2022-2023學(xué)年河北省石家莊北華中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，即可求出結(jié)果．【詳解】，故選：A．2．已知，則（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)排列組合公式得到，解得答案.【詳解】，即，故，故.故選：C3．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式逐項(xiàng)求導(dǎo)驗(yàn)證即可【詳解】因?yàn)?/span>,所以錯(cuò),因?yàn)?/span>,所以對(duì),因?yàn)?/span>,所以錯(cuò),因?yàn)?/span>,所以錯(cuò).故選：B4．已知直線l是曲線的切線，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，直線l與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，則面積為（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由已知可得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)函數(shù)求出切線l的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得到切線方程，進(jìn)而得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的面積.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，而，，所以切線l：，即，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以，故選：C.5．某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬(wàn)元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（    ）（單位：萬(wàn)元）參考數(shù)據(jù)：A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3【答案】C【分析】復(fù)利計(jì)息問題，逐年分析尋找規(guī)律，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】由題意，2023年存的2萬(wàn)元共存了10年，本息和為萬(wàn)元，2024年存的2萬(wàn)元共存了9年，本息和為萬(wàn)元，2032年存的2萬(wàn)元共存了1年，本息和為萬(wàn)元，所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)約為萬(wàn)元，故選：C.6．學(xué)校音樂團(tuán)共有10人,其中4人只會(huì)彈吉他,2人只會(huì)打鼓,3人只會(huì)唱歌,另有1人既能彈吉他又會(huì)打鼓.現(xiàn)需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手組成一個(gè)樂隊(duì),則不同的組合方案共有(   )A．36種 B．78種 C．87種 D．90種【答案】B【分析】由題意得1名主唱只能從3人里面選,然后根據(jù)多面手進(jìn)行分類即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意有三種情況:(1)從只會(huì)彈吉他的4人選2人,只會(huì)打鼓的2人選1人,只會(huì)唱歌的3人中選1人:種;(2)從只會(huì)彈吉他的4人選2人,只會(huì)唱歌的3人選1人,鼓手從多面手中選:種;(3)從只會(huì)彈吉他的4人選1人,只會(huì)打鼓的2人選1人,只會(huì)唱歌的3人中選1人,多面手作為吉他手:種;共有:種.故選:B.7．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，由，得到單調(diào)遞減，再根據(jù)為偶函數(shù)，得到的圖象關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)而得到，然后將不等式化為求解.【詳解】解：令，因?yàn)?/span>，所以，所以單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，所以，又不等式可化為，即，所以，故選：D8．已知函數(shù)，有且只有一個(gè)負(fù)整數(shù)，使成立，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化有且只有一個(gè)負(fù)整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)與，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，并在同一坐標(biāo)系分別作出函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】已知函數(shù)，則有且只有一個(gè)負(fù)整數(shù)解.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值為.設(shè)，則恒過點(diǎn)在同一坐標(biāo)系中分別作出和的圖象，如圖所示顯然，依題意得且即且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：將問題轉(zhuǎn)化為有且只有一個(gè)負(fù)整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)與，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，作出函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合即可. 二、多選題9．在的二項(xiàng)展開式中，下列說(shuō)法正確的有（    ）A．常數(shù)項(xiàng)為第三項(xiàng)B．展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為729C．展開式系數(shù)最大項(xiàng)為第三項(xiàng)D．展開式中系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)為240【答案】CD【分析】寫出的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，然后求出其常數(shù)項(xiàng)可判斷A，求出展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和可判斷B，解出不等式組可判斷CD.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令得，所以常數(shù)項(xiàng)為第四項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；由可得，所以，所以展開式系數(shù)最大項(xiàng)為第三項(xiàng)，展開式中系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)為，故C、D正確；故選：CD.10．下列問題是排列問題的是（    ）A．把5本不同的書分給5個(gè)學(xué)生，每人一本B．從7本不同的書中取出5本給某個(gè)同學(xué)C．10個(gè)人相互發(fā)一微信，共發(fā)幾次微信D．10個(gè)人互相通一次電話，共通了幾次電話【答案】AC【分析】根據(jù)排列、組合的定義逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，學(xué)生與書都不相同，故與順序有關(guān)，是排列問題，A正確；對(duì)于B，取出5本書后，即確定了取法，與順序無(wú)關(guān)，故是組合問題，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槭窍嗷グl(fā)一微信，因此與順序有關(guān)，故是排列問題，C正確；對(duì)于D，因?yàn)槭腔ハ嗤ㄒ淮坞娫?，與順序無(wú)關(guān)，故是組合問題，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知函數(shù)，其中且，則下列說(shuō)法正確的有（    ）A．的對(duì)稱中心為B．恰有兩個(gè)零點(diǎn)C．若方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則D．