?2022-2023學(xué)年福建省寧德市福鼎第六中學(xué)高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（????）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】可先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令求出即可.
【詳解】由，
令得，
解得.
故選：B.
2．下列說法正確的是（????）
A．若向量、共線，則向量、所在的直線平行；
B．若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線；
C．若直線l的方向向量為，平面的法向量，則l；
D．若、、是空間三個向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.
【答案】B
【分析】根據(jù)空間直線與直線和直線與平面的位置關(guān)系和空間向量基本定理依次判斷選項即可得到答案.
【詳解】對選項A，若向量、共線，則向量、所在的直線平行或重合，故A錯誤.
對選項B，因為向量、所在的直線是異面直線，所以向量、一定不共線，
故B正確.
對選項C，因為無法判斷直線是否在平面內(nèi)，故C錯誤.
對選項D，只有、、三個向量不共面時，才有，故D錯誤.
故選：B
3．如表為今年某商家1月份至6月份的盈利（萬元）與時間（月份）的關(guān)系，其中，其對應(yīng)的回歸方程為，則下列說法正確的是（????）

1
2
3
4
5
6

0.3

2.2


4.5
A．與負相關(guān)
B．
C．回歸直線可能不經(jīng)過點
D．今年10月份的盈利大約為6.8萬元
【答案】D
【分析】，與正相關(guān)，A錯誤，計算中心點帶入計算得到B錯誤，回歸直線一定經(jīng)過中心點，C錯誤，帶入數(shù)據(jù)計算得到D正確，得到答案.
【詳解】對選項A：回歸方程為，，與正相關(guān)，錯誤；
對選項B：，，故，解得，錯誤；
對選項C：回歸直線一定經(jīng)過點，錯誤；
對選項D：，當(dāng)時，，正確.
故選：D
4．北京冬奧會奧運村有智能餐廳和人工餐廳各一個，某運動員連續(xù)兩天均在奧運村用餐且每一天均在同一個餐廳用餐．他第一天等可能地隨機選擇其中一個餐廳用餐．若他第一天去智能餐廳，那么第二天去智能餐廳的概率為0.7；如果他第一天去人工餐廳，那么第二天去人工餐廳的概率為0.2．則該運動員第二天去智能餐廳用餐的概率為（????）
A．0.45 B．0.14 C．0.75 D．0.8
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由全概率公式，代入計算即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)“第1天去智能餐廳用餐”，“第1天去人工餐廳用餐”，“第2天去智能餐廳用餐”，則，且與互斥，
根據(jù)題意得：，，，
由全概率公式得，
故選：C．
5．已知函數(shù)，分別與直線交于點，，則的最小值為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依題意，表示出兩點坐標和，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)區(qū)間和最值.
【詳解】??
由題意，， ，其中，且，
所以，令，，
則時，解得，
所以時，；時，；
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，
故選：B．
6．如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（????）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和向量的數(shù)量積的定義即可求解.
【詳解】設(shè)，，，
因為向量不共面，故可構(gòu)成空間的一組基底，
結(jié)合，，，，，
所以=0，，，
則，，
可得
，
，

，
所以，
又因為異面直線所成角的范圍是，
所以與所成角的余弦值為.
故選：B.
7．已知函數(shù)，若方程恰有四個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】運用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性及圖象趨近，進而畫出其圖象觀察即可.
【詳解】因為當(dāng)時，，
則，
，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞增，
，當(dāng)時，，
綜上，的圖象如圖所示，
??
因為，
所以或，
又因為恰有4個不等的實根，且，
所以恰有3個不等的實根，
即恰有3個不同的交點，
所以由圖象可知，.
故選：A.
8．已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項質(zhì)量指標引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取N個，這N個零件中恰有K個的質(zhì)量指標ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計值，則N為（????）
A．45 B．53 C．54 D．90
【答案】B
【分析】由已知可推得，，根據(jù)已知以及正態(tài)分布的對稱性，可求得.則，，設(shè)，求出函數(shù)的最大整數(shù)值，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，.
又，
所以，，.
設(shè)，
則，
所以，，所以.
，
所以，，所以.
所以，以使得最大的N值作為N的估計值，則N為.
故選：B.
【點睛】思路點睛：由正態(tài)分布求出概率，然后根據(jù)已知，可得，得出，利用函數(shù)求出的最大值.

