2022-2023學(xué)年河北省邯鄲市魏縣第五中學(xué)高二下學(xué)期開學(xué)返校數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．點P在函數(shù)的圖像上，若滿足到直線的距離為的點P有且僅有3個，則實數(shù)a的值為（    ）A．5或 B．1或3 C．1 D．5【答案】D【分析】在曲線的點作切線，使得此切線與直線平行，得，進而根據(jù)題意得點到直線的距離為時滿足條件，根據(jù)點到直線的距離公式得或，再結(jié)合圖形分析即可得答案.【詳解】過函數(shù)的圖象上點作切線，使得此切線與直線平行，因為，于是，所以，∴，于是當(dāng)點到直線的距離為時，則滿足到直線的距離為的點P有且僅有3個，∴ ，解得或，又當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線不相交（如圖），從而只有一個點到直線距離為，所以不滿足；當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線相交，滿足條件.故選：D．2．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的有（    ）A．不等式的解集為B．函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減C．當(dāng)時，總有f(x)>g(x)恒成立D．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（0，1）【答案】A【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，求出的解析式，再求出的導(dǎo)數(shù)，對于A，直接解不等式即可，對于B，的導(dǎo)數(shù)的正負可求出其單調(diào)區(qū)間，對于C，，則令，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值，對于D，由題意得有2個零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與有兩個交點，從而可求出的范圍【詳解】由（），得，則（），所以（），對于A，由，得（），則，得，所以不等式的解集為，所以A正確，對于B，（），由，得，由，得，所以在上遞增，在上遞減，所以B錯誤，對于C，，令，，則，，當(dāng) 時，，所以在上遞增，所以，所以在上遞減，因為，所以，所以，所以C錯誤，對于D，若函數(shù)有兩個極值點，則有2個零點，即，，令，則，所以在上遞增，在上遞減，因為，時，都有，所以，得，所以D錯誤，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)解決極值問題，解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題3．如圖，在正方體中，點分別是棱上的動點．給出下面四個命題①直線與直線平行；②若直線與直線共面，則直線與直線相交；③直線到平面的距離為定值；④直線與直線所成角的最大值是．其中，真命題的個數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用特殊位置可判斷①②的正誤，可證明平面，據(jù)此可判斷③的正誤，利用向量的數(shù)量積可求夾角的余弦值，從而可求其最大值．【詳解】如圖1，當(dāng)與重合時，與重合時，直線與直線是異面直線，故①錯誤．如圖2，當(dāng)與重合時，與重合時，四邊形為矩形，故直線與直線平行，故②錯誤．因為平面平面，而平面，故平面，所以直線到平面的距離為定值（正方體的棱長），故③正確．建立如圖3所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為，則，，其中，而，故， ，設(shè)直線與直線所成角為，則，若直線與直線不平行，則，故，故直線與直線所成角的最大值是，所以④正確．故選：B．【點睛】方法點睛：空間中與直線與直線的位置關(guān)系有關(guān)的判斷，應(yīng)該讓幾何對象動態(tài)變化，在變化過程中確定位置關(guān)系，而角的最值判斷，則需構(gòu)建平面角，也可以通過直線的方向向量的夾角來處理．4．已知拋物線的焦點為F，直線的斜率為且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于點A、B兩點（點A在第一象限），與拋物線的準線交于點D，若，則以下結(jié)論不正確的是（    ）A． B．F為的中點C． D．【答案】D【分析】設(shè)出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，求得兩點的坐標，根據(jù)求得，求得點的坐標，從而確定正確選項.【詳解】依題意，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，解得，所以，所以，A選項正確.直線的方程為，令，則，故，由于，，所以是的中點，B選項正確，，，，C選項正確，D選項錯誤.故選：D5．若，恒成立，則a的最大值為（    ）A． B．1 C．e D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)可得、，當(dāng)易知，當(dāng)時構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得，即可知在上恒成立，構(gòu)造并研究求其最小值即可得a的最大值.【詳解】由，，由，①若，，此時滿足；②若，令，在恒成立，∴在單調(diào)遞增，而，∴在恒成立，綜上，在恒成立，，令，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴，即有．故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)恒成立得到、，討論、判斷的大小關(guān)系，進而求a的最值.6．在平行六面體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)建基向量，，表示，并根據(jù)向量的夾角公式求其夾角的余弦值即可.【詳解】如下圖，構(gòu)建基向量，，.則，所以所以.故選：C.7．過點(2，4)的直線與拋物線y2＝8x只有一個公共點，這樣的直線有（    ）A．1條 B．2條C．3條 D．4條【答案】B【分析】根據(jù)題意，判斷點(2，4)是否在拋物線上，即可求解.【詳解】因點(2，4)在拋物線y2＝8x上，所以過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點.故選B.8．已知橢圓的左、右焦點分別是，若橢圓C的離心率，則稱橢圓C為“黃金橢圓”．O為坐標原點，P為橢圓C上一點，A和B分別為橢圓C的上頂點和右頂點，則下列說法錯誤的是（    ）A．