2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市魏縣第五中學(xué)高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若，則在處的導(dǎo)數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入求值即可.【詳解】解：，，.故選：A.2．在展開式中，的系數(shù)為（    ）A．10 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的特征即可求解.【詳解】展開式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為，故選：C3．若的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，則展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知：，所以，故，令得所有項(xiàng)系數(shù)之和為.4．從1，2，3，4，5中不放回地依次選取2個(gè)數(shù)，記事件“第一次取到的是奇數(shù)”，事件“第二次取到的是奇數(shù)”，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出，然后套用公式，即可得到本題答案.【詳解】由題，得表示“第一次和第二次都取到奇數(shù)”的概率，結(jié)果等于，又有，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.5．某中學(xué)高三（1）班有50名學(xué)生，在一次高三模擬考試中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得：數(shù)學(xué)成績，則估計(jì)該班數(shù)學(xué)得分大于120分的學(xué)生人數(shù)為（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A．16 B．10 C．8 D．2【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合題中所給的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)學(xué)成績，所以，因此由所以有，估計(jì)該班數(shù)學(xué)得分大于120分的學(xué)生人數(shù)為，故選：C6．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖像如圖所示，則下列敘述正確的是（    ）①；②函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值；③函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值；④函數(shù)的最小值為.A．③ B．①② C．③④ D．④【答案】A【分析】由的圖像可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，再利用極值和最值的定義逐個(gè)判斷即可【詳解】由的圖像可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．對于①，由題意可得，所以①不正確．對于②，由題意得函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，故②不正確．對于③，由②的分析可得正確．對于④，由題意可得不是最小值，故④不正確．綜上可得③正確．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查由導(dǎo)函數(shù)的圖像判函數(shù)的極值和最值，屬于基礎(chǔ)題.7．已知隨機(jī)變量，且則（    ）A． B．8 C．22 D．24【答案】D【分析】由二項(xiàng)分布的期望公式，結(jié)合期望的性質(zhì)求出的值，再由方差的性質(zhì)和二項(xiàng)分布的方差公式可得答案【詳解】，所以，所以，故.故選：D8．已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的方程，再利用平行線間的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為， ∴當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，設(shè)切點(diǎn)， ，，，， 點(diǎn)，直線的方程為， 兩點(diǎn)間距離的最小值為平行線和間的距離，兩點(diǎn)間距離的最小值為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題. 二、多選題9．設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，則（    ）A． B．，C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)以及參數(shù)函數(shù)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由隨機(jī)變量，隨機(jī)變量知， ，故A正確，B錯誤，由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，對稱軸為,所以，故C正確，由于隨機(jī)變量，均服從正態(tài)分布，且對稱軸均為軸,但是，在正態(tài)密度曲線中，的峰值較高，正態(tài)曲線越瘦高，隨機(jī)變量分布比較集中，所以，故D錯誤，故選：AC10．在網(wǎng)課期間，為了掌握學(xué)生們的學(xué)習(xí)狀態(tài)，某省級示范學(xué)校對高二一段時(shí)間的教學(xué)成果進(jìn)行測試．高二有1 000名學(xué)生，某學(xué)科的期中考試成績(百分制且卷面成績均為整數(shù))Z服從正態(tài)分布，則(人數(shù)保留整數(shù)) （    ）參考數(shù)據(jù)：若，．A．年級平均成績?yōu)?/span>82.5分B．成績在95分以上(含95分)人數(shù)和70分以下(含70分)人數(shù)相等C．成績不超過77分的人數(shù)少于150D．超過98分的人數(shù)為1【答案】ABD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念可知A對，根據(jù)對稱性可知B對，根據(jù)原則和曲線的對稱性即可求解C,D.【詳解】由，可知，所以平均分為，故A對.由于，可知關(guān)于對稱，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知，成績在95分以上(含95分)人數(shù)和70分以下(含70分)的概率相等，進(jìn)而人數(shù)相等，故B對.,因?yàn)?/span>，所以C錯誤.,因?yàn)?/span>，所以超過98分的人數(shù)為1，故D正確.故選:ABD11．截止5月6日，全球不明原因兒童肝炎超300例.在對前期169例病例的研究發(fā)現(xiàn)，74例腺病毒檢測陽性.其中20例新冠病毒檢測陽性，19例腺病毒和新冠病毒均呈陽性，現(xiàn)從前期病例中隨機(jī)抽取2例，記事件為“恰有1例新冠病毒陽性”，事件為“恰有1例腺病毒和新冠病毒均呈陽性”，下列說法錯誤的有：（    ）A．事件的對立事件為“至多有1例新冠病毒陽性”B．C．事件與事件為互斥事件D．事件與事件為獨(dú)立事件【答案】ACD【分析】根據(jù)對立事件的概念可判斷A，利用條件概率公式可判斷B，利用互斥事件的概念可判斷C，利用獨(dú)立事件的概念可判斷D.【詳解】由題可知事件的對立事件為“沒有新冠病毒陽性或恰有2例新冠病毒陽性”，故A錯誤；由條件概率公式可得，故B正確；由題可知事件與事件可以同時(shí)發(fā)生，故C錯誤；由題可知事件與事件相互影響，故D錯誤.故選：ACD.12．已知的展開式的常數(shù)項(xiàng)為16，則（    ）A． B． C．展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為216 D．展開式中的系數(shù)為12【答案】AD【分析】根據(jù)的展開式的常數(shù)項(xiàng)為16，求得，再由，利用通項(xiàng)公式及賦值法求解.【詳解】依題意，，∴.∴，∴展開式中的系數(shù)為，展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故選：AD. 三、填空題13．若，則      ．【答案】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可計(jì)算出結(jié)果．【詳解】．故答案為：．14．某地舉辦黨史知識競賽，已知有15個(gè)參賽名額分配給甲、乙、丙、丁4支參賽隊(duì)伍，其中1支隊(duì)伍分配有7個(gè)名額，余下3支隊(duì)伍都有參賽名額，則這4支隊(duì)伍的名額分配方案有      種．【答案】84【分析】取1支隊(duì)伍獲得7個(gè)名額，余下8個(gè)名額利用隔板法分給另外3支隊(duì)伍，列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，求分配方案數(shù)這件事需兩步，先取1支隊(duì)伍獲得7個(gè)名額，有種方法，把余下的8個(gè)名額分給另外3支隊(duì)伍，每支隊(duì)伍至少1個(gè)名額，由隔板法有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得這4支隊(duì)伍的名額分配方案種數(shù)是.