當(dāng)于從含有個(gè)紅球的個(gè)球中取一球，取到紅球的個(gè)數(shù)為，易知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，故，所以，隨著的增加，減??；，隨著的增加，增加．故選：BC10．下列說法正確的是（    ） A．若函數(shù)滿足則函數(shù)在處切線斜率為B．函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，則C．函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則D．若任意，都有，則有實(shí)數(shù)的最大值為【答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，利用導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系可判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，可知函數(shù)在處切線斜率為，故A正確；對(duì)于B，由函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，可知，所以，故B正確；對(duì)于C，由，可得，則在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，即在區(qū)間上有解，又，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)沒有極值，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，又任意，都有，即，故，即實(shí)數(shù)的最大值為，故D正確.故選：ABD.11．已知數(shù)列滿足，，則（    ）A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和【答案】AD【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)即可判斷B；作差判斷的符號(hào)即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>，所以+3，所以，又因?yàn)?/span>，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B不正確；因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：AD.12．若函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在，使得，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的平均值點(diǎn)．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的平均值點(diǎn)，則m的取值不可能是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意分析可得原題意等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合圖象分析判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的平均值點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的根，整理得，構(gòu)建，則原題意等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)?/span>，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，因?yàn)?/span>，所以m的取值不可能是.故選：AD. 三、填空題13．函數(shù)，則          ．【答案】【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，再將代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，故.故答案為：.14．已知，，則的通項(xiàng)公式為      ．【答案】【分析】根據(jù)遞推公式構(gòu)造得到數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求通項(xiàng)公式.【詳解】，①．②由得．又因?yàn)?/span>，所以是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，從而，即．故答案為：15．已知隨機(jī)變量的分布列如下表，表示的方差，則          ．012Pa【答案】2【分析】先利用分布列的性質(zhì)求出a，再求出的期望和方差，利用方差的性質(zhì)求出.【詳解】由題意可知：,解得.所以，所以，所以.故答案為：2.16．已知，且，則的最小值為          .【答案】1【分析】由，得，構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)得在上為增函數(shù)，可得，即，代入后再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以，且，所以，設(shè)，，則，因?yàn)?/span>，所以，在上為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，則，所以，所以，令，則，令，則，則在上為增函數(shù)，令得，即，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以.所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將變形為，再利用指對(duì)同構(gòu)，設(shè)，，將化為是本題解題關(guān)鍵. 四、解答題17．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和滿足，且．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)，作差得到，再由，即可得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)；（2）由（1）可得，利用并項(xiàng)求和法及等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，又可得，當(dāng)時(shí)，作差得，即，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，所以，，所以，所以.18．某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解人們對(duì)某個(gè)產(chǎn)品的使用情況是否與性別有關(guān)，在網(wǎng)上進(jìn)行了問卷調(diào)查，在調(diào)查結(jié)果中隨機(jī)抽取了份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表： 男性女性合計(jì)使用15520不使用102030合計(jì)252550（1）請(qǐng)根據(jù)調(diào)查結(jié)果分析：你有多大把握認(rèn)為使用該產(chǎn)品與性別有關(guān)；（2）在不使用該產(chǎn)品的人中，按性別用分層抽樣抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人參加某項(xiàng)活動(dòng)，記被抽中參加該項(xiàng)活動(dòng)的女性人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）有把握認(rèn)為使用該產(chǎn)品與性別有關(guān)（2）詳見解析【分析】（1）由題中數(shù)據(jù)，根據(jù)得到的觀測(cè)值，根據(jù)臨界值表，即可得出結(jié)果；（2）由題意，根據(jù)分層抽樣的方法得到抽取人則男性應(yīng)抽取人，女性應(yīng)抽取人，再?gòu)闹须S機(jī)抽取人參加某項(xiàng)活動(dòng)，記女生的人數(shù)為，由題意確定的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可得出分布列，求出期望.【詳解】（1）由題中數(shù)據(jù)可得,，由于，所以有把握認(rèn)為使用該產(chǎn)品與性別有關(guān)．（2）由列聯(lián)表知，不使用該產(chǎn)品的人數(shù)為，其中男性人，女性人，按性別用分層抽樣抽取人則男性應(yīng)抽取人，女性應(yīng)抽取人，再?gòu)闹须S機(jī)抽取人參加某項(xiàng)活動(dòng)，記女生的人數(shù)為，則的所有可能取值為：，，，且，，，所以的概率分布列為數(shù)學(xué)期望為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，熟記獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的概念即可，屬于?？碱}型.19．如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn).  (1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，求得平面的一個(gè)法向量為，得到，進(jìn)而證得平面；（2）由（1）得，和法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，.因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由令，可得，所以，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>平面，所以平面.（2）解：由（1）得，，設(shè)直線與平面所成的角為，則.  20．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值：(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值為，無(wú)極大值(2)答案見解析 【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；根據(jù)極值點(diǎn)定義可求得極值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合（1）中結(jié)論作出函數(shù)圖象分析可得結(jié)果．【詳解】（1）∵定義域?yàn)?/span>，，又恒成立，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；所以極小值為，無(wú)極大值．（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合（1）中結(jié)論作出函數(shù)圖象如圖：的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與無(wú)交點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)．21．已知橢圓的離心率為，且橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)橢圓左焦點(diǎn)為，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用離心率以及距離之和即可求解，得到橢圓方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算弦長(zhǎng)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解面積.【詳解】（1）由已知有，解得，則橢圓的方程為.（2） 消去，整理得，解得，，如圖  則，，則，直線的方程為，到直線的距離.所以的面積為.22．已知函數(shù).(1)在當(dāng)時(shí)，分別求和過點(diǎn)的切線方程；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2){1} 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得和過點(diǎn)的切線方程；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)并按的分類討論，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)過點(diǎn)的切線與的切點(diǎn)為.由，則切線方程為，把代入得，，故切線方程為.當(dāng)時(shí)，，因在的圖象上，故為切點(diǎn)，故，則切線方程為.（2）由，得.則，令則，①當(dāng)時(shí)，，所以在R上為增函數(shù).∵， ∴，使，故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不符合題意.②當(dāng)時(shí)，，，∵恒成立，∴在R上恒增，且故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴，恒成立，∴.③當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，故在上單調(diào)遞增，又，，則，使，故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不符合題意.④當(dāng)時(shí)，由，不符合題意綜上，a的取值范圍{1}. 

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