2023-2024學年新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團第二師八一中學高二上學期8月開學考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知向量，，若，則（    ）A．1 B． C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標表示列式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，解得.故選：A2．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】運用正弦定理求解.【詳解】根據(jù)正弦定理有，得；故選：D.3．已知，若（i為虛數(shù)單位），則的值為（     ）A．3 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等，則實部和虛部分別相等，然后可得.【詳解】因為，，則，所以.故選：B4．下列函數(shù)中，同時滿足：①在上是增函數(shù)；②為奇函數(shù)；③周期為π的函數(shù)有（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷正余弦及正切函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性、最小正周期，即可得答案.【詳解】由在上為減函數(shù)，不符合；由、的最小正周期為，不符合；而滿足題設(shè)三個條件.故選：A5．已知平面向量，滿足，，，則，的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的數(shù)量積及夾角公式計算即可.【詳解】，，設(shè)，的夾角為，則，又， ．故選：C．6．已知，則的值為（    ）A．3 B．－3 C． D．【答案】B【分析】利用兩角和的正切公式求解.【詳解】解：因為，所以，故選：B7．在中，為的中點，為的中點，設(shè)，，則（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形特征進行向量運算即可.【詳解】因為為的中點，為的中點，所以，又因為，，所以.故選：C8．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且，，則（    ）A． B． C．8 D．4【答案】D【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.【詳解】在中，由可得，即所以，因為，所以，且，所以，又，可得，由正弦定理可得．故選：D. 二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則（    ）A．B．C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限D．為純虛數(shù)【答案】BCD【分析】化簡，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義計算即可求解；【詳解】因為，所以故A錯誤；故B正確；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，在第二象限，故 C正確；，為純虛數(shù)，故D正確；故選：BCD10．已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．與共線B．單位向量C．向量在向量上的投影向量為D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)向量共線、單位向量、投影向量和向量垂直的坐標表示依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，不存在實數(shù)，使得，則與不共線，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，在上的投影向量為，C錯誤；對于D，，，D正確.故選：BD.11．為了解學生每天的體育活動時間，某市教育部門對全市高中學生進行調(diào)查，隨機抽取1000名學生每天進行體育運動的時間，按照時長（單位：分鐘）分成6組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組．對統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．頻率分布直方圖中的B．估計1000名學生每天體育活動不少于一個小時的學生人數(shù)為400C．估計1000名學生每天體育活動時間的眾數(shù)是55D．估計1000名學生每天體育活動時間的第25百分位數(shù)為【答案】BC【分析】由頻率之和為1可判斷A；求出學生每天體育活動不少于一個小時的概率即可估計1000名學生每天體育活動不少于一個小時的學生人數(shù)可判斷B；由眾數(shù)的定義可判斷C；由百分位數(shù)的定義求解可判斷D.【詳解】由頻率之和為1得：，解得，故A錯誤；學生每天體育活動不少于一個小時的概率為：，則估計1000名學生每天體育活動不少于一個小時的學生人數(shù)為，故B正確；由頻率分布直方圖可估計1000名學生每天體育活動時間的眾數(shù)是，故C正確；由，，故第25百分位數(shù)位于內(nèi)，則第25百分位數(shù)為.可以估計該市高中學生每天體育活動時間的第25百分位數(shù)約為47.5，故D錯誤.故選：BC.12．下列關(guān)于函數(shù)的表述正確的是（    ）A．函數(shù)的最小正周期 B．是函數(shù)的一條對稱軸C．是函數(shù)的一個對稱中心 D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】ABD【分析】由正弦型函數(shù)周期公式求最小正周期，代入法驗證對稱軸和對稱中心，整體法判斷函數(shù)區(qū)間單調(diào)性.【詳解】最小正周期為，A對；由，故是函數(shù)的一條對稱軸，B對；由，故不是函數(shù)的一個對稱中心，C錯；由，則，故在區(qū)間上是增函數(shù)，D對.故選：ABD 三、填空題13．