2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市渭濱區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．用反證法證明命題：“若，能被整除，那么、中至少有一個能被整除”時，假設(shè)應(yīng)為（    ）A．、都不能被整除 B．、都能被整除C．、不都能被整除 D．、中有一個能被整除【答案】A【分析】根據(jù)反證法的定義，只需找到“、中至少有一個能被整除”的否定即可.【詳解】因為“、中至少有一個能被整除”的否定為“、都不能被整除”，所以應(yīng)假設(shè)“、都不能被整除”.故選：A2．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，即可判斷.【詳解】因為，所以.故選：B3．函數(shù)，的最小值為1，則實數(shù)的值為（    ）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到的最小值為，列出方程，求出答案.【詳解】，，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以的最小值為，令，解得.故選：C4．已知離散型隨機變量的分布列如表：1230.30.4則其數(shù)學(xué)期望（    ）A．1 B．1.3 C．2.1 D．3.2【答案】C【分析】根據(jù)概率和等于1可得，再利用期望公式即可得解.【詳解】因為分布列中概率之和等于1．所以，可得，隨機變量的數(shù)學(xué)期望．故選：C.5．設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)模的運算可判斷A；舉反例可判斷B；利用復(fù)數(shù)的四則運算及模的公式可判斷C；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，所以，故A正確；對于B，當(dāng)，時， ，，，則 ，故B錯誤；對于C，設(shè)，，因為，所以，即，又因為，，所以，故C正確；對于D，因為，所以與互為共軛復(fù)數(shù)，所以，故D正確.故選：B.6．曲線在處切線的傾斜角為，則（    ）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再利用齊次式法計算作答.【詳解】因為，則，因此，所以.故選：D7．觀察數(shù)組：，， ，，，，則的值是（    ）A．1024 B．704 C．448 D．192【答案】C【分析】由題意可得，，進而得到，進而求解.【詳解】由題意，，，則，，所以.故選：C.8．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（    ）A．和 B． C． D．和【答案】D【分析】先求出定義域，再求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，解不等式求出答案.【詳解】的定義域為，，令，解得或，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和.故選：D9．某班有男生人，從中選人均分組（即每組人），那么不同的選派法有（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先選出人，再平均分成兩組，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.【詳解】依題意首先從人中選出人，有種選法，再將人平均分成兩組，則有種分法，按照分步乘法計數(shù)原理可得有種選法.故選：B10．已知函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，然后求得.【詳解】，，，，所以.故選：C11．已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)時，，且，則不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，根據(jù)題意得到為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合，把不等式，轉(zhuǎn)化為時，等價于不等式和時，等價于不等式，即可求解.【詳解】令，可得，因為時，，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，又由為定義在上的奇函數(shù)，可得，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為，可得，則對于不等式，當(dāng)時，等價于不等式，解得；當(dāng)時，等價于不等式，解得，所以不等式的解集為.故選：A.12．若過點可作曲線的兩條切線，則點可以是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點的坐標為，求得切線方程為，把點代入得，根據(jù)題意得到有兩個不等的實根，結(jié)合，得到，根據(jù)選項逐項驗證，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)切點的坐標為，則在切點處的切線方程為，把點代入，可得，整理得，因為過點可作曲線的兩條切線，則方程有兩個不等的實根，所以，即，分別把點代入驗證，可得只有滿足，所以點可以是.故選：D. 二、填空題13．若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為         .【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得，根據(jù)題意列出方程組，求得，得到，即看求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得，解得，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.14．已知,的對應(yīng)值如下表所示,若與線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則         .13457110【答案】3【分析】利用樣本中心點求得正確答案.