2022-2023學(xué)年廣東省東莞實驗中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．4名同學(xué)參加跑步、跳遠(yuǎn)、跳高三個項目，每人限報1項，共有（  ）種報名方法.A．64種 B．81種 C．32種 D．12種【答案】B【分析】利用分步乘法原理即得解.【詳解】每名同學(xué)有3種選法，根據(jù)分步乘法原理得共有種報名方法.故選：B2．設(shè)，若，則（    ）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)展開式的通項公式可得，根據(jù)題意結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)運算求解.【詳解】因為的展開式的通項公式為，可得，又因為，即，所以.故選：C.3．函數(shù)的圖象在處的切線斜率為A． B． C． D．【答案】B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率．【詳解】∵，∴，∴，∴函數(shù)的圖象在處的切線斜率為1．故選B．【點睛】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得導(dǎo)函數(shù)在時的函數(shù)值即為曲線在點處的切線的斜率，解題時注意對題意的理解，屬于簡單題．4．設(shè)隨機變量服從兩點分布，若，則（    ）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】D【分析】由題意可得，再結(jié)合，可求出，從而可求出【詳解】由題意得，因為，所以解得，所以，故選：D5．甲、乙兩位游客慕名來到江城武漢旅游，準(zhǔn)備分別從黃鶴樓、東湖、曇華林和歡樂谷4個著名旅游景點中隨機選擇其中一個景點游玩，記事件A：甲和乙至少一人選擇黃鶴樓，事件：甲和乙選擇的景點不同，則條件概率（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)獨立概率乘法公式結(jié)合條件概率公式運算求解.【詳解】設(shè)事件M：甲選擇黃鶴樓，事件N：乙選擇黃鶴樓，可知，因為事件：甲和乙均沒有選擇黃鶴樓，可得，所以，又因為事件：甲和乙至少一人選擇黃鶴樓，且甲和乙選擇的景點不同，自然，所以.故選：A.6．已知，，，則以下不等式正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于，所以構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小即可【詳解】，，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，因為，所以，，因為，所以，所以故選：C7．四色定理又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里提出來的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”．某校數(shù)學(xué)興趣小組在研究給四棱錐的各個面涂顏色時，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公共棱的面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂法有（    ）A．36種 B．72種 C．48種 D．24種【答案】B【分析】利用分步乘法原理和分類加法原理分析求解【詳解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4種選擇，側(cè)面PAB的涂色有3種選擇，側(cè)面PBC的涂色有2種選擇．①若側(cè)面PCD與側(cè)面PAB所涂顏色相同，則側(cè)面PAD的涂色有2種選擇；②若側(cè)面PCD與側(cè)面PAB所涂顏色不同，則側(cè)面PCD的涂色有1種選擇，側(cè)面PAD的涂色有1種選擇．綜上，不同的涂法種數(shù)為．故選：B．8．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】要使有三個極值點，則有三個變號實根，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等于1的變號實根，令，通過研究的最小值可得的取值范圍.【詳解】，求導(dǎo)，得，令，得，或.要使有三個極值點，則有三個變號實根，即方程有兩個不等于1的變號實根.，令，則，令，得.易知，且，；，.所以，當(dāng)時，方程即有兩個變號實根，又，所以，即.綜上，的取值范圍是.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于把“有三個極值點”轉(zhuǎn)化為方程“方程有兩個不等于1的變號實根”. 二、多選題9．已知二項式的展開式中各項的系數(shù)和為64，則下列說法正確的是（       ）A．B．展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為32C．展開式中的常數(shù)項為540D．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第四項【答案】ABD【分析】令，可求出，然后再結(jié)合組合的知識、二項式系數(shù)的性質(zhì)、系數(shù)的變化規(guī)律逐項判斷．【詳解】令，得，得，故A正確；展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故B正確，由上得二項式為，常數(shù)項為，故C錯誤；最大的二項式系數(shù)為，即第四項的二項式系數(shù)最大，故D正確；故選：ABD．10．已知函數(shù)，則下列選項正確的是（       ）A．函數(shù)在處取得極小值B．C．若函數(shù)在上恒成立，則D．