若方程的三個(gè)不等實(shí)根分別為，則【答案】ABD【分析】根據(jù)題意得到，可判定A正確；求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值，可判定B正確；轉(zhuǎn)化為和的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，分和時(shí)，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)，得到，進(jìn)而可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，所以對(duì)稱中心為，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?/span>且，即，所以，由，令時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，兩種情況下均只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，要使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，即和圖象有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得， 則滿足，當(dāng)時(shí)，可得，則滿足，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由的三個(gè)零點(diǎn)分別為，可設(shè)，即，可得因此，所以D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．12．建筑師高迪曾經(jīng)說(shuō)：直線屬于人類，而曲線屬于上帝，一切靈感來(lái)源于自然和幻想，靈活生動(dòng)的曲線和簡(jiǎn)潔干練的直線，在生活中處處體現(xiàn)了幾何藝術(shù)美感，我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關(guān)系，如由在點(diǎn)處的切線寫出不等式，進(jìn)而用替換x得到一系列不等式，疊加后有．這些不等式同樣體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美．運(yùn)用類似方法推導(dǎo)，下面的不等式正確的有（    ）A．B．C．D．【答案】BC【分析】選項(xiàng)A，可用特殊值法，令，可知不等式不成立；選項(xiàng)B，將中的替換為，用賦值法可得，然后根據(jù)同向不等式相加可判斷B選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)C，將中的替換為，可得，同樣根據(jù)同向不等式相加與指對(duì)互化即可證明；選項(xiàng)D，將中的替換為，可得，然后再根據(jù)同向不等式相加可判斷D的正誤，另外，也可用特殊值法即由即可說(shuō)明選項(xiàng)D的正誤．【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)：時(shí)不等式左右兩端相等，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：將中的替換為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，可得，所以，故，其中，所以，B正確；C選項(xiàng)：將中的替換為，顯然，則，故，當(dāng)時(shí)，，故成立；當(dāng)時(shí)，顯然成立，故正確；選項(xiàng)：將中的替換為，其中，且，則，則，故，則，又，D錯(cuò)誤.故選：BC． 三、雙空題13．若，則      ，     .【答案】     –2     –154【分析】令得：，求出兩種情況下得到項(xiàng)的系數(shù)，再相加得到答案.【詳解】令得：，展開式中含項(xiàng)為：（1）當(dāng)出，出含項(xiàng)，即；（2）當(dāng)出，出含項(xiàng)，即；所以，故填：；.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)，考查邏輯推理和運(yùn)算求解，注意利用二項(xiàng)式定理展開式中，項(xiàng)的生成原理進(jìn)行求解. 四、填空題14．已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是            .【答案】【分析】本題首先可通過函數(shù)的解析式得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)、以及三種情況進(jìn)行分類討論，通過函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出函數(shù)的極值，最后得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)恒為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)恒為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，解得或，為增函數(shù)；，解得，為減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，通過函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵，考查通過導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題．15．現(xiàn)有排成一排的7個(gè)不同的盒子，將紅、黃、藍(lán)、白顏色的4個(gè)小球全部放入這7個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子最多放一個(gè)小球，則恰有兩個(gè)空盒相鄰且紅球與黃球不相鄰的不同放法共有       種.（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】336【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法進(jìn)行求解.【詳解】先不考慮紅球與黃球不相鄰，則4個(gè)小球有種排法，再安排空盒，有種方法，再考慮紅球與黃球相鄰，則4個(gè)小球有種排法，再安排空盒，有種方法，因此所求放法種數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查排列組合應(yīng)用，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.16．8張椅子排成一排，有4個(gè)人就座，每人1個(gè)座位，恰有3個(gè)連續(xù)空位的坐法共有多少種?       【答案】480【分析】利用插空法及分步計(jì)數(shù)原理，可得結(jié)論.【詳解】先把4個(gè)人排列好，有種方法，再把3個(gè)空位看成一個(gè)整體，把3個(gè)空位構(gòu)成的一個(gè)整體與另一個(gè)空位插入這4個(gè)人形成的5個(gè)“空”中，有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，恰有3個(gè)連續(xù)空位的坐法共有種．故答案為：480. 五、解答題17．求垂直于直線并且與曲線相切的直線方程.【答案】【分析】根據(jù)直線垂直，求得切線的斜率，進(jìn)而求得切點(diǎn)，即可得切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為切線的斜率，得，代入到得，即，因此所求切線方程是：，即.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.18．在二項(xiàng)式 中有，如果它的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，求它是第幾項(xiàng).【答案】第5項(xiàng)【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)確定常數(shù)項(xiàng)即可求出答案.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令為常數(shù)項(xiàng)，則有，因?yàn)?/span>，，所以，解得，故可知常數(shù)項(xiàng)是第5項(xiàng)．19．從2，3，4，7，9這五個(gè)數(shù)字任取3個(gè)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).(1)這樣的三位數(shù)一共有多少個(gè)？(2)所有這些三位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和是多少？(3)所有這些三位數(shù)的和是多少？