2022-2023學(xué)年浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線方程，由，求得傾斜角.【詳解】由直線方程知，直線斜率為，則，故傾斜角為，故選：A2．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（    ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再求得解.【詳解】由題得，所以.故選：B.3．在中，已知，，，則等于（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理，，即，解得故選：B.4．已知圓錐的側(cè)面積單位：為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積單位：是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及圓錐的側(cè)面積公式，再利用弧長公式及圓的周長公式，結(jié)合圓錐的體積公式即可求解.【詳解】因為圓錐側(cè)面展開圖是半圓，面積為，如圖所示設(shè)圓錐的母線長為a，則，解得，所以側(cè)面展開扇形的弧長為，設(shè)圓錐的底面半徑，則，解得，所以這個圓錐的體積為故選：C.5．已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（    ）A．，，則 B．，，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】由空間中的線面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由題意可知，在A中，若，，則m與相交或平行或，A錯；在B中，若，，，則或m與n異面，B錯；在C中，若，，則n與相交或平行或，C錯；在D中，若，，則平面內(nèi)存在一直線平行于m，該直線垂直于平面，則，D正確.故選：D.6．已知向量，滿足，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用投影向量的計算公式，可得答案.【詳解】解：在上的投影向量的坐標(biāo)為故選：B.7．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點A到直線BC的距離為（    ）A． B．1 C．  D． 【答案】A【分析】利用向量的模，向量的夾角及三角函數(shù)即可求出點到直線的距離.【詳解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點A到直線BC的距離為：d＝＝1×＝．故選：A【點睛】本題主要考查了向量坐標(biāo)的運算，向量的模，向量的夾角，屬于容易題.8．柜子里有3雙不同的鞋子，如果從中隨機地取出2只，那么取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】用列舉法列出所有可能情況，再找出符合題意的基本事件數(shù)，最后利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】解：分別用，，，，，表示6只鞋，則可能發(fā)生的情況有種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的事件有6種，即，，，，，，故選：C 二、多選題9．設(shè)復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（    ）A．z的虛部是yB．C．若，則z為純虛數(shù)D．若滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的軌跡是圓【答案】AD【分析】對A選項，由復(fù)數(shù)概念即可判斷，對B選項展開即可判斷，對C選項，當(dāng)且時，z是純虛數(shù)，對D選項由復(fù)數(shù)模的幾何意義即可得到其軌跡.【詳解】由復(fù)數(shù)的概念知，A正確；，故B不正確；當(dāng)且時，z是純虛數(shù)，故C不正確；因為，所以，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，故D正確.故選：AD.10．如圖，在棱長為的正方體中，下列選項正確的是（    ）A．異面直線與所成的角為 B．三棱錐的體積為C．直線平面 D．二面角的大小為【答案】ABC【分析】對于A，利用線線角的定義及正方體的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可求解；對于B，利用等體積法及棱錐的體積公式即可求解；對于C，利用線面垂直的判定定理即可求解；對于D，根據(jù)已知條件及二面角的平面角的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；【詳解】對于A，因為為正方體，所以,且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，所以異面直線與所成的角的大小即為與所成的角，故或其補角為所求.