一、單選題
1．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)相等可求得的方程，解出的值，即可得解.
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)?，則，所以，，解得，
因此，復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：B.
2．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】先求出復(fù)數(shù)z，再求.
【詳解】因?yàn)閕是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，
所以，
所以.
故選：A
3．已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（ ）.
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】向量的垂直用坐標(biāo)表示為，代入即可求出答案.
【詳解】，，
因?yàn)榕c互相垂直，
所以，
所以，
所以.
故選：D.
4．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（ ）
A．0.6B．0.5C．0.3D．0.2
【答案】D
【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求解.
【詳解】.
故選：D.
5．由曲線，直線及y軸所圍成的圖形的面積為（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】C
【解析】由題意畫出圖形，確定積分區(qū)間，利用定積分即可得解.
【詳解】由題意，曲線，直線及y軸所圍成的圖形如圖陰影部分所示：
聯(lián)立方程，可得點(diǎn)，
因此曲線，直線及y軸所圍成的圖形的面積為：
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
6．在正三棱柱中，，點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，則和所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得和所成角的余弦值.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，設(shè)，
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，
因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、
軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
，，
，
因此，和所成角的余弦值為.
故選：A.
7．已知函數(shù)在處有極值10，則（ ）
A．B．0C．或0D．或6
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)在處有極小值10，可得，求出參數(shù)的值，然后再驗(yàn)證，得到答案.
【詳解】由函數(shù)有.
函數(shù)在處有極小值10.
所以，即
解得: 或
當(dāng)時(shí)，
令得或，得
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
顯然滿足函數(shù)在處有極小值10.
當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,不滿足函數(shù)在處有極小值10.
所以
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于，根據(jù)函數(shù)的極小點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的極值求參數(shù)，注意這種試題根據(jù)條件需要借助函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行檢驗(yàn)，是易錯(cuò)題，屬于中檔題.
8．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上兩點(diǎn)，，則的中點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用拋物線的定義和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)點(diǎn)，，
由拋物線的定義可得，
即，則中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
即的中點(diǎn)到軸的距離為，
故選：.
9．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.
【詳解】∵正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，，，，，
，，，
設(shè)平面PEF的法向量，
則，取，得，
設(shè)PB與平面PEF所成角為，
則，
∴PB與平面PEF所成角的余弦值為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】10．已知的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為768，則其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．70B．140C．280D．112
【答案】B
【分析】首先令得到展開式的所有項(xiàng)系數(shù)，再根據(jù)已知條件得出，結(jié)合二項(xiàng)式展開式求特定項(xiàng)系數(shù)即可求解.
【詳解】因?yàn)楦鶕?jù)二項(xiàng)展開式可知
當(dāng)時(shí)，即為展開式中各項(xiàng)系數(shù)和，
所以，解得或
因?yàn)?，所以．即?br>由得，，
令，得（舍），
令2，得，
所以的展開式含的項(xiàng)為．
所以的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.
故選：B．
11．2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)）的成功舉辦，展現(xiàn)了中國(guó)作為一個(gè)大國(guó)的實(shí)力和擔(dān)當(dāng)，“一起向未來(lái)”更體現(xiàn)了中國(guó)推動(dòng)構(gòu)建人類命運(yùn)共同體的價(jià)值追求.該屆冬奧會(huì)分北京、延慶、張家口三個(gè)賽區(qū)，甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分別去這三個(gè)賽區(qū)擔(dān)任志愿者，每個(gè)人只去一個(gè)賽區(qū)，每個(gè)賽區(qū)至少安排1人.學(xué)生甲不被安排到張家口賽區(qū)做志愿者且乙不被安排到延慶賽區(qū)做志愿者的方法數(shù)為（ ）
A．17B．29C．56D．13
【答案】A
【分析】先求出所有可能安排的方法數(shù)，再應(yīng)用間接法求甲不被安排到張家口且乙不被安排到延慶的方法數(shù).
【詳解】由題意，任意安排的方法數(shù)有種，
甲被安排到張家口有種，同理乙被安排到延慶有種，
甲被安排到張家口，同時(shí)乙被安排到延慶有種，
所以甲不被安排到張家口且乙不被安排到延慶的方法數(shù)為種.
