2022-2023學(xué)年河北省石家莊市辛集市育才中學(xué)高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算．【詳解】．故選：D．2．某校有1200人參加某次數(shù)學(xué)模擬考試，考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示成績(jī)優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次考試成績(jī)?cè)?/span>90分以下的人數(shù)約為（    ）A．180 B．240 C．360 D．480【答案】B【分析】利用頻率估計(jì)概率結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性性可得：考試成績(jī)?cè)?/span>90分以下的概率為，據(jù)此估計(jì)相應(yīng)人數(shù)．【詳解】利用頻率估計(jì)概率根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知：考試成績(jī)?cè)?/span>90分以下的概率為則此次考試成績(jī)?cè)?/span>90分以下的人數(shù)約為故選：B．3．在等差數(shù)列{an}和{bn}中，a1=25，b1=75，a100+b100=100，則數(shù)列{an+bn}的前100項(xiàng)的和為（    ）A．10000 B．8000C．9000 D．11000【答案】A【分析】由已知推出為等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可求出結(jié)果.【詳解】由已知得{an+bn}為等差數(shù)列，故其前100項(xiàng)的和為S100=.故選：A4．我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果．《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》、……《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著的概率為．A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著為事件，可以求,運(yùn)用公式，求出.【詳解】設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著為事件，所以，因此,故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了求對(duì)立事件的概率問(wèn)題，考查了運(yùn)算能力.5．某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：345634若根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為，則表中的值為（ ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：，由回歸方程：，解之得,故選D.【解析】線性回歸.6．已知數(shù)列滿足且，的通項(xiàng)公式為（    ）.A． B．C． D．【答案】D【分析】由，得到，再利用“疊加法”，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，可得，這個(gè)式子相加可得.當(dāng)，也符合該式，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)數(shù)列的遞推公式，合理利用疊加法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“{an}是等差數(shù)列”是“是等差數(shù)列”的（  ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義證明求解.【詳解】首先證“充分條件”：因?yàn)?/span>{an}是等差數(shù)列，所以 所以，所以常數(shù)，所以是等差數(shù)列．證“必要條件”因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，所以設(shè)數(shù)列的公差為，則所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)滿足.所以常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明和充要條件的判斷，屬于中檔題.8．我國(guó)古代認(rèn)為構(gòu)成宇宙萬(wàn)物的基本要素是金、木、土、水、火這五種物質(zhì)，稱為“五行”，得到圖中外圈順時(shí)針?lè)较蛳噜彽暮笠晃锷耙晃?，?nèi)圈五角星線路的后一物克前一物的相生相克理論.依此理論，每次隨機(jī)任取兩行，重復(fù)取次，若取出的兩行為“生"的次數(shù)記為，則與的值分別為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】從五行中隨機(jī)任取兩行為“生”的概率為，則重復(fù)取次，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，然后用二項(xiàng)分布的期望和方差公式求解.【詳解】設(shè)從五行中隨機(jī)任取兩行為“生”的事件為則依題意，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，有，故故選:【點(diǎn)睛】本題考查古典概率和二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算，屬于中檔題. 二、多選題9．為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某單位組織開(kāi)展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是(    )A． B．C． D．【答案】ABC【分析】第1次抽到選擇題的概率為，根據(jù)古典概型即可計(jì)算；第1次抽到選擇題且第2次抽到選擇題時(shí)概率為，根據(jù)古典古典概型即可計(jì)算；在第1次抽到選擇題的條件下，第2次抽到選擇題的概率為，根據(jù)條件概率計(jì)算公式即可計(jì)算；在第1次沒(méi)有抽到選擇題的條件下，第2次抽到選擇題的概率為，根據(jù)條件概率計(jì)算公式即可計(jì)算．【詳解】第1次抽到選擇題時(shí)，則，故A正確；第1次抽到選擇題且第2次抽到選擇題時(shí)，則，故B正確；在第1次抽到選擇題的條件下，第2次抽到選擇題，則，故C正確；在第1次沒(méi)有抽到選擇題的條件下，第2次抽到選擇題，則，故D錯(cuò)誤﹒故選：ABC．10．