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C. D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9. 已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則( )A. 的最小值為
B. 在單調(diào)遞增
C. 直線與曲線相切
D. 直線與曲線相切10. 已知拋物線：的焦點(diǎn)為，，為上兩點(diǎn)，則下列說法正確的是( )A. 若，則的最小值為
B. 若，記，則
C. 過點(diǎn)與只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有兩條
D. 以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，則直線過11. 在正三棱臺中，，，，，，過與平行的平面記為，則下列命題正確的是( )A. 四面體的體積為 B. 四面體外接球的表面積為
C. 截棱臺所得截面面積為 D. 將棱臺分成兩部分的體積比為12. 數(shù)列，，，該數(shù)列為著名的斐波那契數(shù)列，它是自然界的產(chǎn)物揭示了花瓣的數(shù)量、樹木的分叉、植物種子的排列等植物的生長規(guī)律，則下面結(jié)論正確的是( )A. B.
C. 數(shù)列為等比數(shù)列 D. 數(shù)列為等比數(shù)列三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 已知函數(shù)為偶函數(shù)，則 ．14. 已知函數(shù)具有下列三個(gè)性質(zhì)：圖象關(guān)于對稱；在區(qū)間上單調(diào)遞減；最小正周期為，則滿足條件的一個(gè)函數(shù) ______ ．15. 已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______ ．16. 已知，分別為圓與圓上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面的最大值為______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 本小題分
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
若，證明：數(shù)列為等差數(shù)列
若，，求的最小值．18. 本小題分
在銳角三角形中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
求角的大小；
若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，求面積的最大值．19. 本小題分
在梯形中，，，為的中點(diǎn)，將沿折起至的位置，且．
求證：平面平面；
判斷在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面成角的正弦值為若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．
20. 本小題分
為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“青春向黨百年路，奮進(jìn)學(xué)習(xí)二十大”知識競賽活動(dòng)，并從中抽取了份試卷進(jìn)行調(diào)查，這份試卷的成績卷面共分頻率分布直方圖如圖．
用樣本估計(jì)總體，求此次知識競賽的平均分同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表；
可以認(rèn)為這次競賽成績近似地服從正態(tài)分布用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為，的近似值，已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差，如有的學(xué)生的競賽成績高于學(xué)校期望的平均分，則學(xué)校期望的平均分約為多少結(jié)果取整數(shù)？
從的試卷中用分層抽樣的方法抽取份試卷，再從這份樣本中隨機(jī)抽測份試卷抽測的份數(shù)是隨機(jī)的，若已知抽測的份試卷都不低于分，求抽測份的概率．
參考數(shù)據(jù)：若，則，，．
21. 本小題分
已知雙曲線：，直線在軸上方與軸平行，交雙曲線于，兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)當(dāng)經(jīng)過的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
求的方程；
設(shè)的中點(diǎn)為，是否存在定直線，使得經(jīng)過的直線與交于，，與線段交于點(diǎn)，，均成立若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．22. 本小題分
已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
討論的單調(diào)性；
當(dāng)時(shí)，有且只有兩根，
若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
證明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，，
故A．
故選：．
根據(jù)已知條件，先求出集合，，再結(jié)合交集的定義，即可求解．
本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以，
故的虛部是．
故選：．
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，即可確定答案．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】 【解析】解：個(gè)小球放入個(gè)盒子，沒有空盒子，則有兩個(gè)小球放入同一個(gè)盒子，因此分為兩類：
第一類：號小球與另一小球共同放入一個(gè)盒子，分步：
第步，從號、號、號個(gè)小球中，選出個(gè)小球，有種方法；
第步，將號小球與第步選出的小球放入與選出小球標(biāo)號不同的盒子中，有種方法；
第步，剩余的個(gè)小球，其中個(gè)，與剩余的兩個(gè)空盒其中的個(gè)標(biāo)號相同，只有方法放置，
號小球與另一小球共同放入一個(gè)盒子，有種方法，
例如：第步，選出號球；第步，將號、號小球放入號盒；第步，號小球放入號盒，號小球放入號盒，
第二類：號小球單獨(dú)放入一個(gè)盒子，分步：