已知，，則      【答案】【分析】根據(jù)角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系即可得到答案.【詳解】因為，可得，故答案為：.14．已知i是虛數(shù)單位，若，則           .【答案】/【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡可得，，求模即可得出答案.【詳解】，所以，.故答案為：.15．在中，，，面積，則邊長為      ．【答案】或【分析】根據(jù)三角形面積公式求出角，再根據(jù)余弦定理求得.【詳解】，，又，所以或，當時，根據(jù)余弦定理得：，；當時，根據(jù)余弦定理得：，，故答案為：或.16．已知，則      ．【答案】【分析】利用正弦函數(shù)的周期性，誘導(dǎo)公式，求得式子的值.【詳解】，的周期為，，則.故答案為：. 四、解答題17．已知平面向量，的夾角為，且，.(1)求；(2)若與垂直，求實數(shù)的值.【答案】(1)19(2)6 【分析】（1）利用向量數(shù)量積的定義及運算律求結(jié)果即可；（2）根據(jù)向量垂直，結(jié)合數(shù)量積的運算律列方程求參數(shù)即可.【詳解】（1）由，的夾角為，，，則；故；（2）由與垂直，則，故，可得，解得．18．學校對高一年級生物學科水平測試模擬考試的成績進行了統(tǒng)計，隨機抽取了80名學生的成績作為樣本，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻率分布統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率160.2501040.05合計80    (1)求表中，的值和頻率分布直方圖中的值；(2)若要使20%的學生達到優(yōu)秀等次，請預(yù)測優(yōu)秀等次的分數(shù)線．【答案】(1)，，(2)79.6 【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)直接求解；（2）利用頻率分布直方圖求解，即可預(yù)測.【詳解】（1）,,,（2）設(shè)優(yōu)秀等次的分數(shù)線為x，由知在內(nèi)則，∴,∴優(yōu)秀等次的分數(shù)線為79.619．在中，，，.(1)求邊長與；(2)求的面積.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可得解；（2）利用面積公式計算可得.【詳解】（1）因為，，，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），又，所以，利用正弦定理得，即，解得，又，所以；（2）由、、，所以.20．已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)求函數(shù)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)值域為，單調(diào)遞增區(qū)間為 【分析】（1）化簡函數(shù)，結(jié)合最小正周期的計算公式，即可求解；（2）由，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）解：由函數(shù)，當時，即，此時；當時，即，此時，所以函數(shù)的值域為.令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為21．已知函數(shù)的部分圖象如圖．  (1)求的表達式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到曲線，把上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍得到函數(shù)的圖象．若關(guān)于方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由圖可知，求出周期，再利用周期公式求出，然后將代入函數(shù)中可求出的值，從而可求出的表達式；（2）先由三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出的解析式，令，，則將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在有兩個不同的公共點，作出函數(shù)圖象，利用圖象求解即可.【詳解】（1）函數(shù)的周期為，由圖象可得，得所以，所以，因為的圖象經(jīng)過點，所以，解得，得，因為，所以，所以，（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到曲線：，因為再把上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍得到函數(shù)的圖象，所以，因為關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，所以在上有兩個不同的實數(shù)解，令，則，因為，所以，所以，所以，所以只需與的圖象在有兩個不同的公共點，作出在上的簡圖如下，  由圖可知當或時，與的圖象有兩個不同的公共點，所以實數(shù)的取值范圍為22．在條件①，②，③中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足__________．(1)求角的大小；(2)若的面積為，求的值．注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】(1)選①②③均可得到(2) 【分析】（1）選①，由正弦定理和余弦定理求出，得到；選②，由正弦定理結(jié)合得到，得到；選③，由余弦定理和正弦定理得到，得到；（2）由（1）得，結(jié)合三角形面積公式得到，結(jié)合正弦定理得到.【詳解】（1）若選①：因為，所以．由正弦定理得，由余弦定理得，所以，解得．因為，所以．若選②：因為，所以由正弦定理得．整理得，即．又，所以．又因為，所以．又，所以．若選③：在中，由余弦定理，得，所以．因為，所以．由正弦定理，得，所以，即．所以，因為，所以，所以，得．（2）由（1）得，因為的面積為3，所以，所以．因為，所以．又由余弦定理得，所以，所以由正弦定理得．所以，所以． 

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