二、多選題
9．下列命題正確的是（????）
A．回歸直線恒過樣本點的中心，且至少過一個樣本點
B．在回歸直線方程中，變量與x正相關(guān)
C．變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)越大，表示它們的線性相關(guān)性越強
D．在回歸分析中，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好
【答案】BC
【分析】根據(jù)變量之間相關(guān)關(guān)系的有關(guān)概念，回歸直線的特征，回歸分析中相關(guān)系數(shù)和線性相關(guān)性的關(guān)系，殘差平方和和模型的擬合效果的關(guān)系即可判斷．
【詳解】對于A，回歸直線恒過樣本點的中心，但可以不經(jīng)過任何一個樣本點，A錯誤；
對于B，在回歸直線方程中，，所以變量與x正相關(guān)，B正確；
對于C，變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)越大，越靠近，表示它們的線性相關(guān)性越強，C正確；
對于D，在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，D錯誤．
故選：BC．
10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（????）
A． B．的最大值是
C．有兩個不等實根 D．
【答案】AC
【分析】對于選項A，先求，再把代入即可計算；對于選項B，由導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，即可知在處有最大值；對于選項C，把方程變形為，構(gòu)造函數(shù)，討論的單調(diào)性和最值，從而得到有兩個不等實根；對于選項D，把轉(zhuǎn)化為，即,再由函數(shù)的單調(diào)性得，從而得到結(jié)論.
【詳解】對于選項A，因為，所以,所以
故選項A正確.
對于選項B，因為，
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，
所以在處有最大值，
故選項B錯誤.
對于選項C，由得，易知.
方程化為，即，即，
即，即，
令，則，
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，
所以在處有最大值，所以存在，使.
又因為，
所以存在，使.
所以方程有兩個不等實根.
故選項C正確.
對于選項D，因為在單調(diào)遞減，
所以，即，所以
故選項D錯誤.
故選：AC
11．已知10件產(chǎn)品中存在次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為，，，則下列說法正確的是（????）
A．這10件產(chǎn)品的次品率為20% B．次品數(shù)為8件
C． D．
【答案】ACD
【分析】假設(shè)次品為件，由求得次品及次品率，再分別求的，即可得出結(jié)果.
【詳解】假設(shè)10件產(chǎn)品中存在次品為件，從中抽取2件，
，則次品數(shù)為2件，B錯誤；
這10件產(chǎn)品的次品率為，A正確；
10件產(chǎn)品中存在2件次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，
；
則，C正確；
，D正確.
故選：ACD.
12．如圖，已知正方體的棱長為，為底面內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列結(jié)論正確的是（????）．

A．三棱錐的體積為定值
B．存在點，使得
C．若，則點在正方形底面內(nèi)的運動軌跡長為
D．若點是的中點，點是的中點，過，作平面平面，則平面截正方體的截面面積為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)等體積法可計算出三棱錐的體積，可判斷選項A，建立空間直角坐標系，寫出對應(yīng)點的坐標與向量的坐標，設(shè)，根據(jù)垂直得向量數(shù)量積為列式，從而判斷選項B，C，利用線面垂直的判定定理得平面，再證明四點共面，從而得平面，再由面面平行的性質(zhì)可得平面截正方體的截面為正六邊形，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)計算面積即可判斷選項D.
【詳解】對于A，由等體積法，三棱錐的高為，
底面積，所以，
所以三棱錐的體積為定值，A正確；
對于B，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)，，，，，，
，，
若，則，
即，取，此時點與點重合，滿足題意，
所以存在點，使得，B正確；

對于C，，若，
，即，
所以點的軌跡就是線段，
軌跡長為，C錯誤；
對于D，如圖取中點，連接，
由題可得，平面，
連接，因為，平面，
則，，又，????
平面，則平面，
又取中點為，則，
有四點共面，則平面即為平面，
又由兩平面平行性質(zhì)可知，，，，
又都是中點，故是中點，是中點，
則平面截正方體的截面為正六邊形，
又正方體棱長為，則，
故截面面積為，D正確.
故選：ABD


三、填空題
13．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F(xiàn)分別為線段AB，CD的中點，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如圖2所示的立體圖形．在線段EC上存在點G，使得AG∥平面CDF．以E為坐標原點，的方向為x軸的正方向建立空間直角坐標系E-xyz，則平面CDF的一個法向量 ．

【答案】（答案不唯一）
【分析】以E為坐標原點，的方向為x軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法得出平面CDF的一個法向量.
【詳解】解：以E為坐標原點，的方向為x軸的正方向建立空間直角坐標系E-xyz，

