2022-2023學年江西省彭澤縣第二高級中學高二下學期5月期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．直線x－y＝0 的傾斜角為(　　)A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【詳解】分析：根據(jù)直線的傾斜角與直線的斜率有關(guān)，故可先求出直線斜率再轉(zhuǎn)化為傾斜角即可.詳解：直線x－y＝0  的斜率為1，設(shè)其傾斜角為α，則0°≤α＜180°，由tanα＝1，得α＝45°，故選B.點睛：考查直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系，正確計算斜率為解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題2．函數(shù)在上的平均變化率為（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平均變化率的公式，計算出平均變化率.【詳解】平均變化率為.故選：D.3．若數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，且，則 （  ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又，從而得到結(jié)果.【詳解】解：∵數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，且，∴，∴，∴.故選：D.4．已知，圓：與圓：有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出兩圓的圓心及半徑，由圓與圓有兩個不同的交點，得圓與圓相交，則有，從而可得出答案.【詳解】解：圓圓心，半徑為，圓的圓心，半徑為，因為圓與圓有兩個不同的交點，所以圓與圓相交，所以，即，，所以，解得.故選：C.5．若函數(shù)有極大值和極小值，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出導函數(shù)，再由一元二次方程有兩個不等實根即可得解.【詳解】，根據(jù)題意知方程有兩個不等實根，于是得，整理得，解得或，所以的取值范圍是.故選：C6．已知遞增數(shù)列滿足．若，，則數(shù)列的前2023項和為（    ）A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276【答案】D【分析】根據(jù)，推出，推出數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，由，得，即，由，得，將代入，得，又，所以，，所以數(shù)列的前2023項和為.故選：D7．數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列得，利用裂項求和可得，結(jié)合不等式的性質(zhì)代入求解即可得答案.【詳解】因為數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，所以，則，所以，則，不等式整理得，當時，左邊，右邊，顯然不滿足不等式；當時，左邊，右邊，顯然滿足不等式；且當時，左邊，右邊，則不等式恒成立；故當不等式成立時的最小值為9.故選：B.8．已知，且滿足，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】變形給定的等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探討單調(diào)性，借助單調(diào)性比較大小作答.【詳解】由，得，由，得，由，得，令函數(shù)，顯然，求導得，當時，，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，于是，即有，而，所以.故選：B【點睛】思路點睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用. 二、多選題9．下列求導正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AD【分析】根據(jù)求導公式分別檢驗各項即可得出結(jié)果.【詳解】對于，的導數(shù)為，故選項正確；對于，的導數(shù)為，故選項錯誤；對于，的導數(shù)為，故選項錯誤；對于，的導數(shù)為，故選項正確，故選：AD.10．從正方體的8個頂點中任選4個不同頂點，然后將它們兩兩相連，可組成空間幾何體．這個空間幾何體可能是（    ）A．每個面都是直角三角形的四面體；B．每個面都是等邊三角形的四面體；C．每個面都是全等的直角三角形的四面體；D．有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體．【答案】ABD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)和四面體的特征，結(jié)合圖形逐個分析判斷即可【詳解】對于A，每個面都是直角三角形的四面體，如：E﹣ABC，所以A正確；對于B，每個面都是等邊三角形的四面體，如E﹣BGD，所以B正確；對于C，若四面體的每個面都是全等的直角三角形，則必有直角邊等于斜邊，而這樣的直角三角形不存在，所以C錯誤；對于D，有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體，如：A﹣BDE，所以D正確；故選：ABD．11．已知曲線C的方程為，則（    ）A．當時，曲線C是半徑為2的圓B．存在實數(shù)k，使得曲線C的離心率為的雙曲線C．當時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為D．“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要不充分條件【答案】ACD【分析】根據(jù)曲線C的方程，由圓、橢圓和雙曲線的標準方程，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，曲線C的方程為，當時，曲線C為，曲線C為圓，半徑為2，所以A正確；使得曲線C為離心率為的雙曲線，可得，方程無解，所以B不正確；當時，曲線C為，表示焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，所以C正確；當時，曲線C為橢圓，焦點坐標在x軸上；當，曲線表示焦點坐標在y軸上的橢圓，所以“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”可知“”，反之不成立，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要不充分條件，所以D正確.故選：ACD12．已知， 數(shù)列滿足 ， 且對一切， 有，則（    ）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．的前項和為 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)推出，判斷出是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，進而利用公式判斷出BCD正確.【詳解】由題意可得，，，，即不是等比數(shù)列，故A錯誤；，，，，是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故B正確；的前項和為，故C正確；，則，故D正確；故選：BCD. 三、填空題13．已知，則直線必過定點      .【答案】【分析】利用消元法可得直線即為，據(jù)此可求定點坐標.【詳解】解：因為，故，故直線即為，整理得到，由可得，故定點為.故答案為：14．曲線在點處的切線方程為      .【答案】【分析】求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，當時，，則曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.15．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是       ．【答案】【分析】對求導，利用在上恒成立即可得到答案.【詳解】，由題意，在上恒成立，即對上恒成立，即對上恒成立，又，所以故答案為：16．若，設(shè)表示的整數(shù)部分，表示的小數(shù)部分，如，．已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，，且，則        ．【答案】/【分析】根據(jù)， 表示的含義，即可代入求解 ，通過規(guī)律即可歸納求解.