2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市金臺區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．若，則（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算方法列出關(guān)于m的一元二次方程即可解得.【詳解】,化解得 解得：m=（舍）或m=5故選：A【點睛】本題考查了排列數(shù)的計算方法，屬于簡單題，解題中只需準(zhǔn)確應(yīng)用排列數(shù)公式即可.2．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的動漫書，第3層放有2本不同的地理書，從書架上任取1本書，不同的取法總數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分類加法計算原理即可求解．【詳解】根據(jù)題意可得從書架上任取1本書，有種不同的取法．故選：C．3．若，則（    ）A． B．1 C．15 D．16【答案】D【分析】令計算可得.【詳解】因為，令可得.故選：D4．如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，分類研究，不同色；同色兩大類，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得答案．【詳解】由題意知，分兩種情況：(1)不同色，先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得有種；(2) 同色；先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得有種．由分類加法計數(shù)原理，共有種，故選：A．5．若的展開式中第3項與第9項的系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（     ）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】C【分析】根據(jù)二項展開式可知，計算出，即可知二項式系數(shù)最大為，即為第6項.【詳解】由二項式定理可得第3項與第9項的系數(shù)分別為和，即，由二項式系數(shù)性質(zhì)可得；因此展開式中二項式系數(shù)最大的項為，是第6項.故選：C6．設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a為常數(shù)，則A．a= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=【答案】B【分析】利用概率的性質(zhì)列方程可求得，根據(jù)分布列和期望公式可求出、、，從而可得答案.【詳解】因為a(1+2+3+4)=1，所以a=，所以P(X>)=+，P(X<4a)=P(X<)=，E(X)=×+×+×+×.故選：B.【點睛】本題考查了概率的性質(zhì)，考查了離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于基礎(chǔ)題.7．已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（     ）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)表示其均值大小，表示離散程度，利用圖象形狀即可判斷出結(jié)論.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)的意義，結(jié)合圖象可知，對稱軸位置相同，所以可得；且都在的右側(cè)，即，比較和圖像可得，其形狀相同，即，又的離散程度比和大，所以可得；故選：B8．某人共有三發(fā)子彈，他射擊一次命中目標(biāo)的概率是，擊中目標(biāo)后射擊停止，射擊次數(shù)X為隨機變量，則期望（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式求解概率并列出分布列，根據(jù)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望公式求得結(jié)果.【詳解】由題意知，；；.的分布列為123.故選：A.9．教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉(xiāng)村支教，某校選派了5名教師到A、B、C三個鄉(xiāng)村學(xué)校去支教，每個學(xué)校至少去1人，每名教師只能去一個學(xué)校，不同的選派方法數(shù)有（     ）種A．25 B．60 C．90 D．150【答案】D【分析】按照分類分步計數(shù)原理可先將5人分成3組，再將3組人員分配到3個學(xué)校去，即可計算出結(jié)果.【詳解】由題意可知，先將5人分成三組有2類分法，第一類：各組人數(shù)分別為1，1，3，共有種分法；第二類：各組人數(shù)分別為1，2，2，共有種分法，再將三組人員分配到A、B、C三個鄉(xiāng)村學(xué)校去，共有種，所以不同的選派方法共有種.故選：D10．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中錯誤的是（    ）A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數(shù)相等”猜想：Cnm＝Cnn－mB．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”猜想：C．由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2nD．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051【答案】D【解析】由組合數(shù)及二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷A、B、C，由二項式定理運算可判斷D.