再由正方體的性質(zhì)可得為等邊三角形，故，即異面直線與所成的角為，故A正確；對于B，由題意可知，三棱錐 三棱錐，故B正確； 對于C，由正方體的性質(zhì)可得，平面,平面,所以,因為為正方體，所以底面為正方形，即，又,平面,所以平面,又平面,所以同理可證，又，平面，所以平面，故 C正確；對于D，由正方體的性質(zhì)可知,平面,平面,所以，因為為正方體，所以底面為正方形，即，所以是二面角的平面角，因為為正方體，所以平面為正方形，所以，即，所以二面角的大小為，故D 錯誤；故選：ABC.11．在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件B為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”;事件C為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．事件B與事件C是互斥事件 B．事件A與事件B是相互獨立事件C．事件B與事件C是相互獨立事件 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)對立事件，獨立事件的概念及古典概型概率公式逐項分析即得．【詳解】解：對于A，事件與事件是相互獨立事件，但不是對立事件，故A錯誤；對于B，事件A與事件B，，，，事件A與事件B是相互獨立事件，故B正確；對于C，事件B與事件，，，，事件B與事件C是相互獨立事件，故C正確；對于D，事件表示第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故，故D正確．故選：BCD.12．已知圓，點P是圓C上的一個動點，點，，則下列選項中正確的是（    ）A． B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最大值為9【答案】AC【分析】對于A選項，根據(jù) 判斷；對于B選項，當(dāng)時，取的最大值，再根據(jù)幾何關(guān)系求解判斷；對于CD選項，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】由題意知，圓心，半徑為，所以，當(dāng)點P在AC的延長線上時，最大，此時，當(dāng)點P在AC之間時，最小，此時，所以，即選項A正確;當(dāng)直線AP與圓C相切時，取得最大值，此時，，即選項B錯誤;設(shè)，，當(dāng)時，此時點，有最大值為，即選項C正確;，所以的最大值為，即選項D錯誤.故選：AC 三、填空題13．已知向量，，若，則          【答案】【分析】根據(jù)平面向量線性運算得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線坐標(biāo)運算即可求的值.【詳解】解：，由，，可得，解得故答案為：.14．寫出過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的一條直線方程          .【答案】或寫出1條即可【分析】分直線過原點與不過原點兩類討論，過原點設(shè)，不過原點設(shè)，分別代入點，求出未知數(shù)即可得到直線方程.【詳解】當(dāng)直線過原點時，方程設(shè)為代入點A得：；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為：，把點代入直線的方程可得，則直線方程是故答案為：或寫出1條即可15．已知圓，以點為圓心，半徑為r的圓與圓C有公共點，則r的取值范圍為          .【答案】【分析】根據(jù)兩圓有公共點滿足，即可求解.【詳解】由題意知，的圓心為，兩圓心的距離.因為兩圓相交或相切， 所以，解得故答案為：16．已知直四棱柱，底面ABCD為平行四邊形，，，，，以為球心，半徑為2的球面與側(cè)面的交線的長度為          .【答案】【分析】由球的性質(zhì)得交線為圓的一部分，而由題數(shù)據(jù)可證平面，即為圓心，在和上分別找到與球面的交點后計算弧長，【詳解】如圖，取，連接，因為在直四棱柱中，側(cè)棱底面ABCD，可得直四棱柱的四個側(cè)面均為矩形，所以，因為，所以以為球心，半徑為2的球面與直線相切.在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，根據(jù)余弦定理可得，，所以因為，平面，所以，所以，所以球面與側(cè)面的交點為F和，又，平面，所以點F和在以為圓心，半徑為1的圓上，因為，所以弧的長度為，所以球面與側(cè)面的交線為弧，所以球面與側(cè)面的交線的長度為故答案為： 四、解答題17．已知直線(1)求證：直線l過定點，并求出此定點;(2)求點到直線l的距離的最大值.【答案】(1)證明見解析，定點(2) 【分析】（1）整理方程，分離出參數(shù)，建立方程組，解得答案；（2）由（1）可知直線過定點，兩點距離公式，可得答案.【詳解】（1）由直線，則，可得，解得，故直線l過定點.（2）由（1）可知直線過定點，18．杭州市某高中從學(xué)生中招收志愿者參加迎亞運專題活動，現(xiàn)已有高一540人、高二360人，高三180人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取120名.對抽出的120名同學(xué)某天參加運動的時間進行了統(tǒng)計，運動時間均在至分鐘之間，其頻率分布直方圖如下：(1)需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人?(2)（i）請補全頻率分布直方圖;（ii）求這120名學(xué)生運動時間的第80百分位數(shù)是多少?