故選：A
12．已知函數(shù)的零點(diǎn)為a，函數(shù)的零點(diǎn)為b，則下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)與關(guān)于直線對(duì)稱，畫出圖象，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】由，得，，
因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，
在同一坐標(biāo)系下，畫出，，，的圖象，
如圖所示：
則，，，關(guān)于對(duì)稱.
所以，，故B錯(cuò)誤.
因?yàn)?，，，所以，故A錯(cuò)誤.
因?yàn)?，，在上為增函?shù)，
，，所以.
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且，所以.
，故C正確.
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，在為增函數(shù).
所以，
即，，故D錯(cuò)誤.
故選：C
二、填空題
13．曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為______________．
【答案】
【詳解】設(shè)，則，所以，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
點(diǎn)睛:求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以為切點(diǎn)的切線方程是．若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為．
14．設(shè)隨機(jī)變量，，若，則______.
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可求出；由，利用二項(xiàng)分布概率公式可求得結(jié)果.
【詳解】
本題正確結(jié)果：
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布概率公式、數(shù)學(xué)期望公式的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.
15．已知，若，則_____________．
【答案】1
【分析】首先令，可得的值，分別令，，兩式相減可得所求式子的值.
【詳解】令，可得，所以．
令，得；
令，得，
兩式相減求得．
故答案為：1.
16．已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，若直線的斜率為，則的離心率為______.
【答案】
【分析】由題意可知四邊形為矩形，結(jié)合直線的斜率為，推得，，結(jié)合雙曲線定義即可求得答案.
【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，
則線段與相互平分，
所以四邊形為矩形，若直線的斜率為，且，
則，則，又 ，故，
由定義可知：，可得，
故答案為：
三、解答題
17．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，直線l的方程為.
（1）求A，B兩點(diǎn)間的距離；
（2）求點(diǎn)B到直線l的距離.
【答案】（1）；
（2）2.
【分析】(1)由題意，在中，利用余弦定理求解的長(zhǎng)度即可；
(2)首先確定直線的傾斜角和直線所過的點(diǎn)的極坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)結(jié)合幾何性質(zhì)可得點(diǎn)B到直線的距離.
【詳解】（1）設(shè)極點(diǎn)為O.在△OAB中，A（3，），B（，），
由余弦定理，得AB=.
（2）因?yàn)橹本€l的方程為，
則直線l過點(diǎn)，傾斜角為．
又，所以點(diǎn)B到直線l的距離為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．
(1)求a的值，并估計(jì)這500名學(xué)生一周上網(wǎng)課時(shí)間的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；
(2)按照分層抽樣的方法從網(wǎng)課學(xué)習(xí)時(shí)間在和的學(xué)生中抽取5人，然后從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2名學(xué)生恰好來(lái)自不同組的概率；
(3)為了了解學(xué)生與家長(zhǎng)對(duì)上網(wǎng)課的態(tài)度是否具有差異性，研究人員隨機(jī)抽取了200名家長(zhǎng)與學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中家長(zhǎng)占總?cè)藬?shù)的一半，且不支持上網(wǎng)課的家長(zhǎng)占總?cè)藬?shù)的35％，不支持上網(wǎng)課的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的25％，請(qǐng)將下面列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.5％的把握認(rèn)為學(xué)生與家長(zhǎng)對(duì)網(wǎng)課的態(tài)度具有差異性．
附：，．
【答案】(1)，13.14
(2)
(3)列聯(lián)表見解析，有
【分析】（1）由已知，根據(jù)題意給的頻率分布直方圖先求解出的值，然后設(shè)出中位數(shù)，列方程求解即可；
（2）由已知，先列出從5人中抽取2人的所有情況，然后再列出2人恰好來(lái)自不同組的的情況，然后再利用古典概型計(jì)算方法計(jì)算即可；
（3）由已知，先完成聯(lián)表，然后計(jì)算的觀測(cè)值，然后根據(jù)題意給出的數(shù)據(jù)比較即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，解得．
設(shè)中位數(shù)為x，則可知中位數(shù)位于第三組內(nèi)，
∴，解得，
∴這500名學(xué)生一周上網(wǎng)課時(shí)間的中位數(shù)約為13.14．
（2）按照分層抽樣的方法從網(wǎng)課學(xué)習(xí)時(shí)間在的學(xué)生中抽取2人，設(shè)為A，B，
從網(wǎng)課學(xué)習(xí)時(shí)間在的學(xué)生中抽取3人，設(shè)為a，b，c．
則從5人中抽取2人，有，，，，，，，，，，共10種情況，
其中這2人恰好來(lái)自不同組的有，，，，，，共6情況，
∴所求概率．
（3）補(bǔ)充列聯(lián)表如下所示，
的觀測(cè)值，
∴有99.5％的把握認(rèn)為學(xué)生與家長(zhǎng)對(duì)網(wǎng)課的態(tài)度具有差異性．
19．據(jù)調(diào)查，目前對(duì)于已經(jīng)近視的小學(xué)生，有兩種配戴眼鏡的選擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺時(shí)佩戴的一種特殊的隱形眼鏡（因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度，所以越來(lái)越多的小學(xué)生家長(zhǎng)選擇角膜塑形鏡控制孩子的近視發(fā)展），A市從該地區(qū)小學(xué)生中隨機(jī)抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡的有24人（其中佩戴角膜塑形鏡的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
(1)若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼境，那么，他戴的是角膜塑形鏡的概率懸多大?