【詳解】對于A，由組合數(shù)的互補性質(zhì)可得，故A正確；對于B，由組合數(shù)的性質(zhì)可得， 故B正確；對于C，由二項式系數(shù)和的性質(zhì)可得，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化及組合數(shù)、二項式定理、二項式系數(shù)的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11．甲、乙兩位同學(xué)各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是和，在這個問題已被正確解答的條件下，甲、乙兩位同學(xué)都能正確回答該問題的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用獨立事件及互斥事件的概率求法求解該問題被解答的概率，再利用條件概率計算公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這個問題被解答”，則，，故，所以在這個問題已被解答的條件下，甲乙兩位同學(xué)都能正確回答該問題的概率為：.故選：D12．有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（    ）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】B【分析】根據(jù)獨立事件概率關(guān)系逐一判斷【詳解】 ，故選：B【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應(yīng)概率，再判斷是否成立    二、填空題13．的展開式中有          項.【答案】24【分析】根據(jù)分步乘法原理求解即可.【詳解】解：要得到項數(shù)分三步：第一步，從第一個因式中取一個因子，有2種取法；第二步，從第二個因式中取一個因子，有3種取法；第三步，從第三個因式中取一個因子，有4種取法.由分步計數(shù)原理知，共有2×3×4＝24(項).故答案為：2414．某企業(yè)生產(chǎn)的個產(chǎn)品中有個一等品、個二等品，現(xiàn)從這些產(chǎn)品中任意抽取個，則其中恰好有個二等品的概率為          .【答案】【分析】由題意可知該問題屬于超幾何分布，代入其公式計算即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，任意抽取個共有種抽法，則其中恰好有個二等品的抽法共有種，因此任意抽取個，則其中恰好有個二等品的概率為.故答案為：15．從1，2，3，4，7，9中任取2個不相同的數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到        個對數(shù)值.【答案】17【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)底數(shù)和真數(shù)的要求，得到個選擇，再減去重復(fù)的個數(shù)，得到答案.【詳解】因為中，底數(shù)且，故底數(shù)可從2，3，4，7，9中任取一個數(shù)，而真數(shù)可從剩余的5個數(shù)中任取一個，共個，當(dāng)真數(shù)為1時，，且，，，，故.故答案為：1716．下列四個命題中為真命題的是         .（寫出所有真命題的序號）①若隨機變量服從二項分布，則其方差；②若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則； ③已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差也是3；④對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是4；【答案】①③【分析】對于①，利用二項分布的方差公式分析判斷，對于②，利用正態(tài)分布的性質(zhì)分析判斷，對于③，利用方差的性質(zhì)分析判斷，對于④，將樣本中心點代入回歸方程求解判斷.【詳解】對于①，因為隨機變量服從二項分布，所以，所以①正確，對于②，因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，所以，所以，所以，所以②錯誤，對于③，因為數(shù)據(jù)的方差是3，所以由方差的性質(zhì)可知的方差不變，也是3，所以③正確，對于④，因為線性回歸方程為，樣本點的中心為，所以，解得，所以④錯誤，故答案為：①③ 三、解答題17．袋中裝有2個紅球和4個黑球，這些球除顏色外完全相同.(1)現(xiàn)在有放回地摸3次，每次摸出一個，求“恰好摸出1次紅球”的概率；(2)現(xiàn)在不放回地摸3次，每次摸出一個，求“至少兩次摸出紅球”的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）易得有放回地每次摸出紅球的概率為，再利用獨立重復(fù)試驗求解；（2）利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）解：因為袋中裝有2個紅球和4個黑球，所以有放回地每次摸出紅球的概率為，所以有放回地摸3次，每次摸出一個，求“恰好摸出1次紅球”的概率為：；（2）由不放回地摸球，則至少兩次摸出紅球，即為一次摸出一個紅球和2個紅球，所以不放回地摸3次，每次摸出一個，求“至少兩次摸出紅球”的概率為；18．已知的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和等于．求：(1)的值；(2)展開式中第項；(3)展開式中的常數(shù)項．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用展開式二項式系數(shù)和可得出關(guān)于的等式，解之即可；（2）根據(jù)二項展開式可求得展開式第項；（3）寫出展開式通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項即可得出常數(shù)項.【詳解】（1）解：展開式的二項式系數(shù)和為，則，解得：.（2）解：展開式第項為.（3）解：展開式通項為，   令，解得：，則展開式常數(shù)項為.19．