【答案】(1)高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人(2)（i）直方圖見解析；（ii） 【分析】（1）由分層抽樣的比例公式求解即可；（2）計算頻率并補全頻率分布直方圖；由百分位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解即可【詳解】（1）報名的學(xué)生共有1080人，抽取的比例為 所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人（2）（i）第三組的頻率為故第三組的小矩形的高度為，補全頻率分布直方圖得 （ii）各組的頻率分別為，前四組的頻率之和為，前五組的頻率之和為，所以第80百分位數(shù)為所以第80百分位數(shù)是19．袋中有形狀、大小都相同的個小球，標(biāo)號分別為. (1)從袋中一次隨機摸出個球，求標(biāo)號和為奇數(shù)的概率;(2)從袋中每次摸出一球，有放回地摸兩次.甲、乙約定：若摸出的兩個球標(biāo)號和為奇數(shù)，則甲勝，反之，則乙勝.你認(rèn)為此游戲是否公平?說明你的理由.【答案】(1)(2)是公平的，理由見解析 【分析】（1）利用列舉法寫出樣本空間及事件的樣本點，結(jié)合古典概型的計算公式即可求解;（2）利用列舉法寫出樣本空間及事件的樣本點，結(jié)合古典概型的計算公式及概率進行比較即可求解.【詳解】（1）試驗的樣本空間，共6個樣本點，設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件 B，則 B包含的樣本點為，，，，共4個，所以（2）試驗的樣本空間，共有16個，設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件C，事件C包含的樣本點為，，，，，，，，共8個,故所求概率為,即甲勝的概率為，則乙勝的概率為,所以甲、乙獲勝的概率是公平的.20．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面設(shè)平面平面(1)證明：平面，(2)若，求直線l與平面PAC所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面平行判定定理以及線面平面性質(zhì)定理，可得答案；（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量以及平面的法向量，結(jié)合線面角的向量公式，可得答案.【詳解】（1）四棱錐的底面為正方形，，平面PAD，平面PAD，平面PAD，又平面平面，，又平面ABCD，平面ABCD，平面.（2）由底面ABCD且四棱錐的底面為正方形，可知DA、DC、DP兩兩互相垂直，以D為原點，以DA、DC、DP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：由于，則，，，，設(shè)平面PAC的法向量是，則，令，得，，直線的一個方向向量為，設(shè)直線l與平面PAC所成角為，則21．已知圓C的半徑為3，圓心C在射線上，直線被圓C截得的弦長為(1)求圓C方程;(2)過點的直線l與圓C交于M、N兩點，且的面積是為坐標(biāo)原點，求直線l的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意設(shè)圓心，則圓的方程為 ，由垂徑定理結(jié)合弦長即可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種情況結(jié)合三角形面積求解即可【詳解】（1）設(shè)圓心，則圓的方程為 ，或舍去 圓的方程為（2）①當(dāng)斜率不存在時，此時直線l方程為，原點到直線的距離為，令代入圓方程得或，，滿足題意.此時方程為②當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，圓心到直線l的距離， 原點O到直線l的距離，整理，得，此時k無解．綜上所述，所求的直線的方程為22．如圖1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE為折痕將折起，使點C到達的位置，且，如圖(1)證明：(2)求二面角余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)或 【分析】（1）根據(jù)翻折前后直線的位置關(guān)系確定垂直線段，根據(jù)線面垂直證明異面直線垂直即可；（2）根據(jù)，設(shè)二面角的平面角為，可求得或，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量坐標(biāo)運算求解 二面角余弦值即可.【詳解】（1）解：在直角梯形ABCD中，連接AC交BE于F，由題意知：且，四邊形CEAB是平行四邊形，又 ，，四邊形CEAB是菱形故，即在折疊后端的圖形中，又 ，面面，又平面，（2）解：由  可得，又 設(shè)二面角的平面角為，則，或 過作于則面 ，則可過點作軸如圖建系：或， 設(shè)面的一個法向量為，則則 或取 而面ABD的一個法向量為 或由圖可知二面角為銳角則二面角余弦值為或. 

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