第步，從號、號、號個(gè)小球中，選出個(gè)小球，放入與未被選中小球標(biāo)號相同的盒子中，有種方法；
第步，將未被選中的小球和號小球，分別放入另外個(gè)盒子中，有種方法，
號小球單獨(dú)放入一個(gè)盒子，有種方法，
例如：第步，選出號、號小球放入號盒；第步，號小球放入號盒，號小球放入號盒，
沒有空盒子且任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為種．
故選：．
由分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可．
本題主要考查了排列組合知識，屬于中檔題．
4.【答案】 【解析】解：，
，，
，，且，
．
故選：．
根據(jù)條件得出，然后即可得出，和的大小關(guān)系．
本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】 【解析】解：橢圓長軸、短軸的一個(gè)端點(diǎn)分別為，，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，
若為直角三角形，則只有，
，
不妨取為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，則為左焦點(diǎn)，
則，即，
，兩邊同除以，得，
舍負(fù)．
故選：．
由題意可得，不妨取為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，則為左焦點(diǎn)，再由斜率關(guān)系列式求解．
本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
6.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>是直角三角形，且，
所以是直角，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，方向?yàn)?/span>軸，過點(diǎn)且垂直于的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如下所示：
則點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，顯然在圓上，
設(shè)的坐標(biāo)為，
那么，，
所以，
所以，
因?yàn)?/span>，其中，
所以的最大值為，
則的最大值為．
即的最大值為．
故選：．
建立直角坐標(biāo)系，由在為直徑的圓上，可用三角函數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，將所求向量用坐標(biāo)表示，即可求解．
本題主要考查用建立直角坐標(biāo)系的方法求向量問題，屬于中檔題．
7.【答案】 【解析】解：由，解得，，
，
，．
故選：．
根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式和方差公式求出，從而可求得，再根據(jù)條件概率公式求得，即可求出答案．
本題考查概率的運(yùn)算，考查條件概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
8.【答案】 【解析】解：由為偶函數(shù)，故，即，所以圖像關(guān)于對稱；
為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，圖像關(guān)于對稱，圖像關(guān)于對稱．
是周期為的函數(shù)，，
則可得函數(shù)的大致圖像，如圖所示，
則，
，
，
，
．
故選：．
根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得其周期，然后結(jié)合其周期性代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．
本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．
9.【答案】 【解析】解：對于：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，故A正確；
對于：，則，故在上單調(diào)遞增，故B正確；
對于：設(shè)切點(diǎn)是，則，故切線方程是，
故，方程組無解，故C錯(cuò)誤；
對于：設(shè)的切點(diǎn)是，則，則，
故切點(diǎn)是，故切線方程是，故D正確；
故選：．
根據(jù)基本不等式的性質(zhì)判斷，求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線方程，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到方程組無解判斷，設(shè)出的切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系求出切點(diǎn)得到切線方程，判斷D正確．
本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式的性質(zhì)，是中檔題．
10.【答案】 【解析】解：如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，過、、分別作的垂線，垂足為、、，
對于，由題意可知，拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．
在拋物線上方，，即最小值為到準(zhǔn)線的距離，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號成立故 A正確；
對于，由，設(shè)過與拋物線相切的直線與拋物線切于點(diǎn)，
則，此時(shí)切線斜率為，即拋物線上任一點(diǎn)，
都有，故，所以B正確；
對于由于點(diǎn)在的下方，設(shè)過與拋物線相切的直線切于點(diǎn)，
由上可得，或，又知當(dāng)時(shí)該直線與拋物線只一個(gè)交點(diǎn)，
故過點(diǎn)與只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條，所以不正確；
對于，由梯形中位線性質(zhì)及拋物線定義知，所以直線過，故D正確．
故選：．
對于，由拋物線的定義即可判定；對于，利用直線與拋物線的位置關(guān)系即可判定；對于，由拋物線的性質(zhì)即可判定．
本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
11.【答案】 【解析】解：如圖，，分別是正三棱臺的底面中心，平面，
由題意，可得，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由，，可得棱臺的高，
