一、選擇題
1．若,則( )
A.2B.1C.D.-1
2．已知隨機變量,若,則( )
A.0.2B.0.4C.0.6D.0.7
3．已知兩條直線,,若,則( )
A.或0或3B.或3C.0或3D.或0
4．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A.3盞B.7盞C.9盞D.11盞
5．已知隨機變量X的分布列為:
則( )
A.1B.3C.4D.9
6．已知直線與拋物線交于A,B兩點,若D為線段AB的中點,O為坐標原點,則直線OD的斜率為( )
A.B.C.D.
7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
8．某學校有A,B兩家餐廳,王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.5;如果第1天去B餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.9.請問王同學第2天去A餐廳用餐的概率是( )
A.0.8B.0.7C.0.6
9．已知點P為直線上的一點,M,N分別為圓與圓上的點,則的最小值為( )
A.5B.3C.2D.1
10．平面內(nèi)有兩組平行線,一組有6條,另一組有8條,這兩組平行線相交,由這些平行線可以構成平行四邊形的個數(shù)為( )
A.14B.48C.91D.420
11．設是定義在R上的函數(shù)的導函數(shù),且.若(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
12．已知雙曲線(,)的離心率,A,B是雙曲線上關于原點對稱的兩點,點P是雙曲線上異于A,B的動點,直線PA,PB的斜率分別為,,若,則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．將5名大學生分配到4個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村干部,每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案有__________種(用數(shù)字作答).
14．投擲一枚骰子,當出現(xiàn)5點或6點時,就說這次試驗成功,記在30次試驗中成功的次數(shù)為X,則______.
15．已知數(shù)列的首項,且滿足.若,則n的最大值為______.
16．已知正方體的棱長為2,(),現(xiàn)有如下四個命題:
①,都有;
②,都存在使得;
③,使得;
④的最小值為.
其中所有真命題的序號是______.
三、解答題
17．在的展開式中,第2項,第3項,第4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列.
（1）求n的值;
（2）求展開式中的第7項.
18．已知是等比數(shù)列,前n項和為,且,.
（1）求通項公式;
（2）若對任意的,是和的等差中項,求數(shù)列的前2n項和.
19．如圖,在四棱錐中,平面ABCD,,,,且直線PB與CD所成角的大小為.
（1）求BC的長;
（2）求二面角的余弦值.
20．已知圓,點P是圓S上的動點,T是拋物線的焦點,Q為PT的中點,過Q作交PS于G,設點G的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程;
（2）過的直線l交曲線C于點M,N,若的面積為(O為坐標原點),求直線l的方程.
21．第40屆中國洛陽牡丹文化節(jié)以“花開洛陽、青春登場”為主題，緊扣“顛覆性創(chuàng)意、沉浸式體驗、年輕化消費、移動端傳播”，組織開展眾多文旅項目，取得了喜人的成績，使洛陽成為最熱門的全國“網(wǎng)紅打卡城市”之一.其中“穿漢服免費游園”項目火爆“出圈”，備受廣大游客喜愛，帶火了以“夢里隋唐盡在洛邑”為主的漢服體驗活動為了解漢服體驗店廣告支出和銷售額之間的關系，在洛陽洛邑古城附近抽取7家漢服體驗店，得到了廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下：
對進入G體驗店的400名游客進行統(tǒng)計得知，其中女性游客有280人，女性游客中體驗漢服的有180人，男性游客中沒有體驗漢服的有80人.
（1）請將下列2×2列聯(lián)表補充完整，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為體驗漢服與性別有關聯(lián)；
（2）設廣告支出為變量x（萬元），銷售額為變量y（萬元），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算相關系數(shù)r，并據(jù)此說明可用線性回歸模型擬合y與x的關系（若，則線性相關程度很強，可用線性回歸模型擬合）；
（3）建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測廣告支出為18萬元時的銷售額（精確到0.1）.
附：參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，，
相關系數(shù)，
在線性回歸方程中中，，.
，.
22．已知函數(shù)(a為常數(shù)).
（1）當時,求曲線在點處的切線方程;
（2）設函數(shù)的兩個極值點分別為,(),求的范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：由,所以,
所以,
故選:C
2．答案：B
解析：由可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為,故由對稱性可知,
因此,
故選:B
3．答案：D
解析：,,
若,則,即
,解得:或或,
當時,,,則;
當時,,,則;
當時,,,則與重合,舍去;
故選:D.
4．答案：A
解析：設塔的頂層共有盞燈，
則數(shù)列公比為2的等比數(shù)列，
，
解得，
即塔的頂層共有燈3盞.
故選：A．
5．答案：C
解析：,
,
所以.
故選:C.
6．答案：C
解析：設,,則,相減得,
由于,所以,
所以,將其代入中可得,
所以,故,
故選:C
7．答案：A
解析：因為在上單調(diào)遞增,
所以在上恒成立,即在上恒成立,
而,當且僅當時,等號成立,
所以,
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故選:A.
