2022-2023學(xué)年河南省洛陽市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．若，則（    ）A．2 B．1 C． D．-1【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】由，所以，所以，故選：C2．已知隨機變量，若，則（    ）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】由可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為,故由對稱性可知，因此,故選：B3．已知兩條直線：，：，若，則（    ）A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0【答案】D【分析】由可得解得或或，代入檢驗即可得出答案.【詳解】：，：，若，則，即，解得：或或，當(dāng)時，：，：，則；當(dāng)時，：，：，則；當(dāng)時，：，：，則與重合，舍去；故選：D.4．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】可知每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)即可求出.【詳解】解：設(shè)頂層的燈數(shù)是，則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，所以，由題可得，解得，所以，塔的頂層的燈數(shù)是3.故選：A.5．已知隨機變量X的分布列為：X1234P0.10.20.30.4則（    ）A．1 B．3 C．4 D．9【答案】C【分析】由均值和方差的公式求出，再由方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】，，所以.故選：C.6．已知直線與拋物線交于A，B兩點，若D為線段AB的中點，O為坐標(biāo)原點，則直線OD的斜率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點差法以及兩點斜率公式可得，即可求解.【詳解】設(shè),則，相減得，由于,所以，所以,將其代入中可得，所以 ,故,故選：C7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，參變分離，可將原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再由配方法，即可得解．【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：A．8．某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.5；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.9．請問王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率是（    ）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.45【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記事件表示“第1 天去餐廳用餐”，事件表示“第1天去餐廳用餐”，事件表示“第2 天去餐廳用餐”，由題意得，,所以由全概率公式得王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為,故選：B9．已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（    ）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】分別求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求得，結(jié)合圖象，得，即可求解.【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，可得圓心距，如圖，，所以，當(dāng)共線時，取得最小值，故的最小值為.  故選：B10．平面內(nèi)有兩組平行線，一組有6條，另一組有8條，這兩組平行線相交，由這些平行線可以構(gòu)成平行四邊形的個數(shù)為（    ）A．14 B．48 C．91 D．420【答案】D【分析】根據(jù)題中條件，從這兩組直線中各選兩條直線，即可構(gòu)成平行四邊形，由分步乘法計數(shù)原理，即可得出結(jié)果.【詳解】因為平面內(nèi)有兩組平行線，一組有6條，另一組有8條，且這兩組平行線相交，因此從這兩組直線中各選兩條直線，即可構(gòu)成平行四邊形，所以構(gòu)成不同的平行四邊形個數(shù)為.故選：D.11．設(shè)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且．若（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)a的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解不等式.【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則，即，所以，得.故選：A12．已知雙曲線（，）的離心率，是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點是雙曲線上異于的動點，直線的斜率分別為，，若，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用離心率求出之間的關(guān)系，設(shè)出坐標(biāo)代入雙曲線方程，結(jié)合的范圍即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，在雙曲線（，）中，離心率，∵，解得：，∴，是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點是雙曲線上異于的動點，設(shè)，∴，解得：，∵直線的斜率分別為，，且 ，∴，∴故選：B.   二、填空題13．將5名大學(xué)生分配到4個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村干部，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有          種（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】先將5名大學(xué)生分成4組，再將4組分派到4個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，結(jié)合分步計數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，先將5名大學(xué)生分成4組，共有種不同的分法，再將4組分派到4個鄉(xiāng)鎮(zhèn)當(dāng)村干部，有種分派方式，結(jié)合分步計數(shù)原理，共有不同的分配方案.故答案為：.14．投擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點或6點時，就說這次試驗成功，記在30次試驗中成功的次數(shù)為X，則      ．【答案】10【分析】由隨機變量X服從于二項分布，利用期望公式求解.【詳解】由題意,成功概率為，，所以.故答案為：10.15．已知數(shù)列的首項，且滿足．若，則n的最大值為      ．【答案】15【分析】應(yīng)用等差數(shù)列定義得出等差數(shù)列,根據(jù)差數(shù)列通項公式及求和公式求解計算即得.【詳解】因為，所以，即，且，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.可求得，所以，即且單調(diào)遞增,.則n的最大值為15.故答案為:15.16．已知正方體的棱長為，（），現(xiàn)有如下四個命題：①，都有；②，都存在使得；③，使得；④的最小值為．其中所有真命題的序號是      ．【答案】①②③【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷①③；利用空間向量的坐標(biāo)運算可判斷②；將側(cè)面與面延展至同一平面，分析可知當(dāng)點、、共線時，取最小值，求出的最小值，可判斷④.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，  因為正方體的棱長為，（），則、、、、、、、、.對于①，，，，，①對；對于②，，，，都存在，使得，則，由可得，可得，合乎題意，②對；對于③，，，若，使得，則，解得，合乎題意，③對；對于④，在正方體中，平面，因為平面，則，又因為且，故四邊形為矩形，且，易知四邊形為正方形，將側(cè)面與面延展至同一平面，如下圖所示：  當(dāng)點、、共線時，取最小值，且，當(dāng)且僅當(dāng)點、、共線時，等號成立，故的最小值為，④錯.故答案為：①②③. 三、解答題17．在（）的展開式中，第2項、第3項、第4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求n的值；(2)求展開式中的第7項．