某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進行了一次文化知識有獎競賽，競賽獎勵規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在 內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎.為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.(1)估計這100名學(xué)生的競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計值，試估計參賽學(xué)生中成績超過78分的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】(1)64(2)1587 【分析】（1）由頻率分布直方圖樣本平均數(shù)計算方法可得.（2）由原則可得參賽學(xué)生中成績超過78分的概率，進而可得.【詳解】（1）由樣本頻率分布直方圖得，樣本平均數(shù)的估計值（2）由題意所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布，因，所以。  故參賽學(xué)生中成績超過分的學(xué)生數(shù)為.20．甲盒中有3個黑球，3個白球，乙盒中有4個黑球，2個白球，丙盒中有4個黑球，2個白球，三個盒中的球只有顏色不同，其它均相同，從這三個盒中各取一球.(1)求“三球中至少有一個為白球”的概率；(2)設(shè)表示所取白球的個數(shù)，求的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析 【分析】（1）由題意，分別求出甲、乙、丙盒中取一球為白球事件的概率，再用間接法即可求得“三球中至少有一個為白球”的概率；（2）由題意可得的可能取值為0，1，2，3.分別求出各個取值的概率，從而可列出離散型隨機變量的分布列.【詳解】（1）記甲、乙、丙盒中取一球為白球事件分別為，三球中至少有一球為白球記為事件，則；；.；（2）由題意可知，隨機變量的可能取值為0，1，2，3.，，，.所以，隨機變量的分布列如下：012321．隨著人們生活水平的提高，健康越來越成為當(dāng)下人們關(guān)心的話題，因此，健身也成了廣大市民的一項必修課.某健身機構(gòu)統(tǒng)計了2022年1～5月份某初級私人健身教練課程的月報名人數(shù)（單位：人）與該初級私人健身教練價格（單位：元/小時）的情況，如下表所示.月份12345初級私人健身教練價格（元/小時）210200190170150初級私人健身教練課程的月報名人數(shù)（人）587911(1)求（，2，3，4，5）的相關(guān)系數(shù)r，并判斷月報名人數(shù)y與價格x是否有很強的線性相關(guān)性?（當(dāng)時，可以認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性；否則，沒有很強的線性相關(guān)性）（精確到0.001）(2)請建立關(guān)于的線性回歸方程；（精確到0.001）(3)當(dāng)價格為每小時230元時，估計該課程的月報名人數(shù)為多少人?（結(jié)果保留整數(shù)）參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（，2，3，…，n），相關(guān)系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：.，，.【答案】(1)-0.929，與有很強的線性相關(guān)性(2)(3)4人. 【分析】（1）利用公式求得相關(guān)系數(shù)判斷；（2）利用公式分別求得，，寫出回歸方程；（3）將代入回歸方程求解.【詳解】（1）解：由已知數(shù)據(jù)可得：，，                            相關(guān)系數(shù)因為，所以與有很強的線性相關(guān)性.（2）因為，，所以關(guān)于的線性回歸方程為.（3）當(dāng)時，，故當(dāng)價格為每小時230元時，估計該課程的月報名人數(shù)為4人.22．某條街邊有A，B兩個生意火爆的早餐店，A店主賣胡辣湯、油條等，B店主賣煎餅果子、豆?jié){等，小明為了解附近群眾的早餐飲食習(xí)慣與年齡的關(guān)系，隨機調(diào)查了200名到這兩個早餐店就餐的顧客，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下： A店B店年齡50歲及以上4060年齡50歲以下1090(1)判斷是否有的把握認(rèn)為附近群眾的早餐飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)．(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，某天有3名顧客到這兩個早餐店就餐（每人只選一家），且他們的選擇相互獨立．設(shè)3人中到A店就餐的人數(shù)為X，求X的分布列和期望．附：．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)有的把握認(rèn)為附近群眾的早餐飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)(2)分布列見解析， 【分析】（1）根據(jù)題中的已知條件，列出列聯(lián)表，結(jié)合給出的公式判斷即可；（2）由題意知顧客選擇到A店就餐的概率為，再根據(jù)題意列出離散型隨機變量X的可能取值，根據(jù)二項分布的概率公式計算出各自的概率，列出分布列，進而計算出期望即可，也可利用二項分布的期望公式求解期望.【詳解】（1） A店B店總計年齡50歲及以上4060100年齡50歲以下1090100總計50150200根據(jù)題意列出列聯(lián)表，如上表，由公式可得，由已知，因為，所以有的把握認(rèn)為附近群眾的早餐飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)．（2）由題意知顧客選擇到A店就餐的概率為，X的所有可能取值為0，1，2，3，        則，，        ，．            所以X的分布列如下：X0123P故． 或由，. 

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