第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于極軸所在直線對稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 下列可以作為直線參數(shù)方程的是（ ）
A. （為參數(shù)）B. （為參數(shù)）
C. （為參數(shù)）D. （為參數(shù)）
【答案】B
3. 在各項(xiàng)為正的遞增等比數(shù)列中，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4. 在用最小二乘法進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，有下列說法：
①由樣本數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程必過樣本點(diǎn)的中心；
②由樣本點(diǎn)，，…，得到回歸直線，則這些樣本點(diǎn)都在回歸直線上；
③利用來刻畫回歸的效果，比的模型回歸效果好；
④殘差圖中的殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，寬度越窄，則說明模型擬合精度越低；
其中正確的結(jié)論是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】B
5. 使得成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6. 曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則曲線的離心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7. 南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中創(chuàng)用了“三斜求積術(shù)”，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”翻譯一下這段文字，即已知三角形的三邊長，可求三角形的面積為.若中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，，則用“三斜求積術(shù)”求得的面積為（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
8. 已知，，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
9. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】A
10. 觀察下列算式：
……
若某數(shù)按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2021”這個(gè)數(shù)，則（ ）
A. 42B. 43C. 44D. 45
【答案】D
11. 過拋物線的焦點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，則（ ）
A. 3B. 9C. D.
【答案】D
12. 函數(shù)在內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若實(shí)數(shù)，滿足不等式，則的最大值為______.
【答案】3
14. 關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集為，則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第______象限.
【答案】三
15. 在極坐標(biāo)系中，直線和圓交于、兩點(diǎn)，則______.
【答案】
16. 若時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，，.
（1）求的值；
（2）且，求正實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）；（2）.
18. 已知數(shù)列首項(xiàng)，且滿足，令.
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列中的最小項(xiàng).
【答案】（1）證明見解析；（2）-3.
19. 某學(xué)校針對“學(xué)生的網(wǎng)上購物熱現(xiàn)象”，對“喜歡網(wǎng)上購物和學(xué)生性別是否有關(guān)”進(jìn)行了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡網(wǎng)上購物的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡網(wǎng)上購物人數(shù)占女生人數(shù)的，設(shè)男生人數(shù)為.
（1）作出列聯(lián)表；
（2）若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜歡網(wǎng)上購物和性別有關(guān)，則男生至少有多少人?
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
【答案】（1）表格見解析；（2）12人 .
20. 已知曲線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）.
（1）化，的參數(shù)方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若上點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，中點(diǎn)為，求點(diǎn)到直線（為參數(shù)）距離的最小值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1），曲線表示為圓心，1為半徑的圓，，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；（2），點(diǎn)坐標(biāo)為.
21. 已知橢圓，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，左，右焦點(diǎn)分別為，，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.
【答案】（1）；（2）.
22. 已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
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