【詳解】，，所以，解得.故答案為：15．曲線在點處的切線方程為         .【答案】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再求切點的坐標，再寫出切線方程得解.【詳解】因為，所以，所以.又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.16．二項式的展開式中常數(shù)項為          ．【答案】-4【分析】首先寫出二項式展開式的通項公式，然后確定其常數(shù)項即可.【詳解】由二項式展開式的通項公式可知二項式展開式的通項公式為：，令可得：，則展開式的常數(shù)項為：.【點睛】(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解． 三、解答題17．設(shè)函數(shù)對任意實數(shù)、都有  .(1)求的值；(2)若，求、、的值；(3)在（2）的條件下，猜想（為正整數(shù)）的表達式，并證明.【答案】(1)1(2)(3)（為正整數(shù)），證明見解析； 【分析】（1）賦值法，得；（2）賦值，解得；賦值，解得；賦值，解得；（3）猜想：（n為正整數(shù)），然后用歸納法證明；【詳解】（1）令，得；（2）由，得，，.（3）猜想：（n為正整數(shù)）.證明：當(dāng)時，，等式成立.假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，則當(dāng)時，，等式也成立.綜上：對任意正整數(shù)n都有.18．已知二次函數(shù).  (1)求的圖像與兩坐標軸所圍成圖形的面積；(2)求的圖像與兩坐標軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出的圖像與兩坐標軸的交點坐標，使用定積分求出面積；（2）由組成圖形的曲線，和組成圖形的兩個端點處的數(shù)據(jù)，用定積分寫出體積的表示形式，得到結(jié)果．【詳解】（1）函數(shù)的圖像與兩坐標軸分別相交于點和，函數(shù)的圖像與兩坐標軸所圍圖形，如圖中陰影區(qū)域，其面積為；（2）由（1）知函數(shù)的圖像與兩坐標軸所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體，即是曲線段與坐標軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體，其體積為：19．某校“足球社團”調(diào)查學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取了人，若被抽查的男生與女生人數(shù)之比為5:3，男生中喜歡足球的人數(shù)占男生的，女生中喜歡足球的人數(shù)占女生的.經(jīng)計算，有95%的把握認為喜歡足球與性別有關(guān)，但沒有99%的把握認為喜歡足球與性別有關(guān).(1)請完成下面的列聯(lián)表，并求出k的值； 喜歡足球不喜歡足球合計男生   女生   合計   (2)將頻率視為概率，用樣本估計總體，從全校男學(xué)生中隨機抽取4人，記其中喜歡足球的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.【答案】(1)列聯(lián)表見解析，(2)分布列見解析， 【分析】（1）根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)得到的列聯(lián)表，求得，結(jié)合題意列出不等式組，即可求解；（2）由（1）知，樣本的男生中喜歡足球的頻率為，得出隨機變量，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，進而求得期望值.【詳解】（1）解：由題意，得到的列聯(lián)表， 喜歡足球不喜歡足球合計男生女生合計將數(shù)值代入公式可得的觀測值為，因為有95%的把握認為喜歡足球與性別有關(guān)，但沒有99%的把握認為喜歡足球與性別有關(guān)，可得，解得，因為，所以.（2）解：由（1）知，樣本的男生中喜歡足球的頻率為，用樣本估計總體，從全校男生中隨機抽取一人，喜歡足球的概率為，則，可得，，，，，則X的分布列為所以期望為.20．某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機的選擇一家餐廳用餐.如果第一天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.4，如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.(1)計算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率；(2)王同學(xué)某次在A餐廳就餐，該餐廳提供4種西式點心，6種中式點心，王同學(xué)從這些點心中選擇三種點心，記選擇西式點心的種數(shù)為，求.【答案】(1)0.6(2) 【分析】（1）設(shè)出事件，利用全概率公式進行求解；（2）利用對立事件求概率公式進行求解.【詳解】（1）設(shè)表示事件“第1天去A餐廳用餐”，表示事件“第1天去B餐廳用餐”，表示事件“第2天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，則，所以，王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為0.6.（2）由題意，.21．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解不等式，即可得解；（2）參變分離可得恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，則，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）不等式，即，即.所以問題可轉(zhuǎn)化為恒成立，令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值即最小值，即，所以，即實數(shù)的取值范圍是. 

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