【詳解】由得，，，依次類推知，所以，故答案為： 四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【答案】(1)；(2)，. 【分析】（1）利用導數(shù)幾何意義即可求得曲線在點處的切線方程；（2）利用導數(shù)即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【詳解】（1），則則，又，則曲線在點處的切線方程為，即（2），則，由可得或，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.18．已知，分別是正方形邊，的中點，交于，垂直于所在平面．(1)求證：平面．(2)若，，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接交于，分別證得和，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求得平面的法向量和向量，結(jié)合距離公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，連接交于，因為是正方形邊，的中點，，所以，又因為垂直于所在平面，平面，所以，因為且平面，所以平面．（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，則，，，，可得，，設(shè)平面的法向量，則，令時，可得，所以又因為向量，則點到面的距離.19．為了研究學生每天整理數(shù)學錯題的情況，某課題組在某市中學生中隨機抽取了100名學生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學成績和平時整理數(shù)學錯題情況，并繪制了下列兩個統(tǒng)計圖表，圖1為學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖，圖2為學生一個星期內(nèi)整理數(shù)學錯題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學成績在110分及以上視為優(yōu)秀，將一個星期有4天及以上整理數(shù)學錯題視為“經(jīng)常整理”，少于4天視為“不經(jīng)常整理”. 已知數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中，經(jīng)常整理錯題的學生占.   數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀合計經(jīng)常整理   不經(jīng)常整理   合計   (1)求圖1中的值；(2)根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補全上方列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析數(shù)學成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題是否有關(guān)?(3)用頻率估計概率，在全市中學生中按“經(jīng)常整理錯題”與“不經(jīng)常整理錯題”進行分層抽樣，隨機抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2人進行座談.求這2名同學中經(jīng)常整理錯題且數(shù)學成績優(yōu)秀的人數(shù)恰為1人的概率.附：【答案】(1)；(2)有關(guān)(3) 【分析】（1）根據(jù)頻率值和等于1可以求得的值；（2）根據(jù)題意完成列聯(lián)表，計算，即可得相關(guān)結(jié)論；（3）根據(jù)超幾何分布和條件概率的相關(guān)公式即可解決.【詳解】（1）由題意可得，解得；（2）數(shù)學成績優(yōu)秀的有人，不優(yōu)秀的人人，經(jīng)常整理錯題的有人，不經(jīng)常整理錯題的是人，經(jīng)常整理錯題且成績優(yōu)秀的有人，則 數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀合計經(jīng)常整理352560不經(jīng)常整理152540合計5050 100零假設(shè)為：數(shù)學成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為數(shù)學成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于；（3）由分層抽樣知，隨機抽取的5名學生中經(jīng)常整理錯題的有3人，不經(jīng)常整理錯題的有2人，則（為經(jīng)常整理數(shù)學錯題且數(shù)學成績優(yōu)秀的人數(shù)）可能取為0，1，2，經(jīng)常整理錯題的3名學生中，恰抽到人記為事件，則參與座談的2名學生中經(jīng)常整理錯題且數(shù)學成績優(yōu)秀的恰好抽到人記為事件則，，，.20．已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，的前n項和分別為，.若的公差為整數(shù)，且，求.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的通項公式和等比中項的應用求出，即可求出；（2）根據(jù)題意，由（1）可得，根據(jù)等差數(shù)列前n項求和公式計算可得，則，利用裂項相消求和法計算即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，∴，∵，，成等比，∴，即，得，解得或，∴當時，；當時，；∴或.（2）因為等差數(shù)列的公差為整數(shù)，由（1）得，所以，則，∴.∴.21．已知橢圓的離心率為，且點在C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)C的左頂點為P，點A，B為C上與P不重合的兩點，且，證明：直線恒過定點.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由離心率和過的點建立方程組求解即可；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓，求出，再結(jié)合即可求出定點.【詳解】（1）由題意知：，解得，故C的方程為；（2）由題意知，，直線的斜率不為0，設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程有，化簡得，設(shè)，則，則，，由可得，即，化簡得，即，化簡得，解得或，又點A，B與P不重合，故，即直線：，恒過點.22．已知函數(shù)，，其中.（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程在(為自然對數(shù)的底數(shù))上存在唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】求導，利用導函數(shù)不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；方程等價變形，構(gòu)造函數(shù)，對參數(shù)進行討論，利用單調(diào)性和函數(shù)零點得解.【詳解】（1）當時，則當時，，為減函數(shù)當時，，為增函數(shù)故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）∵，∴即；令，由題意得只需函數(shù)在上有唯一的零點；又，其中，①當時，恒成立，單調(diào)遞增，又，則函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點；②當時，恒成立，單調(diào)遞減，又，則函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點；③當時，當時，，單調(diào)遞減，又，∴，則函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點；當時，，單調(diào)遞增，則當時，在上沒有零點，符合題意，即，解得：，∴當時，在上沒有零點，此時函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點；所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間及研究方程根個數(shù)求解參數(shù)，屬于難題. 

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