2022學年珠海市廣東實驗中學金灣學校高二數(shù)學素養(yǎng)測試題1測試時間：40分鐘  考查內容：形數(shù)班級：___________姓名：___________分數(shù)：___________ 一、單選題（每道題5分，共15分）1．古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家常用小石子在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù).比如，他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)；類似地，圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)稱為正方形數(shù)；圖3中的1，5，15，30，…，這樣的數(shù)稱為正五邊形數(shù).那么正五邊形數(shù)的第2021項小石子數(shù)是（ ）A．5×1010×2021 B．5×1010×1011C．5×1011×2021 D．5×1011×20202．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子研究數(shù).他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如三角形數(shù)?正方形數(shù)?五邊形數(shù)?六邊形數(shù)等.如圖所示，將所有六邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，前三項為1，6，15，則此數(shù)列的第10項為（    ）A．120 B．153 C．190 D．2313．古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為.記第n個k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)：正方形數(shù)：五邊形數(shù)：六邊形數(shù)：可以推測的表達式，由此計算（    ）A．4020 B．4010 C．4210 D．4120二、多選題（每道題5分，共15分）4．在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)．設第n個三角形數(shù)為an，則下列結論正確的有（    ）A．an-an-1=n （n＞1） B．a20=210C．1024是三角形數(shù) D．5．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù).下列數(shù)中，既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（    ）A．36 B．289 C．1225 D．13786．古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構成數(shù)列，正方形數(shù)構成數(shù)列，則下列說法正確的是（    ）A．              B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C．                  D．，，總存在，，使得成立 三、填空題（每道題5分，共30分）7．把1，3，6，10，15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的圓點可以依次排成如圖所示的相應邊長的正三角形（其中，假定1個圓點排成的正三角形的邊長為0），則第100個三角形數(shù)是______．8．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)．用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，…他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）．如前四個四棱錐數(shù)為第n個四棱錐數(shù)為1+4+9+…+n2＝．中國古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…若一個“三角垛”共有20層，則第6層有 ____個球，這個“三角垛”共有______個球．9．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家常用小石子來研究數(shù)．他們根據(jù)小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖（1）可得到三角形數(shù)1，3，6，10，…，圖（2）可得到四邊形數(shù)1，4，9，16，…，圖（3）可得到五邊形數(shù)1，5，12，22，…，圖（4）可得到六邊形數(shù)1，6，15，28，…．進一步可得，六邊形數(shù)的通項公式______，前n項和______．（參考公式：）10．古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀，把數(shù)分成許多類，如圖，第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構成數(shù)列，正方形數(shù)構成數(shù)列，則______；______.11．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，下圖中第一組的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二組的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，則三角形數(shù)的第7項為___________，五邊形數(shù)的第n項為___________. 答題卡題號123456答案      填空題              ；                         ；                        ；             11.            ；           
2022學年珠海市廣東實驗中學金灣學校高二數(shù)學素養(yǎng)測試題1參考答案1．A【分析】設正五邊形數(shù)構成數(shù)列，根據(jù)題中條件，得到遞推關系，再由累加法，即可得出通項公式，從而可求出結果.【解】設正五邊形數(shù)構成數(shù)列，則，，且當時，，于是，故.故選：A.2．C【分析】由題意歸納推理出通式，即可得到第10項.【解】由題意可知，，，，故總結，由第四個圖知，，滿足通式，故.故選：C.3．B【分析】由，即可歸納出的表達式，即可求值.【解】，，，.由此可歸納，所以.故選：B4．ABD【分析】通過歸納可判斷A；通過累加可判斷B；通過解方程可判斷C；通過裂項相加可判斷D.【解】∵，，，…，由此可歸納得，故A正確；將前面的所有項累加可得，∴，故B正確；令，此方程沒有正整數(shù)解，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD.5．AC【分析】由題意，整理數(shù)列的通項公式，建立方程，可得答案.【解】由題意，三角形數(shù)可看作，，，，則第三角形數(shù)為；正方形數(shù)可看作，，，，，則第個正方形數(shù)為；對于A，令，解得，令，解得，故A正確；對于B，令，解得，令，其解顯然不是正整數(shù)，故B錯誤；對于C，令，解得，令，解得，故C正確；對于D，令，顯然其解布置正整數(shù)，故D錯誤.故選：AC.6．BCD【分析】根據(jù)給定信息，求出數(shù)列、的通項，再逐一分析各個選項即可判斷作答.【解】依題意，數(shù)列中，，，，于是得，滿足上式，數(shù)列中，，，，于是得，滿足上式，因此，對于A，，則，A不正確；對于B，因為，則，又，則，B正確；對于C，，則，C正確；對于D，，，取，則，所以，，總存在，，使得成立，D正確.故選：BCD7．5050【分析】觀察圖像規(guī)律，1是第一個三角形數(shù)，3是第二個三角形數(shù)，6是第三個三角形數(shù)，依此類推，第100個三角形數(shù)是1到100連續(xù)自然數(shù)的和，相加即可.【解】觀察圖像規(guī)律發(fā)現(xiàn)，三角形數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，1是第一個三角形數(shù)，3是第二個三角形數(shù)，6是第三個三角形數(shù)，10是第四個三角形數(shù)，15是第五個三角形數(shù)，，所以第100個三角形數(shù)是：，故第100個三角形數(shù)是5050.故答案為：50508．     21     1540【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關系，得到＝，由此可求的值，以及前20層的總球數(shù)．【解】由題意可知，，故＝＝，所＝＝21，所以S20＝a1+a2+a3+a4+??+a20＝（12+22+32+??+202）+（1+2+3+??+20）＝×+×＝1540．故答案為：21；1540．9．     ；     .【分析】由題設易知是首項為5，公差為4的等差數(shù)列，累加法求通項公式，利用分組求和求.【解】設六邊形中，則是首項為5，公差為4的等差數(shù)列，∴，∴，∴，當時，符合該式，∴，.故答案為：，.10．     55     【分析】首先觀察三角形數(shù)，利用累加法求得，進而求出；利用正方形數(shù)得出，再利用裂項相消法求出即可求解.【解】根據(jù)三角形數(shù)可知，，則，…，，累加得，，經(jīng)檢驗也滿足上式，故，則；根據(jù)正方形數(shù)可知，當時，，則.故答案為：；.11．     28     【分析】根據(jù)其圖形規(guī)律得出其通項，即可得出答案.【解】三角形數(shù)的每一項是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，則，則三角形數(shù)的第7項為，五邊形數(shù)的第一項為，第二項為，第三項為，則五邊形數(shù)的第n項為，故答案為：28，.
 

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