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意得到，再解方程即可；（2）根據(jù)二項式的通項求解即可.【詳解】（1）第2項、第3項、第4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，即構(gòu)成等差數(shù)列.所以，即，且，.整理，得，解得或（舍去）.（2），令，則，故展開式中的第7項為.18．已知是等比數(shù)列，前n項和為，且.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若對任意的是和的等差中項，求數(shù)列的前2n項和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）求等比數(shù)列通項，一般利用待定系數(shù)法：先由，解得，分別代入，得，；（Ⅱ）先根據(jù)等差中項得，再利用分組求和法求和：.試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列的公比為，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.（Ⅱ）解：由題意，得，即是首項為，公差為的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項和為，則.【解析】等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前項和公式【名師點睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和．（2）通項公式為的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． 19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，且直線PB與CD所成角的大小為．  (1)求BC的長；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)2(2) 【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由已知求得，，，的坐標(biāo)，再由直線與所成角大小為列式求得值，則的坐標(biāo)可求，即可求得的長；（2）分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．【詳解】（1）由于平面ABCD，，所以兩兩垂直，故分別以,,所在直線為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，,0,，,0,，,1,，,0,．設(shè),,，則,0,，,,．直線與所成角大小為，，即，解得或（舍，,2,，則的長為2；（2）設(shè)平面的一個法向量為,,．,0,，,1,，,，令，則，，,1,．平面的一個法向量為， ，令，則，，,，由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．  20．已知圓，點是圓上的動點，是拋物線的焦點，為的中點，過作交于，記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過的直線交曲線于點、，若的面積為（為坐標(biāo)原點），求直線的方程．【答案】(1)(2)或或 【分析】（1）分析可知曲線是以點、為焦點的橢圓，確定、、的值，結(jié)合橢圓焦點的位置可得出曲線的軌跡方程；（2）分析可知直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合韋達(dá)定理以及三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由題意可得，且為線段的垂直平分線，所以，，因為，所以，點的軌跡是以點、為焦點的橢圓，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，則，因此，曲線的軌跡方程為.（2）解：若直線與軸重合，則、、三點共線，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，設(shè)點、，則，，則，所以，，解得或，故直線的方程為或或.21．第40屆中國洛陽牡丹文化節(jié)以“花開洛陽、青春登場”為主題，緊扣“顛覆性創(chuàng)意、沉浸式體驗、年輕化消費、移動端傳播”，組織開展眾多文旅項目，取得了喜人的成績，使洛陽成為最熱門的全國“網(wǎng)紅打卡城市”之一．其中“穿漢服免費游園”項目火爆“出圈”，倍受廣大游客喜愛，帶火了以“夢里隋唐盡在洛邑”為主的漢服體驗活動為了解漢服體驗店廣告支出和銷售額之間的關(guān)系，在洛陽洛邑古城附近抽取7家漢服體驗店，得到了廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下：體驗店ABCDEFG廣告支出/萬元3468111516銷售額/萬元6101517233845對進入G體驗店的400名游客進行統(tǒng)計得知，其中女性游客有280人，女性游客中體驗漢服的有180人，男性游客中沒有體驗漢服的有80人．(1)請將下列2×2列聯(lián)表補充完整，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為體驗漢服與性別有關(guān)聯(lián)；性別是否體驗漢服合計體驗漢服沒有體驗漢服女180 280男 80 合計  400(2)設(shè)廣告支出為變量x（萬元），銷售額為變量y（萬元），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此說明可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（若，則線性相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合）；(3)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測廣告支出為18萬元時的銷售額（精確到0.1）．附：參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，，相關(guān)系數(shù)，在線性回歸方程中中，，．，．0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)見解析(2)與有較強的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型擬合，說明答案見解析；(3)，并預(yù)測廣告支出為18萬元時的銷售額為萬元． 【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得列聯(lián)表，根據(jù)公式計算可認(rèn)為體驗漢服與性別之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過.（2）由題中數(shù)據(jù)及公式計算相關(guān)系數(shù)，即可作出判斷；（3）由題中數(shù)據(jù)及（1）中結(jié)果計算出，即可得出關(guān)于的回歸方程，再把代入即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意，列聯(lián)表完成如下：性別是否體驗漢服合計體驗漢服沒有體驗漢服女180100280男4080120合計220180400假設(shè)為：性別與體驗漢服之間無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立.即認(rèn)為體驗漢服與性別之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過.（2）由數(shù)據(jù)可知，因為，，，因為，所以線性相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.（3）由數(shù)據(jù)及公式可得：，，故關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，當(dāng)萬元時，銷售額預(yù)計為萬元.22．已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，（），求的范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，（2）根據(jù)函數(shù)有兩個不相等的極值點得到，故，變形得到函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到的值域，得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，，所以，，故曲線在點處的切線方程為．（2）若在定義域內(nèi)有兩個極值點，則是方程即的兩個不相等的正根，從而得到，即，又，故，且 令，則，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即的值域為，所以的范圍是. 

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