連結(jié)，，由，，得出，分別為，的三等分點(diǎn)，
所以，又，所以，，，
所以，所以四邊形為平行四邊形，，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面，則為平面，
對于，由，同理可證平面，
三角形的面積為，到平面的距離為，
則四面體的體積，故A正確；
對于：四面體的外接球，即為正三棱臺的外接球，
設(shè)外接球半徑為，由，，，，可知球心即為，
故，所以外接球表面積，故B正確；
對于，如圖，平面，平面，所以，
又，，所以平面，又平面，
所以，所以，
截棱臺所得截面為長方形，故其面積為，故C正確；
對于，棱臺體積，
，：：，故D錯(cuò)．
故選：．
對于，利用等體積轉(zhuǎn)換求得結(jié)果；對于，四面體的外接球即為正三棱臺的外接球，找到球心，求其半徑即可；對于，根據(jù)線面平行的判定作出平面，被棱臺所得截面為長方形，求其面積即可；對于，根據(jù)棱臺與棱柱的體積公式求解．
本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查空間幾何體的體積的計(jì)算，考查推理論證能力，屬中檔題．
12.【答案】 【解析】解：對于，由，，，，兩邊相加并代入得，故A正確；
對于，因?yàn)?/span>，則，則
故B正確；
對于，假設(shè)為公比為的等比數(shù)列，故，即，
所以，兩式矛盾，故C不正確；
對于，假設(shè)為公比為的等比數(shù)列，故，即，
所以，解得，故D正確．
故選：．
由數(shù)列相關(guān)知識逐一對各選項(xiàng)作判斷．
本題考查數(shù)列的相關(guān)知識：用定義法判斷等比數(shù)列，還考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．
13.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握偶函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得，據(jù)此變形分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>，
若為偶函數(shù)，則，
則有，
變形可得：，
必有；
故答案為：． 14.【答案】 【解析】解：根據(jù)的最小正周期為得出，
根據(jù)的圖象關(guān)于對稱，得出，，，
取得，得出，時(shí)，，滿足在上單調(diào)遞減．
取，得出滿足條件的一個(gè)函數(shù)．
故答案為：．
根據(jù)得出，根據(jù)得出，，取得出，可得出此時(shí)滿足在上單調(diào)遞減，然后給出一個(gè)的值即可得出滿足條件的一個(gè)函數(shù)的解析式．
本題考查了三角函數(shù)的周期的計(jì)算公式，正弦函數(shù)的對稱軸，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
15.【答案】 【解析】解：已知，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，
易得，
因?yàn)楹瘮?shù)有有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，
即有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，
不妨令，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，
可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
易知當(dāng)時(shí)，，
故．
故答案為：
由題意，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，將函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，對進(jìn)行求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，再求出極值進(jìn)行求解即可．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值；考查邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化思想．
16.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，如圖以為直徑畫圓，延長交新圓于，
交新圓于點(diǎn)，連接，，，則與垂直，又，故F為的中點(diǎn)，
由對稱性可得，
由，，
可得，
當(dāng)最大時(shí)，最大，
故轉(zhuǎn)化為在半徑為的圓內(nèi)接三角形的面積的最大值，
由圓內(nèi)接三角形的面積，，，
，
由，，為凸函數(shù)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號，
可得，
即三角形的面積的最大值為，
進(jìn)而得到最大值為．
故答案為：．
根據(jù)題意，以為直徑畫圓，延長交新圓于，交新圓于點(diǎn)，連接，，，推得為的中點(diǎn)，由對稱性可得，由三角形的面積公式推得，可得，當(dāng)最大時(shí)，最大，故轉(zhuǎn)化為在半徑為的圓內(nèi)接三角形的面積的最大值，運(yùn)用三角形的面積公式和凸函數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算可得所求最大值．
本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了解析幾何中的對稱思想以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，用不等式求最值是難點(diǎn)，屬于難題．
17.【答案】證明：由，兩邊同除以，
得，即，
由，可知兩邊同時(shí)取倒數(shù)，
可得，
，
故數(shù)列為以為公差的等差數(shù)列．
解：由，可得，故，即，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
符合題意的的最小值為． 【解析】從遞推關(guān)系中構(gòu)造出常數(shù)；
在第的基礎(chǔ)上，找到的表達(dá)式，進(jìn)而找出，分析的變化，找到的最小值．
本題難度不大，第一問的切入點(diǎn)，要抓住所證數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合等差數(shù)列的定義去對遞推公式進(jìn)行變換．第二問考查的點(diǎn)其實(shí)是已知求這個(gè)基本點(diǎn)，比較簡單，解答時(shí)注意絕對值的處理．