a，b，c成等比數(shù)列 B．C． D．若軸，則【答案】D【分析】對于A,根據(jù)離心率公式，驗證即可;對于B, 根據(jù)勾股定理以及離心率公式判斷B是否正確；對于C,根據(jù)A的結(jié)論，即可驗證;對于D, 根據(jù)結(jié)合斜率公式以及離心率公式判斷D是否正確；【詳解】對于A,,,故a,b,c成等比數(shù)列,故A正確;對于B, 因為，所以即，，所以，故，故B正確；對于C,要證，只需證，只需證，即，只需證，由A得，顯然成立，故C正確;對于D，軸，且，所以，，所以，解得，所以，故D不正確．故選：D． 二、多選題9．已知等比數(shù)列的公比為2，且，，成等差數(shù)列，則下列命題正確的是（    ）A．； B．，，成等差數(shù)列C．是等比數(shù)列； D．，，，，，成等差數(shù)列【答案】BC【分析】求出數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的和，判斷選項的正誤即可．【詳解】由，，成等差數(shù)列，可得，，，所以不正確；，，，，成等差數(shù)列，所以正確；，所以，所以是等比數(shù)列，所以正確；若，，即，，成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，，即，顯然左邊奇數(shù)，右邊偶數(shù)，不相等，錯誤；故選：．10．若函數(shù)的值域為，則（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】利用分段函數(shù)定義確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，確定的取值范圍，判斷AB，再引入新函數(shù)判斷與的大小，判斷C，引入新函數(shù)，確定單調(diào)性后判斷D．【詳解】時，，，單調(diào)遞增，∴，A正確；時，，，單調(diào)遞減，∴，∵值域是，∴，B正確；設(shè)，則，當(dāng)時，．單調(diào)遞增，∴，即，又，而在遞減，∴，C錯；設(shè)，則，令，則在時恒成立，在上單調(diào)遞增，因此時，，，∴是減函數(shù)，又，∴，即，，D正確．故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性確定函數(shù)的值域．解題關(guān)鍵是通過導(dǎo)數(shù)確定分段函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，確定出參數(shù)的范圍，利用單調(diào)性可判斷函數(shù)值的大小，同時引入新函數(shù)后確定單調(diào)性是判斷CD的關(guān)鍵．11．下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的是（    ）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，2【答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐項分析即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得：A中，滿足(常數(shù))，所以是等差數(shù)列；B中，滿足(常數(shù))，所以是等差數(shù)列；C中，因為，不滿足等差數(shù)列的定義，所以不是等差數(shù)列；D中，滿足(常數(shù))，所以是等差數(shù)列.故選：ABD.12．若橢圓的焦距是2，則的值是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】AC【分析】分橢圓的焦點在軸和軸上兩種情況討論得解.【詳解】解：當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，，，.又因為，所以.所以，所以；當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，，，所以，所以.故選：AC 三、填空題13．?dāng)?shù)列中，若，，則___________.【答案】##1.9【分析】依題意可得，再利用累乘法求出數(shù)列的通項公式，最后利用裂項相消法求和即可；【詳解】解：因為，所以，所以，，，，，累乘可得即，因為，所以，所以故答案為：14．若函數(shù)恰有兩個極值點，則k的取值范圍是______．【答案】【分析】求導(dǎo)得有兩個極值點等價于函數(shù)有一個不等于1的零點，分離參數(shù)得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并作出的圖象，根據(jù)圖象即可得出k的取值范圍．【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，解得或，若函數(shù)有2個極值點，則函數(shù)與圖象在上恰有1個橫坐標不為1的交點，而，令，令或，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，如圖所示，由圖可得.故答案為：15．已知雙曲線的左、焦點為、，點為雙曲線的漸近線上一點，，若直線與圓相切，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】作出圖形，設(shè)與圓相切于點，分析出，可求得的值，進而可得出雙曲線的離心率為，即可得解.【詳解】如下圖所示，設(shè)與圓相切于點，則，，則，，則，為的中點，則為的中點，，由直角三角形的性質(zhì)可得，因為為的中點，則，由于雙曲線的兩漸近線關(guān)于軸對稱，可得，所以，，則，所以，，則，因此，雙曲線的離心率為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.16．操場上站成一排的100名學(xué)生進行報數(shù)游戲，規(guī)則是：每位同學(xué)依次報自己的順序數(shù)的倒數(shù)加1．如：第一位同學(xué)報，第二位同學(xué)報，第三位同學(xué)報，……這樣得到的100個數(shù)的積為__________．【答案】101【分析】用數(shù)學(xué)符號表示出每位同學(xué)的報數(shù)，再直接相乘即可.【詳解】設(shè)第位同學(xué)的報數(shù)為，則，則；故答案為：101. 四、解答題17．已知雙曲線為右焦點.(1)求雙曲線的漸近線方程及兩條漸近線所夾的銳角；(2)當(dāng)時，設(shè)過點的直線與雙曲線交于點，且的面積為，求直線的斜率.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）首先令得出漸近線方程，進而求出所夾的銳角；（2）將直線方程代入到雙曲線方程消去x并化簡，進而利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合三角形面積公式求得答案.