函數(shù)有三個零點【答案】AD【分析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；求出函數(shù)在上的最大值，即可求出的取值范圍，可判斷C選項；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，該函數(shù)的定義域為，則，由可得或，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為、，增區(qū)間為，所以，函數(shù)在處取得極小值為，A對；對于B選項，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則，B錯；對于C選項，因為函數(shù)在上遞增，在上遞減，故當(dāng)時，，因為函數(shù)在上恒成立，則，C錯；對于D選項，由A選項可知，函數(shù)的極大值為，由可得，故函數(shù)的零點個數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，如下圖所示：  由圖可知，直線與函數(shù)圖象有三個交點，因此，函數(shù)有三個零點，D對.故選：AD.11．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球；否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75，則p的取值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機變量期望公式進(jìn)行求解，求出，選出符合的選項即可.【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，故選：AC【點睛】本題考查離散型隨機變量期望的求解，易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功，考查學(xué)生的邏輯推理與運算能力，屬于中檔題.12．“切線放縮”是處理不等式問題的一種技巧．如：在點處的切線為，如圖所示，易知除切點外，圖象上其余所有的點均在的上方，故有．該結(jié)論可構(gòu)造函數(shù)并求其最小值來證明．顯然，我們選擇的切點不同，所得的不等式也不同．請根據(jù)以上材料，判斷下列命題中正確的命題是（    ）A．， B．，，C．， D．，【答案】ABD【分析】利用可得，由知A正確；由知B正確；利用反例可說明C錯誤；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，知D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時，由得：，即；，A正確；對于B，由得：，即，，B正確；對于C，由得：；當(dāng)時，，此時，則，即不成立，C錯誤；對于D，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；由得：，，，，即，，D正確.故選：ABD. 三、填空題13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為      .【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式即可得到.【詳解】由題意知，定義域為R，，且在R上恒成立，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：14．的展開式中含項的系數(shù)是       ．【答案】3【分析】根據(jù)分步計數(shù)乘法原理求解即可.【詳解】要得到項的系數(shù)，分成兩類，（1）兩個二次項一個常數(shù)項，即，（2）兩個一次項一個二次項，即，故含項的系數(shù)是.故答案為：315．現(xiàn)有8道四選一的單選題，小明同學(xué)對其中6道題有思路，2道題完全沒有思路，有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率只有0.25，小明同學(xué)從這8道題這隨機選擇1題，則小明做對該題的概率為        ．【答案】/【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A表示“考生答對”,事件B表示“考生選到有思路的題”.則該考生從這8道題中隨機選1題,則他答對該題的概率為:故答案為: 16．剪紙是一種鏤空藝術(shù)，是中國漢族最古老的民間藝術(shù)之一．如圖，一圓形紙片，直徑，需要剪去菱形，可以經(jīng)過兩次對折、沿裁剪、展開后得到若，要使鏤空的菱形面積最大，則菱形的邊長          ．【答案】【分析】設(shè)圓心為，結(jié)合已知條件，求出與的關(guān)系式，然后利用導(dǎo)函數(shù)即可求解菱形面積最大值，進(jìn)而可得到答案.【詳解】設(shè)圓心為，由圓的性質(zhì)可知，，，，，共線，，，，，共線，由菱形性質(zhì)可知，，不妨令，，且半徑為5，則，即，，故，不妨令，，則，從而；，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，在上取最大值，從而要使鏤空的菱形面積最大，則，由可知，，則此時.故答案為：. 四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】(1)極大值是，極小值是0(2)最大值為，最小值為0 【分析】（1）先求導(dǎo)，確定單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；（2）由（1）中極值和端點值比較即可求出最值.【詳解】（1）．令，得或，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．所以的極大值是，的極小值是．（2）因為，由（1）知，的極大值是，的極小值是，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為0．18．不透明袋中裝有質(zhì)地，大小相同的個紅球，個白球，若從中不放回地取出個球，在第一個取出的球是紅球的前提下，第二個取出的球是白球的概率為．(1)求白球的個數(shù)；(2)若有放回的取出兩個球，記取出的紅球個數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．