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有則下列結(jié)論成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由二項(xiàng)式定理，采用賦值法判斷選項(xiàng)ACD，轉(zhuǎn)化法求指定項(xiàng)的系數(shù)判斷選項(xiàng)B.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，即，D選項(xiàng)正確；，由二項(xiàng)式定理，，B選項(xiàng)正確.故選：BCD11．陽(yáng)山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培歷史，產(chǎn)于中國(guó)著名桃鄉(xiāng)江蘇無(wú)錫陽(yáng)山鎮(zhèn).水蜜桃果形大、色澤美，皮韌易剝、香氣濃郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美譽(yù)，陽(yáng)山水蜜桃早桃品種5月底開(kāi)始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也將大量上市.已知甲、乙兩個(gè)品種的陽(yáng)山水蜜桃的質(zhì)量（單位：斤）分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示則下列說(shuō)法正確的是（    ） A．乙品種水蜜桃的平均質(zhì)量B．甲品種水蜜桃的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲品種水蜜桃的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙品種水蜜桃的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)圖像以及正態(tài)密度曲線的性質(zhì)即可逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)論.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故A對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B：甲圖像相對(duì)乙更高瘦，故B對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C：，故C對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D：乙圖像的最高點(diǎn)為1.99，故對(duì)稱軸取值為，所以，故D錯(cuò).故選：ABC.12．5G技術(shù)的運(yùn)營(yíng)不僅提高了網(wǎng)絡(luò)傳輸速度，更拓寬了網(wǎng)絡(luò)資源的服務(wù)范圍.目前，我國(guó)加速了5G技術(shù)的融合與創(chuàng)新，前景美好！某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了5個(gè)月的5G手機(jī)銷量，如下表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號(hào)12345銷量/部5295185227若與線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．5G手機(jī)的銷量逐月增加，平均每個(gè)月增加約10臺(tái)B．C．與正相關(guān)D．預(yù)計(jì)12月份該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為318部【答案】BCD【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得樣本中心，進(jìn)而求得a，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，又因?yàn)榛貧w方程為，代入回歸方程，解得，所以，解得，由此知5G手機(jī)的銷量逐月增加，平均每個(gè)月增加約40臺(tái)左右，將代入回歸方程得，因?yàn)?/span>，所以與正相關(guān)，故選：BCD. 三、填空題13．某人射擊8槍命中4槍，這4槍恰有3槍連中的不同種數(shù)為          ．【答案】20【分析】根據(jù)捆綁法及插空法求解即可.【詳解】把連中的三槍看成1個(gè)元素（捆綁），另外命中的一槍看成1個(gè)元素，這2個(gè)元素在其余4個(gè)元素組成的5個(gè)空中插空，共有種插法．故答案為：2014．已知數(shù)列滿足，且，則           .【答案】【分析】根據(jù)遞推式倒推即可解出．【詳解】因?yàn)?/span>，且，所以，解得，，解得，，解得．故答案為：．15．若，則      ．【答案】【分析】令可得，分析可知為展開(kāi)式中的系數(shù)，然后利用二項(xiàng)式定理可求得的值.【詳解】令可得，則，所以，，所以，為展開(kāi)式中的系數(shù)，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以，.故答案為：.16．某校高二學(xué)生的一次數(shù)學(xué)診斷考試成績(jī)（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，記該同學(xué)的成績(jī)為事件，記該同學(xué)的成績(jī)為事件，則在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率         ．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）附參考數(shù)據(jù)：，.【答案】【分析】利用正態(tài)分布性質(zhì)和條件概率公式求解即可.【詳解】由題知，事件為“記該同學(xué)的成績(jī)”，因?yàn)?/span>，，所以，又，所以.故答案為： 四、解答題17．若的展開(kāi)式中，第二?三?四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求的值；(2)此展開(kāi)式中是否有常數(shù)項(xiàng)？若存在，請(qǐng)求出該項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得.（2）根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】（1）由題意得：，，化簡(jiǎn)得：，解得：或（舍去），所以.（2）不存在，理由如下：且，時(shí)，解得，所以展開(kāi)式中不存在常數(shù)項(xiàng).18．等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列, ，且．(1)求與； (2)求和：．