【詳解】（1）由題意，令，得，所以雙曲線的漸近線方程為，易得它們所夾的銳角為.（2）當(dāng)時，可得雙曲線.已知直線經(jīng)過點，可設(shè)直線方程為.設(shè)，聯(lián)立得，化簡得或且，所以，又，所以三角形面積，即，解得或，滿足題意，所以當(dāng)時，或.【點睛】當(dāng)在思考三角形面積這一步時，我們就應(yīng)該想到用到根與系數(shù)的關(guān)系，接下來就是運算問題.需要注意的是，我們不能盲目地每道題都一開始就寫出根與系數(shù)的關(guān)系，而應(yīng)該結(jié)合題目的具體要求，這道題到底需要求什么，那我們就應(yīng)該先求出什么.18．已知橢圓的離心率為；是的左焦點，直線與相交于，兩點，直線與的另一交點為，直線與的另一交點為.當(dāng)時，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：直線經(jīng)過定點.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由時，的面積為3以及離心率為解方程即可求得的方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓方程求得，，表示出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程求得M坐標，同理求得坐標，利用，即可證明直線經(jīng)過定點.【詳解】（1）當(dāng)時，軸，且，則.聯(lián)立解得.故的方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組整理得，則，.直線的方程為，聯(lián)立方程組整理得，則，則，.同理可得，，，則，故直線經(jīng)過定點.【點睛】本題關(guān)鍵點在于用表示出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程求得M坐標，同理求得坐標，再利用斜率相等，即即可證明直線經(jīng)過定點.19．（1）圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過兩點，求圓C的方程；（2）圓C經(jīng)過三點，求圓C的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的中垂線方程，再求出其與x軸的交點，從而可得圓心坐標，然后可求出圓的半徑，進而可求出圓的方程；（2）設(shè)圓的方程為，然后將三個點的坐標代入可求出的值，從而可求出圓的方程.【詳解】（1）的中點為，因為，所以線段的中垂線的斜率為，所以線段的中垂線的方程為，當(dāng)時，，則圓心為，所以圓的半徑為，所以所求圓的方程為；（2）設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為.20．如圖，正三棱柱的棱長都為2，D為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小；（3）求點C到平面的距離．【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.【分析】（1）以BC的中點O為原點，建立空間直角坐標系，求得的坐標，由證明；（2）由（1）知：是平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，由求解；（3）根據(jù)，由求解.【詳解】（1）以BC的中點O為原點，建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，因為，且，所以平面；（2）由（1）知：是平面的一個法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，因為，所以；（3）因為，則點C到平面的距離為．21．若函數(shù).(1)判斷方程解的個數(shù)，并說明理由；(2)當(dāng)，設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)僅有一個，理由見解析；(2)答案見解析. 【分析】（1）由題可得，進而可得函數(shù)的極大值為，即得；（2）由題可得，分，，討論即得.【詳解】（1）方程僅有一個解，因為，所以，令可解得，所以單調(diào)性如下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減 又，即的極大值為，所以方程僅有一個解；（2）因為，所以，令可得或分類討論如下：（i）當(dāng)時，所以的單調(diào)性如下單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增 所以的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；（ii）當(dāng)時，，此時恒成立所以的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間（iii）當(dāng)，，所以的單調(diào)性如下單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增 所以的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.22．設(shè)函數(shù)．（1）求的最小值；（2）設(shè)，證明：有唯一極小值點，且．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）求出，令、可得的單調(diào)增區(qū)間及極值；   （2），求出由導(dǎo)數(shù)得出在單調(diào)遞增，且，存在唯一，使得,再利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】（1）因為，所以，             令得；令得．所以的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．      所以當(dāng)時，得極小值；所以的最小值為．         （2）證明：因為，所以，           所以，令，，時，，在單調(diào)遞增，，所以存在唯一，使得，即．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以有唯一極小值點．     所以，    記函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，             所以，即． 

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