【答案】(1)60(2)300(3)33300 【分析】（1）根據(jù)題意，由排列數(shù)公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，計(jì)算個(gè)位數(shù)字為2的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，同理可得個(gè)位數(shù)字為3，4，7，9的三位數(shù)個(gè)數(shù)，由此分析可得答案；（3）根據(jù)題意，結(jié)合（2）的結(jié)論，分析三位數(shù)百位、十位數(shù)字的和，相加可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，從2，3，4，7，9這五個(gè)數(shù)字任取3個(gè)組成三位數(shù)，有種情況，即有60個(gè)符合題意的三位數(shù)；（2）根據(jù)題意，個(gè)位數(shù)字為2的三位數(shù)個(gè)，同理：個(gè)位數(shù)字為3，4，7，9的三位數(shù)都有12個(gè)，則所有這些三位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和為；（3）根據(jù)題意，由（2）的結(jié)論，所有這些三位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和為300，同理：這些三位數(shù)的十位，百位上的數(shù)字之和都為300，故所有這些三位數(shù)的和為20．已知二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128.（1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）在 (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展開式中，求項(xiàng)的系數(shù).(結(jié)果用數(shù)字作答)【答案】（1）；（2）330【解析】二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和應(yīng)為所有項(xiàng)系數(shù)和的一半，即 ，可求得.（1）寫出該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，即可求解；（2）由二項(xiàng)式定理知在，，，中均存在，故的系數(shù)為.【詳解】解：所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，，解得.（1）的第項(xiàng)為，令，得，則常數(shù)項(xiàng)為；（2）展開式中的系數(shù)為： .【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，組合數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.21．已知x＝1是函數(shù)f（x）＝mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一個(gè)極值點(diǎn)，其中m，n∈R，m＜0．（1）求m與n的關(guān)系表達(dá)式；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，函數(shù)y＝f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍．【答案】（1）n＝3m+6．（2）f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞減，在（1，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減．（3）m＜0．【分析】（1）求出f′（x），因?yàn)?/span>x＝1是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以得到f'（1）＝0求出m與n的關(guān)系式；（2）令f′（x）＝0求出函數(shù)的極值點(diǎn)，討論函數(shù)的增減性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由題意知f′（x）＞3m，分x＝1和x≠1，當(dāng)x≠1時(shí)g（t）＝t，求出g（t）的最小值．要使（x﹣1）恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范圍．【詳解】（1）f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+n．因?yàn)?/span>x＝1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f'（1）＝0，即3m﹣6（m+1）+n＝0．所以n＝3m+6．（2）由（1）知f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+3m+6＝3m（x﹣1）[x﹣（1）]當(dāng)m＜0時(shí)，有1＞1，當(dāng)x變化時(shí)f（x）與f'（x）的變化如下表：x（﹣∞，1）1（1，1）1（1，+∞）f′（x）＜00＞00＜0f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由上表知，當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞減，在（1，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減．（3）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1）]＜1．（*）①x＝1時(shí)．（*）式化為0＜1恒成立．∴m＜0．②x≠1時(shí)∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化為（x﹣1）．令t＝x﹣1，則t∈[﹣2，0），記g（t）＝t，則g（t）在區(qū)間[﹣2，0）是單調(diào)增函數(shù)．∴g（t）min＝g（﹣2）＝﹣2．由（*）式恒成立，必有?m，又m＜0．∴m＜0．綜上①②知m＜0．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值和單調(diào)性的方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立的條件，屬于中檔題．22．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求的單調(diào)區(qū)間，若有最值，請(qǐng)求出最值；（2）是否存在正常數(shù)，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線？若存在，求出的值，以及公共點(diǎn)坐標(biāo)和公切線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為，無(wú)最大值 ；(2存在，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線，易求得公共點(diǎn)坐標(biāo)為，公切線方程為．【詳解】解：（1） ①當(dāng)恒成立上是增函數(shù)，F只有一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間（0，-∞），沒有最值②當(dāng)時(shí)，，若，則上單調(diào)遞減；若，則上單調(diào)遞增，時(shí)，有極小值，也是最小值，即 所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為，無(wú)最大值（2）方法一，若與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程有且只有一解，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)由（1）的結(jié)論可知 此時(shí)，的圖象的唯一公共點(diǎn)坐標(biāo)為又的圖象在點(diǎn)處有共同的切線，其方程為，即 綜上所述，存在，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的公切線方程為 方法二：設(shè)圖象的公共點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意得即由②得，代入①得從而…………10分此時(shí)由（1）可知時(shí)，因此除外，再?zèng)]有其它，使 故存在，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線，易求得公共點(diǎn)坐標(biāo)為，公切線方程為 

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