【答案】(1)(2)分布列答案見解析，， 【分析】（1）在第一個取出的球是紅球的前提下，袋中還有個紅球，個白球，然后利用古典概型的概率公式可得出關(guān)于的等式，即可解得的值；（2）分析可知，隨機變量的可能取值有、、，求出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進(jìn)而可求得、的值.【詳解】（1）解：因為第一個取出的球是紅球的前提下，袋中還有個紅球，個白球，則第二個取出的球是白球的概率為，解得.（2）解：由題意可知，袋中有個紅球，個白球，若有放回的取出兩個球，記取出的紅球個數(shù)為，則的可能取值有、、，則，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，，.19．已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線垂直于直線，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）由題意，直線的斜率為，結(jié)合垂直直線斜率積為與導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由題意當(dāng)時，，即恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析函數(shù)的最大值即可.【詳解】（1）由題意知，直線的斜率為 ，且，故切線斜率，故.（2）由題意知，.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即恒成立.令，則，時，，時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，即.故實數(shù)a的取值范圍．20．某公司計劃在年年初將萬元用于投資，現(xiàn)有兩個項目供選擇．項目一：新能源汽車．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項目二：通信設(shè)備．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為、、．針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.【答案】選擇項目一較好，理由見解析【分析】設(shè)投資項目一、二獲利分別為、萬元，求出、、、，比較、的大小，以及、的大小，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)投資項目一、二獲利分別為、萬元，則的可能取值有、，且，，的可能取值有、、，且，，，所以，，，所以，，，，則，這說明雖然項目一、項目二獲得利潤的期望相等，但項目一更穩(wěn)妥，因此，選擇項目一較好.21．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)對在定義域上的零點分布進(jìn)行分類討論即可求解；（2）將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)，即證，構(gòu)造函數(shù)，證明其小于0即可.【詳解】（1），     ∵函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴在上有解，∵，設(shè)，則，當(dāng)時，顯然在上有解；當(dāng)時，，，由韋達(dá)定理知，，所以必有一個正根，滿足條件.當(dāng)時，有，解得，綜上：故實數(shù)的取值范圍為．（2）由題意可知，，∵有兩個極值點，∴是的兩個根，則，   ∴， ∴要證，即證，即證，即證，即證，    令，則證明，    令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，即，    所以原不等式成立．【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．某校在課外活動課上連續(xù)開展若干項體育游戲，其中一項為“扔沙包”的游戲．其規(guī)則是：將沙包扔向指定區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域共分為A，B，C三個部分．如果扔進(jìn)A部分一次，或者扔進(jìn)B部分兩次，或者扔進(jìn)C部分三次，即視為該項游戲過關(guān)，并進(jìn)入下一項游戲．小楊每次都能將沙包扔進(jìn)這塊區(qū)域內(nèi)，若他扔進(jìn)A部分的概率為p，扔進(jìn)B部分的概率是扔進(jìn)A部分的概率的兩倍，且每一次扔沙包相互獨立．(1)若小楊第二次扔完沙包后，游戲過關(guān)的概率為，求p；(2)設(shè)小楊第二次扔完沙包后，游戲過關(guān)的概率為；設(shè)小楊第四次扔完沙包后，恰好游戲過關(guān)的概率為，試比較與的大?。?/span>【答案】(1)(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，． 【分析】（1）由題意可知，恰好游戲過關(guān)包含“第一次未扔中A部分，第二次扔中A部分”和“第一次與第二次均扔中B部分”兩個事件，然后求解即可;（2）第四次扔完沙包后，恰好游戲過關(guān)后游戲過關(guān)需前三次扔完后有一次扔進(jìn)B部分且有兩次扔進(jìn)C部分,根據(jù)獨立重復(fù)事件的概率計算即可.【詳解】（1）解：扔進(jìn)B部分的概率為，扔進(jìn)C部分的概率為，且．（1）小楊第二次扔完沙包后，恰好游戲過關(guān)包含“第一次未扔中A部分，第二次扔中A部分”和“第一次與第二次均扔中B部分”兩個事件，則概率為，由，得，解得或者，又，所以．（2）第四次扔完沙包后，恰好游戲過關(guān)后游戲過關(guān)需前三次扔完后有一次扔進(jìn)B部分且有兩次扔進(jìn)C部分，因此，又，，又，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，． 

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