【答案】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，，依題意有①————————4分解得或(舍去) 故————6分（2） ——————8分∴——————10分【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，，依題意有①解得或(舍去) 故（2）∴ 19．已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2) .【詳解】試題分析：⑴根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式，⑵利用錯(cuò)位相減法即可求得答案；解析：（1）∵∴∴，∵，，∴是以為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列∴，∴，∴，（2），∴①②①-②得∴.20．近年來(lái)，綠色環(huán)保和可持續(xù)設(shè)計(jì)受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，成為了一種日益普及的生活理念和方式.可持續(xù)和綠色能源，是我們這個(gè)時(shí)代的呼喚，也是我們每一個(gè)人的責(zé)任.某環(huán)?？沙掷m(xù)性食用產(chǎn)品做到了真正的“零浪費(fèi)”設(shè)計(jì)，其外包裝材質(zhì)是蜂蠟.食用完之后，蜂蠟罐可回收用于蜂房的再建造.為了研究蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類的關(guān)系，研究團(tuán)隊(duì)收集了黃?褐兩種顏色的蜂蠟罐，對(duì)兩個(gè)品種的蜜蜂各60只進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)： 黃色蜂蠟罐褐色蜂蠟罐品種蜜蜂4020品種蜜蜂5010(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐是否與蜜蜂種類有關(guān)聯(lián)？(2)假設(shè)要計(jì)算某事件的概率，常用的一個(gè)方法就是找一個(gè)與事件有關(guān)的事件，利用公式：求解，現(xiàn)從裝有只品種蜜蜂和只品種蜜蜂的蜂蠟蠸中不放回地任意抽取兩只，令第一次抽到品種蜜蜂為事件，第二次抽到品種蜜蜂為事件，求（用表示）附：，其中.臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關(guān)聯(lián)；(2) 【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合公式求，比較其與臨界值的大小，由此確定蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步求頻率判斷；（2）由古典概型概率公式和條件概率公式求，再代入所給公式求解.【詳解】（1）根據(jù)列表得，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，蜜蜂進(jìn)入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關(guān)聯(lián)，品種進(jìn)入黃色蜂蠟罐的頻率為，品種進(jìn)入褐色蜂蠟罐的頻率為，品種進(jìn)入黃色蜂蠟罐的頻率為，品種進(jìn)入褐色蜂蠟罐的頻率為，依據(jù)頻率分析，品種的蜜蜂選擇褐色蜂蠟罐的頻率是品種的蜜蜂的兩倍，所以品種的蜜蜂選擇進(jìn)入黃色蜂蠟罐與褐色蜂蠟罐有顯著差異；（2）由已知上式知，則，所以，所以，所以.21．已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見(jiàn)解析；（ii）．【詳解】分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．據(jù)此求解分布列即可，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為．（ii）由題意結(jié)合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A發(fā)生的概率為．點(diǎn)睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1) ；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．22．從集市上買回來(lái)的蔬菜仍存有殘留農(nóng)藥，食用時(shí)需要清洗數(shù)次，統(tǒng)計(jì)表中的表示清洗的次數(shù)，表示清洗次后千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量（單位：微克）．x12345y4.52.21.41.30.6（1）在如圖的坐標(biāo)系中，描出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為清洗次后千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)判斷及下面表格中的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；表中，．320.12100.09-8.70.9（3）對(duì)所求的回歸方程進(jìn)行殘差分析．附：①線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式分別為，；②，說(shuō)明模擬效果非常好；③，，，，．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）擬合效果非常好．【分析】（1）先根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，結(jié)合散點(diǎn)圖給出判斷；（2）根據(jù)，，及相關(guān)公式可求關(guān)于的回歸方程；（3）先求解估計(jì)值與真實(shí)數(shù)據(jù)間的差，根據(jù)公式求出，然后進(jìn)行判斷.【詳解】（1）散點(diǎn)圖如圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可知用作為清洗次后千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量的回歸方程類型．（2）由題知，，故所求的回歸方程為．（3）列表如下：000.10.3-0.32.50.2-0.6-0.7-1.4所以，，，所以回歸模擬的擬合效果非常好．【點(diǎn)睛】本題主要考查回歸分析，散點(diǎn)圖是選擇回歸方程的一個(gè)常用手段，非線性回歸方程的求解一般利用換元法轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，殘差分析是判斷模擬效果的常用方法，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng). 

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