由題意得A（0，0，2），C（2，4，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0），
，
設(shè)平面CDF的一個法向量為，
則，取x=-1，得，
故答案為：（答案不唯一）
14．一個袋子中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中2個白球，3個黑球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，每次取一個球，取到白球記2分，取到黑球記0分，記4次取球的總分數(shù)為，則的方差 ．
【答案】/
【分析】記4次取到白球的個數(shù)為，則，可求得，結(jié)合方差的性質(zhì)即可求得答案.
【詳解】由題意得從袋子中有放回地隨機取球4次，每次取一個球，取到白球的概率為,
記4次取到白球的個數(shù)為，則，則,
故,則,
故答案為：
15．某種機械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”.某種機械設(shè)備的使用年限x（單位：年）與失效費y（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：
使用年限x（單位：年）
1
2
3
4
5
6
7
失效費y（單位：萬元）
2.90
3.30
3.60
4.40
4.80
5.20
5.90
由上表數(shù)據(jù)可知，y與x的相關(guān)系數(shù)為 .
（精確到0.01，參考公式和數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】0.99
【分析】分別求出，，，再利用參考公式和數(shù)據(jù)計算即可.
【詳解】由題意，知，
，
.
所以.
所以y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.99.
故答案為：0.99.
16．已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將原不等式化為并構(gòu)造，依據(jù)單調(diào)性知恒成立，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求最值，即可求范圍.
【詳解】由得，即：
令，則．
∵為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴，即恒成立．
令，則，
故在上，在上，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
∴，故，即.
故答案為：

四、解答題
17．某學(xué)校開展消防安全教育活動，邀請消防隊進校園給師生進行培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后抽取了部分學(xué)生進行消防安全知識測試（滿分100分），所得分數(shù)統(tǒng)計如表①所示，并按照學(xué)生性別進行分類，所得數(shù)據(jù)如表②所示.
得分





人數(shù)
50
100
200
400
250
表①

男生
女生
得分不低于80分
4a
b
得分低于80分
a
b
表②
(1)估計這次測試學(xué)生得分的平均值；（每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點值為代表）
(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否判斷男生和女生對消防安全知識的掌握情況有差異？
參考公式：.
參考數(shù)據(jù)：

0.01
0.005
0.001

6.635
7.879
10.828
【答案】(1)82
(2)能判斷男生和女生對消防安全知識的掌握情況有差異.

【分析】（1）根據(jù)每一組的頻率，以及每組的中間值，代入公式求平均數(shù)；
（2）根據(jù)數(shù)據(jù)，結(jié)合列聯(lián)表，計算求得的值，再根據(jù)參考公式求，和參考數(shù)據(jù)對比后，即可判斷.
【詳解】（1）依題意，估計平均值為.
（2）依題意，，解得，
可得列聯(lián)表：

男生
女生
總計
得分不低于80分
400
250
650
得分低于80分
100
250
350
總計
500
500
1000
則，
故依據(jù)的獨立性檢驗，能判斷男生和女生對消防安全知識的掌握情況有差異.
18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，側(cè)面底面ABCD，，且二面角的大小是．

(1)證明：；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)面面垂直可得線線垂直，進而由線線垂直證明線面垂直，即可得直線與直線的垂直，
（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解二面角.
【詳解】（1）側(cè)面底面ABCD，且交線為,又平面,所以底面ABCD,
由于底面ABCD,故 ,
又,平面,所以平面,
由于平面,因此,
（2）由于， ，所以即為二面角的平面角，所以，故三角形為等腰直角三角形，,
由于兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標系，
則.
所以
設(shè)平面的法向量分別為，
則 ，取 ，則，
，取 ，則，
設(shè)二面角的平面角為 ，則
，
所以二面角的正弦值為

19．已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；
(2)若，是函數(shù)的兩個極值點，求的取值范圍，并證明：．
【答案】(1)
(2)，證明見解析