(2)從這8名跟角膜塑形鏡的學(xué)生中，選出3個(gè)人，求其中男生人數(shù)的期望與方差；
(3)若將樣本的頻率當(dāng)做估計(jì)總體的概率，請(qǐng)問，從市的小學(xué)生中，隨機(jī)選出20位小學(xué)生，記其中佩戴角膜塑形鏡的人數(shù)為Y，求恰好時(shí)的概率（不用化簡(jiǎn)）及Y的方差.
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1）由條件概率公式計(jì)算即可得解；
（2）由題意可得的所有可能取值分別為：0，1，2，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，從而求出期望與方差；
（3）由已知可得，由二項(xiàng)分布的概率和方差公式計(jì)算即可得解．
【詳解】（1）解：設(shè)“這位小學(xué)生佩戴眼鏡”為事件，
“這位小學(xué)生佩戴的眼鏡是角膜塑形鏡”為事件，
所以，
所以若從樣本中選一位學(xué)生，已知這位小學(xué)生戴眼鏡，
則他戴的是角膜塑形鏡的概率是．
（2）解：依題意可知：其中男生人數(shù)的所有可能取值分別為：0，1，2，
其中：；；
，
所以男生人數(shù)的分布列為：
所以，
（3）解：由已知可得：，
則：，，
20．如圖，在三棱錐中，．
(1)證明：平面平面．
(2)若點(diǎn)Q在棱上，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，即可得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，從而得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、．
因?yàn)椋?br>則，
所以，即．
又，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面．
（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，則，，，．
令，
則．
設(shè)平面的法向量為，
則，取．
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
解得或（舍去），
故
設(shè)平面的法向量為，
所以，?。?br>記二面角的平面角為，所以．
21．已知橢圓的短軸長(zhǎng)等于，離心率．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過左焦點(diǎn)F作直線l，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，判斷是否為定值．若是定值，求出該定值，若不是定值，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，定值為
【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）當(dāng)直線斜率不為0時(shí),聯(lián)立直線與橢圓方程，利用設(shè)而不求法求，完成證明，再驗(yàn)證斜率為0是否也為定值即可.
【詳解】（1）由橢圓的短軸長(zhǎng)等于，離心率．
可得，解得，，，所以橢圓的方程為．
（2）由橢圓的方程，可得左焦點(diǎn)，
（i）當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)， 所以，，
所以
，
（ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，此時(shí)，
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】設(shè)而不求法是解決直線與橢圓的綜合問題的常用方法，本題需就直線的斜率是否為0，分情況討論.
22．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)得，然后分情況討論即可通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定的單調(diào)性. （2）將問題先轉(zhuǎn)化為在上恒成立.
，構(gòu)造函數(shù)，，對(duì) 進(jìn)行分情況討論，求的最小值，即可求解.
【詳解】（1）的定義域是，.
①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得或（舍），令，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）若在上恒成立，即在上恒成立.
令，，
則.
當(dāng)時(shí)，，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，若，即，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，符合題意.
若，即，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，不符合題意；
若，即，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
支持上網(wǎng)課
不支持上網(wǎng)課
合計(jì)
家長(zhǎng)
學(xué)生
合計(jì)
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
支持上網(wǎng)課
不支持上網(wǎng)課
合計(jì)
家長(zhǎng)
30
70
100
學(xué)生
50
50
100
合計(jì)
80
120
200
0
1
2

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