故答案為：8415．曲線的一條切線的斜率為3，則該切線的方程為          ．【答案】【分析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.【詳解】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所求的切線方程為.故答案為：.16．已知曲線與有公共切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為          .【答案】【分析】設(shè)公切線與曲線的切點(diǎn)為，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求和上的切線方程，由所得切線方程的相關(guān)系數(shù)相等列方程求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)公切線與曲線和的切點(diǎn)分別為，，其中，對于有，則上的切線方程為，即，對于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故，即.∴正實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：. 四、解答題17．學(xué)校游園活動有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目:甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,若摸出的白球不少于2個(gè),則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)（1）求在1次游戲中,①摸出3個(gè)白球的概率;②獲獎的概率;（2）求在2次游戲中獲獎次數(shù)的分布列.【答案】（I）（i）；（ii）（II）X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望【詳解】解：(1)①設(shè)“在一次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)，則P(A3)＝·＝.②設(shè)“在一次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3，又P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C21·＝，P(X＝2)＝2＝，所以X的分布列是X 0 1 2 P X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 18．某市為爭創(chuàng)“文明城市”，現(xiàn)對城市的主要路口進(jìn)行“文明騎車”的道路監(jiān)管，為了解市民對該項(xiàng)目的滿意度，分別從不同地區(qū)隨機(jī)抽取了200名市民對該項(xiàng)目進(jìn)行評分，繪制如下頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并計(jì)算這200名市民評分的平均值；(2)用頻率作為概率的估計(jì)值，現(xiàn)從該城市市民中隨機(jī)抽取4人進(jìn)一步了解情況，用表示抽到的評分在90分以上的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；平均分為分(2)分布列答案見解析，期望為1 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為1計(jì)算即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算列的分布列，數(shù)學(xué)期望計(jì)算即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，，由，解得，（分）.（2）評分在90分以上的頻率為，用頻率作為概率的估計(jì)值，現(xiàn)從該城市中隨機(jī)抽取4人可以看成二項(xiàng)分布，,的所有可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列為：01234.19．現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（Ⅰ）求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（Ⅱ）求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；（Ⅲ）用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）（3）【詳解】解：依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件(i＝0,1,2,3,4)，則（Ⅰ）這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率 （Ⅱ）設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則，由于與互斥，故所以，這4個(gè)人去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為 （Ⅲ）ξ的所有可能取值為0,2,4.由于與互斥，與互斥，故，．所以ξ的分布列是ξ024P隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望【解析】1.離散型隨機(jī)變量的期望與方差；2.相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；3.離散型隨機(jī)變量及其分布列． 20．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線方程為．（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性，并求的極大值．【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線在點(diǎn)處切線方程為，建立方程，即可求得，的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得的單調(diào)性，從而可求的極大值．試題解析：（1）．由已知得，．故，．從而，．（2）由（1）知，，．令得，或．從而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為．【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【方法點(diǎn)晴】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．求極值的步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)，那么在處取極大值，如果左負(fù)右正，那么在處取極小值． 21．2022年4月16日9時(shí)56分，在太空遨游半年的神舟十三號飛船在東風(fēng)著陸場成功著陸，這標(biāo)志著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段的最后一次飛行任務(wù)取得圓滿成功．為了讓師生關(guān)注中國航天事業(yè)發(fā)展，某校組織航天知識競賽活動，比賽共25道必答題，答對一題得4分，答錯一題倒扣2分，學(xué)生甲參加了這次活動，假設(shè)每道題甲能答對的概率都是，且每道題答對與否互不影響．(1)求甲前3題得分之和大于0的概率；(2)設(shè)甲的總得分為，求．【答案】(1)(2)70 【分析】（1）依題意他答對2題或3題，按照相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）設(shè)甲答對的題的個(gè)數(shù)為，則，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求出，即可得到；【詳解】（1）解：甲前3題得分之和大于0，則他答對2題或3題，概率為．（2）解：設(shè)甲答對的題的個(gè)數(shù)為，由題意知，所以，所以．22．已知，函數(shù)（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求在閉區(qū)間上的最小值．【答案】（1）. （2）【分析】（1）由題求處的切線方程，可由求切線方程的步驟，先求出導(dǎo)數(shù)，再求出該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即斜率，代入點(diǎn)斜式可得；（2）先求導(dǎo)，再求極值，最后與區(qū)間端點(diǎn)值比較可得．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以. 又因?yàn)?/span>f（2）＝4，  所以切線方程為，即.（2）記為在閉區(qū)間上的最小值．．令，得到. 因?yàn)?/span>，所以x01a2a ＋0－0＋ 0單調(diào)遞增極大值3a－1單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增 比較和的大小,可得. 

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