8．答案：B
解析：記事件表示“第1天去餐廳用餐”,事件表示“第1天去餐廳用餐”,事件表示“第2天去餐廳用餐”,
由題意得,,
所以由全概率公式得王同學第2天去A餐廳用餐的概率為
故選:B
9．答案：B
解析：圓與圓的圓心分別為:,,
由題意得的最小值為的最小值,
設關于直線的對稱點為,
則,解得,則,
如圖所示:
當,P,三點共線時,取得最小值,
最小值為,
所以的最小值為,
故選:B
10．答案：D
解析：因為平面內(nèi)有兩組平行線,一組有6條,另一組有8條,且這兩組平行線相交,
因此從這兩組直線中各選兩條直線,即可構成平行四邊形,
所以構成不同的平行四邊形個數(shù)為.
故選:D.
11．答案：A
解析：設,,
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減,
若,則,即,
所以,得.
故選:A
12．答案：B
解析：由題意,
在雙曲線(,)中,離心率,
,解得:,
,
A,B是雙曲線上關于原點對稱的兩點,點P是雙曲線上異于A,B的動點,
設,,,
,解得:,
直線PA,PB的斜率分別為,,且,
,,,
故選:B.
13．答案：240
解析：根據(jù)題意,先將5名大學生分成4組,共有種不同的分法,
再將4組分派到4個鄉(xiāng)鎮(zhèn)當村干部,有種分派方式,
結(jié)合分步計數(shù)原理,共有不同的分配方案.
故答案為:240.
14．答案：10
解析：由題意,成功概率,,所以.
故答案為:10.
15．答案：15
解析：因為,所以,
即,且,
所以數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列.
可求得,
所以,即且單調(diào)遞增,.
則n的最大值為15.
故答案為:15.
16．答案：①②③
解析：以點A為坐標原點,AB,AD,所在直線分別為x,y,z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,
因為正方體的棱長為2,(),
則,,,,,,
,,.
對于①,,,
,,①對;
對于②,,,
,都存在,使得,
則,
由可得,可得,合乎題意,②對;
對于③,,,
若,使得,則,解得,合乎題意,③對;
對于④,在正方體中,平面ABCD,
因為平面ABCD,則,
又因為且,故四邊形為矩形,且,
易知四邊形為正方形,
將側(cè)面與面延展至同一平面,如下圖所示:
當點B,H,共線時,取最小值,
且,
當且僅當點B,H,共線時,等號成立,故的最小值為,④錯.
故答案為:①②③.
17．答案：（1）7
（2）
解析：（1）第2項,第3項,第4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列,即,,構成等差數(shù)列.
所以,即,且,.
整理,得,解得或(舍去).
（2）,
令,則,
故展開式中的第7項為.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）設數(shù)列的公比為q,由已知,有,解得或.又由,知,所以,得,所以.
（2）由題意,得,即是首項為,公差為1的等差數(shù)列.
設數(shù)列的前n項和為,則.
19．答案：（1）2
（2）
解析：（1）由于平面ABCD,,所以AB,AD,AP兩兩垂直,故分別以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
,,,,.
設,則,.
直線PB與CD所成角大小為,
,
即,解得或(舍),
,2,,則BC的長為2;
（2）設平面PBD的一個法向量為.
,,,
,令,則,,.
平面的一個法向量為,
,令,則,,,,
由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角,
二面角的余弦值為.
20．答案：（1）
（2）或或
解析：（1）圓S:,即,
由題意得,,,QG是PT的中垂線,所以,
所以,
所以點G的軌跡是以S,T為焦點的橢圓,設其方程為,焦距為,
則,得,所以曲線C的方程為.
（2）若直線l與x軸重合,則M,O,N三點共線,不合乎題意.
設直線l的方程為,聯(lián)立可得,
則,
設點,,則,,
則,
所以,,
解得或,
故直線l的方程為或或.
21．答案：（1）表見解析，認為體驗漢服與性別之間有關聯(lián).
（2）線性相關程度很強，可用線性回歸模型擬合y與x的關系
（3）47.2萬元
解析：（1）根據(jù)題意，列聯(lián)表完成如下：
假設為：性別與體驗漢服之間無關聯(lián).
根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到
，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立.
即認為體驗漢服與性別之間有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過.
（2）由數(shù)據(jù)可知，
因為，
，
，因為，
所以線性相關程度很強，可用線性回歸模型擬合y與x的關系.
（3）由數(shù)據(jù)及公式可得：，
，
故y關于x的經(jīng)驗回歸方程為，
當萬元時，銷售額預計為萬元.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）當時,,,
所以,,
故曲線在點處的切線方程為.
（2）若在定義域內(nèi)有兩個極值點,則,是方程即的兩個不相等的正根,
從而得到,即,
又,故,且
令,則,
,
所以在上單調(diào)遞減,
所以,即的值域為,
所以的范圍是.
X
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.3
0.4
體驗店
A
B
C
D
E
F
G
廣告支出/萬元
3
4
6
8
11
15
16
銷售額/萬元
6
10
15
17
23
38
45
性別
是否體驗漢服
合計
體驗漢服
沒有體驗漢服
女
180
280
男
80
合計
400
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
性別
是否體驗漢服
合計
體驗漢服
沒有體驗漢服
女
180
100
280
男
40
80
120
合計
220
180
400

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