2022-2023學(xué)年江西省湖口中學(xué)高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合， 則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合交集運(yùn)算求解即可；【詳解】因?yàn)?/span>，所以．故選：C.2．在等差數(shù)列中，，，則=（    ）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的基本量計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則故選：C3．已知等比數(shù)列中，，，則（    ）A．9 B． C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于，可得，，所以，故選:A4．下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可知選項(xiàng)A、B、D是正確的；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤.故選：C.5．平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為1，，則的長(zhǎng)度為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由為平行六面體，可知為體對(duì)角線，由向量的模長(zhǎng)公式即可求得.【詳解】 故選：B6．已知直線l：與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，動(dòng)直線：和：交于點(diǎn)P，則的面積的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)所過定點(diǎn)和位置關(guān)系可得點(diǎn)P軌跡方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)間的距離公式可得面積最小值.【詳解】根據(jù)題意可知，動(dòng)直線過定點(diǎn)，動(dòng)直線：，即過定點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以無(wú)論m取何值，都有，所以點(diǎn)P在以OB為直徑的圓上，且圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，則點(diǎn)P的軌跡方程為，圓心到直線l的距離為，則P到直線l的距離的最小值為．由題可知，，則，所以的面積的最小值為．故選：B  7．我國(guó)的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方，《洛書》上的圖案由個(gè)黑白圓點(diǎn)分別組合，擺成方形，南西東北分別有個(gè)點(diǎn)，四角各有個(gè)點(diǎn)，中間有個(gè)點(diǎn)，簡(jiǎn)化成如圖的方格，填好數(shù)字后各行、各列以及對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)字之和都等于15．推廣到一般情況，將連續(xù)的正整數(shù)填入的方格中，使得每行、每列以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，這樣一個(gè)階幻方就填好了，記階幻方對(duì)角線上的數(shù)字之和為，則的值為（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出階幻方中所有數(shù)字之和，再除以得對(duì)角線上的數(shù)字之和，再令可得結(jié)果.【詳解】階幻方由填入得到，填入的數(shù)字之和為，又因?yàn)?/span>階幻方每行、每列以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，所以對(duì)角線上的數(shù)字之和為，當(dāng)時(shí)，代入可得，故選：C．8．若關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，且對(duì)恒成立，設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再分和兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的取值情況及單調(diào)性，分別計(jì)算可得.【詳解】由題意可知，，即對(duì)恒成立．設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．①在上，若恒成立，即，；②在上，若，則恒成立，即恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理． 二、多選題9．可能把直線作為切線的曲線是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?/span>，則，令，解得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?/span>，則，又因?yàn)?/span>，則方程無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?/span>，則，令，解得，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?/span>，則，令，解得，故D正確；故選：ACD.10．已知數(shù)列滿足，則（    ）A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為C．為單調(diào)遞減數(shù)列D．的前n項(xiàng)和【答案】BCD【分析】，則得到為等差數(shù)列，即可判斷A，求出其通項(xiàng)，即可判斷A，利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷C，利用等差數(shù)列的前和公式即可判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>，所以是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，即，故選項(xiàng)B正確；根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)C正確；的前項(xiàng)和，故選項(xiàng)D正確,故選：BCD.11．拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），，為垂足，，為垂足，則下列說法正確的是（    ）A．若以為圓心，為半徑的圓與相交于和，則是等邊三角形B．若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是4C．D．兩條直線，的斜率之和為定值【答案】AD【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑即可判斷A,又三點(diǎn)共線即可判斷B,利用聯(lián)立方程和韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式即可求解CD.【詳解】因?yàn)橐?/span>為圓心，為半徑的圓與相交于和兩點(diǎn)，所以，又，所以為等邊三角形，故A正確；  因?yàn)?/span>，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)成立，所以當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值3，故B錯(cuò)誤；  設(shè)直線的方程是，代入并消去得，設(shè)，，則，.由，，得，所以，即，故C錯(cuò)誤；，，所以 ，故D正確.故選：AD.  12．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．恒有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)B．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是C．若，則直線與的圖象有2個(gè)不同的公共點(diǎn)D．若，則有6個(gè)不同的零點(diǎn)【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，然后可得極值點(diǎn)，可判斷A；根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)即可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，作圖分析可判斷C；先解方程，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】由題可知，因?yàn)?/span>，所以恒有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根，，不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以恒有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的，恒成立，所以，解得a≥1，故B錯(cuò)誤；若，則，解得，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以直線與的圖象有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，故C正確；    若，則，，因?yàn)?/span>，所以的3個(gè)零點(diǎn)為，0，，又，且，所以當(dāng)分別為，0，時(shí)，均有2個(gè)不同的x的值與其對(duì)應(yīng)，所以有6個(gè)不同的零點(diǎn)，故D正確．故選：ACD 三、填空題13．已知函數(shù)，則             ．【答案】【分析】先求出，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求解.【詳解】.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.故答案為：.14．已知隨機(jī)變量，則        ．【答案】4【分析】利用二項(xiàng)分布的方差公式求出，然后再利用其性質(zhì)可求出.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，所以.故答案為：4.15．已知直線是雙曲線（）的一條漸近線，則的離心率為      .