【分析】（1）先求出切點，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，即可求出切線方程；
（2）由有兩個極值點，則在有兩個不相等的實數(shù)根，得出的取值范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出，，代入，得出，結(jié)合即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
所以，，
所以函數(shù)的圖像在處的切線方程為，即．
（2）因為，
所以，
由題意知是方程在內(nèi)的兩個不同的實數(shù)解，
令，
又，且函數(shù)圖像的對稱軸為直線，
所以只需，
解得，即實數(shù)的取值范圍為，
由是方程的兩根，
得，，
故
，
又，
所以．
20．藥監(jiān)部門要利用小白鼠扭體實驗，對某廠生產(chǎn)的某藥品的鎮(zhèn)痛效果進行檢測．若用藥后的小白鼠扭體次數(shù)沒有減少，扭體時間間隔沒有變長，則認定鎮(zhèn)痛效果不明顯．
（1）若該藥品對雌性小白鼠鎮(zhèn)痛效果明顯的概率為，對雄性小白鼠鎮(zhèn)痛效果明顯的概率為，藥監(jiān)部門要利用2只雌性和2只雄性小白鼠檢測該藥藥效，對4只小白鼠逐一檢測．若在檢測過程中，1只小白鼠用藥后鎮(zhèn)痛效果明顯，記錄積分為1，鎮(zhèn)痛效果不明顯，則記錄積分為-1．用隨機變量表示檢測4只小白鼠后的總積分，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）若該藥品對每只雌性小白鼠鎮(zhèn)痛效果明顯的概率均為，現(xiàn)對6只雌性小白鼠逐一進行檢測，當(dāng)檢測到鎮(zhèn)痛效果不明顯的小白鼠時，停止檢測．設(shè)至少檢測5只雌性小白鼠才能發(fā)現(xiàn)鎮(zhèn)痛效果不明顯的概率為，求最大時的值．
【答案】（1）答案見解析；；（2）.
【解析】（1）根據(jù)題意，得到隨機變量的可能取值為，結(jié)合獨立事件的概率乘法的計算的公式，求得相應(yīng)的概率，得出隨機變量的分布列，利用公式求得其期望；
（2）應(yīng)根據(jù)題意，得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，進而得到答案.
【詳解】（1）由題意，隨機變量的可能取值為，
其中，
，
，
，
．
所以隨機變量的分布列為：

-4
-2
0
2
4






所以．
（2）由題意知，
，
令，即，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，最大．
【點睛】求離散型隨機變量的期望與方差的基本方法：
1、已知隨機變量的分布列，求其期望與方差，可直接利用公式求解；
2、已知隨機變量的期望、方差，求的線性函數(shù)的期望與方差，可直接利用的期望與方差的性質(zhì)求解；
3、若能分析所給的隨機變量服從常用的分布（如：兩點分布，二項分布等），可直接利用常見分布列的期望與方差的公式求解.
21．如圖，在多面體中，平面平面.四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，是邊長為1的等邊三角形，為線段三等分點（靠近點），.

(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在點，

【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面，從而證得；
（2）先證得，，兩兩垂直，再建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，從而求得與平面的一個法向量，由此可求得直線與平面所成角的正弦值；
（3）假設(shè)存在，先利用面面平行的判定定理證得面面，再利用面面平行的性質(zhì)定理證得，從而由推得點的位置.
【詳解】（1）證明：因為為正方形，所以，平面，
又因為平面平面，且平面平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）取中點，中點，連接，.
因為是等邊三角形，所以，
在正方形中，易得，
又面面，面面，，面，
故平面，平面，進而，即，，兩兩垂直；
分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，，，
.
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
令，則，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
；
（3）因為且平面，平面，
所以平面，
假設(shè)平面，又面，
所以面面，又面面，面面，
所以，
設(shè)，，
則，故，
所以，又，
由得，
解得，
所以線段上存在點，使得直線平面，且.
22．已知函數(shù).
(1)若，求的極值；
(2)，若函數(shù)有兩個零點，且，求證：.
【答案】(1)極大值為，無極小值；
(2)證明見解析.

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出的極值作答.
（2）根據(jù)函數(shù)零點的意義，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個交點，求出，再借助零點建立兩個方程消去a，構(gòu)造函數(shù)證明即可作答.
【詳解】（1）當(dāng)時，定義域為，
求導(dǎo)得，
令，
求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，取得極大值，無極小值，
所以的極大值為，無極小值.
（2）依題意，，，因為函數(shù)有兩個零點，且，
而，則，
因此函數(shù)的兩個零點分別是直線與函數(shù)圖象的兩個交點橫坐標，
，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
而，時，恒有，時，，于是，即，
令，顯然有，
則有，令，
求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
即有，從而，又，所以.
【點睛】思路點睛：涉及雙變量的不等式證明問題，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

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福建省寧德市福鼎市第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次考試數(shù)學(xué)試題：

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2022-2023學(xué)年福建省寧德市高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題含答案：

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2022-2023學(xué)年福建省寧德市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（B卷）含答案：

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