18.【答案】解：，
由正弦定理可得：
，
，
，，
，為銳角，
，，；
解：由題意可知，設(shè)，，
，又，，
在中，由正弦定理可得：，
即：，，
，
，，
，
則面積的最大值為． 【解析】利用正弦定理的邊角互化以及兩角和的正弦公式可得，進(jìn)而求出角；
設(shè)，則，在中，根據(jù)正弦定理，再由三角形的面積公式即可求解．
本題考查了正弦定理和三角形的面積公式，屬于中檔題．
19.【答案】證明：連接，由已知可得：，
又，，
在中，，
故，
又，且，平面，
平面，平面平面．
解：取的中點(diǎn)，連接，由知平面，故，
又，
平面，故BC，
又，，
平面，
以，所在直線分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，，
則，即，令，則，，即，
設(shè)直線與平面成的角為，
則，
即，，
即，即，
平方整理得，
得或舍，
即為線段的中點(diǎn)．此時(shí)． 【解析】利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．
建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
本題主要考查面面垂直的判定以及線面角的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
20.【答案】解：由頻率分布直方圖可知，
平均分；
由可知，，
設(shè)學(xué)校期望的平均分約為，則，
因?yàn)?/span>，，
所以，即，
所以學(xué)校的平均分約為分；
由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在和的頻率分別為和，
那么按照分層抽樣，抽取人，其中分?jǐn)?shù)在，應(yīng)抽取人，
分?jǐn)?shù)在應(yīng)抽取人，
記事件：抽測份試卷，，，事件：取出的試卷都不低于分，
，
，
． 【解析】根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)的公式，即可求解；
首先確定，再根據(jù)參考公式，即可求解；
根據(jù)全概率公式，和條件概率，列式求解．
本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的概率，是中檔題．
21.【答案】解：因?yàn)橹本€與軸平行，當(dāng)經(jīng)過的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
所以，，
所以，
所以，，
所以雙曲線的方程為．
設(shè)的方程為，則，
所以，
根據(jù)題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，故，
聯(lián)立，得，
則且，
設(shè)，，
則，，
由，，得，，
消去得，
即，
由得，，解得，
所以存在定直線：滿足條件． 【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)得出，結(jié)合雙曲線的定義得，進(jìn)一步計(jì)算得出雙曲線的方程即可．
設(shè)直線的方程為，故，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示求出，即可得出答案．
本題考查雙曲線的方程，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
22.【答案】解：已知，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，
可得，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，
可得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以的極小值為，
故，所以，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，
所以，此時(shí)不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，
可得，
由知在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，
故存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
若，此時(shí)，不符合題意；
若，，
當(dāng)時(shí)，，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，，不符合題意；
若，則，，所以，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故存在，使得，滿足題意；
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
可將方程轉(zhuǎn)化成，
當(dāng)時(shí)，方程在上沒有解；
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，
由得，存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
因?yàn)?/span>有且只有兩根，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，
又，所以，
即，則，所以，
因?yàn)?/span>，，
不妨設(shè)，可得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，于是，整理得；
不妨設(shè)，可得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
又，
整理得，
將上面兩個(gè)結(jié)果相加可得． 【解析】由題意，對進(jìn)行求導(dǎo)，設(shè)，對其進(jìn)行求導(dǎo)得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
對和這兩種情況進(jìn)行分析，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)的取值范圍；
結(jié)合中所得信息得到，再證明當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，利用放縮法證明和，兩式相加即可得證．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論、方程思想和運(yùn)算能力，屬難題．
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