【答案】【分析】根據(jù)漸近線方程得到，然后代入離心率公式求解.【詳解】因?yàn)橹本€是雙曲線的一條漸近線，所以，所以C的離心率為.故答案為：16．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和      .【答案】【分析】變形給定的等式，利用數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】數(shù)列中，由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，而滿足上式，因此，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：裂項(xiàng)法求和，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的． 四、解答題17．在遞增的等比數(shù)列中，，，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出的首項(xiàng)、公比即可作答.（2）利用分組求和法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和作答.【詳解】（1）由，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，得，因此數(shù)列的公比，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）得，，.18．新能源汽車是中國(guó)戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)之一，政府高度重視新能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展．某企業(yè)為了提高新能源汽車品控水平，需要監(jiān)控某種型號(hào)的汽車零件的生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)過程．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機(jī)抽取100件，測(cè)得該零件的質(zhì)量差（這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的絕對(duì)值）的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表．質(zhì)量差（單位：mg）5667707886件數(shù)（單位：件）102048193(1)求樣本平均數(shù)的值；根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，得到該零件的質(zhì)量差近似服從正態(tài)分布，其中，用樣本平均數(shù)作為的近似值，求概率的值；(2)若該企業(yè)有兩條生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率的兩倍．若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.015，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.018，將這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)出來的零件混放在一起，這兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)廢品相互獨(dú)立．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機(jī)抽取一件，求該零件為廢品的概率．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由平均數(shù)的計(jì)算，即可由正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率，（2）根據(jù)全概率公式即可求解.【詳解】（1）．，，得：（2）設(shè)“隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的該零件為廢品”，“隨機(jī)抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，“隨機(jī)抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，則，，又，，于是．19．如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，且，為的中點(diǎn)，．  (1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，則可得∥，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由已知條件可證得兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面與平面的法向量，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：連接與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面；（2）解：因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，所以，因?yàn)?/span>，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，所以，因?yàn)?/span>，，，所以，所以，所以兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?/span>，，，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的法向量，因?yàn)?/span>，所以，令，則，設(shè)平面與平面的夾角為（），則，即平面與平面的夾角的余弦值為.  20．已知橢圓C：的焦距為，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)已知，E為直線上一縱坐標(biāo)不為0的點(diǎn)，且直線DE交C于H，G兩點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)條件，求，再結(jié)合公式，即可求解橢圓方程；（2）首先設(shè)直線DE的方程為，與直線和橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式，表示和，利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明，再代入韋達(dá)定理，即可證明.【詳解】（1）設(shè)C的半焦距為c（）.由已知得，，又由，解得，.所以橢圓C的方程為；（2）設(shè)直線DE的方程為，則.將代入，得.設(shè)H，G的坐標(biāo)分別為，，則，，.，，要證，只要證，即要證.即要證，即要證（*）.因?yàn)?/span>，所以（*）式成立，所以成立.以成立.  21．已知數(shù)列滿足：，，且．(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）時(shí)可確定數(shù)列為等比數(shù)列，由此解方程組求得公比，即得答案.（2）由推得是公比為的等比數(shù)列，求得通項(xiàng)公式為，利用累乘法求得，利用條件求得k的值，即可求得答案.【詳解】（1）由得，，所以，又且，所以，因此，所以數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，依題意得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由可知，有，否則，無(wú)意義；依題意得，則有，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，所以①，將代入①式得，將和代入上式并化簡(jiǎn)得，解得②，將代入①式得，由得，將②式代入上式得，整理③，由得，將②式和代入上式，化簡(jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.22．已知函數(shù)．(1)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）先將有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同實(shí)根，分離參數(shù)得，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，可得的取值范圍；（2）先將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值大于或等于0，進(jìn)而求的取值范圍.【詳解】（1）由，得，因?yàn)?/span>有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，即方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令，則，知時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，則時(shí)，取得極小值，也即為最小值，且時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，故，即時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為，．可知時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，即，分別為的極大值和極小值點(diǎn)．所以有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是．（2）令，原不等式即為，可得，，，令，則，又設(shè)，則，時(shí)，，可知在單調(diào)遞增，若，有，，則；若，有，則，所以，，，則即單調(diào)遞增，①當(dāng)即時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，恒成立，則符合題意．②當(dāng)即時(shí)，，，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以，與題意不符，綜上所述，a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若恒成立，則；若恒成立，則. 

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