2024屆新高三摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，若，則（    ）A．    B．    C．    D．2．若，則的虛部與實(shí)部之比為（    ）A．    B．1    C．    D．3．已知平面單位向量滿足，則（    ）A．    B．    C．    D．4．漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國古代入民利用平面鏡反射原理的首個(gè)實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧．在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后的光線所在的直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（    ）A．    B．或1    C．1    D．25．設(shè)為公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（    ）A．    B．2    C．或    D．或2下圖為某工廠內(nèi)一手電筒最初模型的組合體，該組合體是由一圓臺和一圓柱組成的，其中為圓臺下底面圓心，分別為圓柱上下底面的圓心，經(jīng)實(shí)驗(yàn)測量得到圓柱上下底面圓的半徑為，，，圓臺下底面圓半徑為，則該組合體的表面積為（    ）A．    B．    C．    D．7．已知RL串聯(lián)電路短接時(shí)，電流隨時(shí)間的變化關(guān)系式為，電路的時(shí)間常數(shù)，當(dāng)由減小到時(shí)，相應(yīng)的時(shí)間間隔稱為半衰期．若某RL串聯(lián)電路電流從減少到的時(shí)間間隔為，則該電路的時(shí)間常數(shù)約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：A．    B．    C．    D．8．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為為的右焦點(diǎn)，的離心率為2，若為右支上一點(diǎn)，滿足，則（    ）A．    B．1    C．    D．2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，則（    ）A．新樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)B．新樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差不大于原樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差C．新樣本數(shù)據(jù)的極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差D．新樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)不小于原樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)10．若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則（    ）A．的密度曲線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)B．的密度曲線關(guān)于對稱C．D．若，則11．已知函數(shù)任一對稱軸與其相鄰的零點(diǎn)之間的距離為，若將曲線的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于軸對稱，則（    ）A．B．直線為曲線的一條對稱軸C．若在單調(diào)遞增，則D．曲線與直線有5個(gè)交點(diǎn)12．已知正方體的各頂點(diǎn)均在表面積為的球面上，為該球面上一動點(diǎn)，則（    ）A．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得平面B．當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為C．當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為D．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得平面平面三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，若，則______________．14．某學(xué)校準(zhǔn)備舉辦一場運(yùn)動會，其中運(yùn)動會開幕式安排了3個(gè)歌舞類和3個(gè)語言類節(jié)目，所有節(jié)目依次出場，則恰有兩個(gè)語言類節(jié)目相鄰的概率為______________．15．設(shè)函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍為______________．16．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為．若為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且的面積，則的離心率的取值范圍為______________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）記的內(nèi)角的對邊分別為的面積．（1）求；（2）若，求邊上的中線的長度．18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．（1）求；（2）證明：只有一個(gè)極值點(diǎn)．19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）若，證明：．20．（本小題滿分12分）如圖，在矩形中，是線段上的一點(diǎn)．將沿翻折到位置，且點(diǎn)不在平面內(nèi)．（1）若平面平面，證明：；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，當(dāng)平面平面時(shí)，求此時(shí)二面角的余弦值．21．（本小題滿分12分）已知有甲，乙兩個(gè)不透明盒子，甲盒子裝有兩個(gè)紅球和一個(gè)綠球，乙盒子裝有三個(gè)綠球，這些球的大小，形狀，質(zhì)地完全相同．在一次球交換的過程中，甲盒子與乙盒子中各隨機(jī)選擇一個(gè)球進(jìn)行交換，重復(fù)次該過程，記甲盒中裝有的紅球個(gè)數(shù)為．（1）求的概率分布列；（2）求．22．（本小題滿分12分）已知三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上，為直角頂點(diǎn)，且．（1）記點(diǎn)，直線的斜率，試求面積的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．2024屆新高三摸底聯(lián)芳數(shù)學(xué)參考答案及解析一、選擇題1．C  【解析】由題意可知，故．故選C．2．B  【解析】設(shè)，故，即．故選B．3．D  【解析】由可知，兩邊同時(shí)平方得，所以．故選D．4．C  【解析】易知關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，由平面鏡反射原理，反射光線所在的直線過且與該圓相切，又在該圓上，故反射光線的斜率為．故選C．5．D  【解析】由題意得：，因?yàn)?/span>，所以，所以，解得或．故選D．6．B  【解析】圓柱的上底面面積為；圓柱的側(cè)面面積為；圓臺的下底面面積為；圓臺的母線長為，所以圓臺的側(cè)面面積為，則該組合體的表面積為．故選B．7．C  【解析】設(shè)半衰期為，依題意，兩邊取對數(shù)得，由得，即，所以，解得．故選C．8．A  【解析】設(shè)的焦距為，點(diǎn)，由的離心率為2可知，因?yàn)?/span>，所以，將代入的方程得，即，不妨取，所以，故．當(dāng)時(shí)，．故選A．二、選擇題9．BC  【解析】首先，設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)為，故新樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)為，其中與大小無法判斷，故A錯(cuò)；設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故新樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故B對；新樣本數(shù)據(jù)的極差為，故C對；設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，故新樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，其中與大小無法判斷，故D錯(cuò)．故選BC．10．ACD  【解析】若，則其密度函數(shù)，因此的密度曲線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故A正確；的密度曲線關(guān)于直線對稱，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確．故選ACD．11．ABD  【解析】由題意，故，又的圖象向左平移個(gè)單位得到，所以，且，故，A對；因?yàn)?/span>，且為極小值，所以直線為曲線的一條對稱軸，B對；易知在單調(diào)遞增，故，C錯(cuò)；直線與曲線均過點(diǎn)，且該直線與曲線均關(guān)于該點(diǎn)中心對稱，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由對稱性可知曲線與直線有5個(gè)交點(diǎn)，故D對．故選ABD．12．ACD  【解析】因?yàn)樵撉虻谋砻娣e為，故半徑，且正方體的棱長滿足，故棱長為2．由題意可知平面平面，且平面，故平面，則的軌跡為正方形的外接圓，故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足，A對；易知平面，且平面平面，且平面，故的軌跡為矩形的外接圓，其周長為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>平面，設(shè)過且與平面平行的平面為，則的軌跡為與外接球的交線，其半徑為，周長為，故C正確；若平面平面，則點(diǎn)在以為軸截面的某個(gè)圓柱面上，該圓柱面與球面交線為曲線，故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足，故D正確．故選ACD．三、填空題13．  【解析】因?yàn)?/span>，且，所以，故舍，故．故答案為．14．  【解析】節(jié)目出場順序總數(shù)為，兩個(gè)語言類節(jié)目相鄰：，所以恰有兩個(gè)語言類節(jié)目相鄰的概率為．故答案為．15．  【解析】已知二次函數(shù)的對稱軸為，由題意可知，即．故答案為．16．  【解析】不妨設(shè)的離心率為，焦距為分別位于第一、三象限，連接，，并結(jié)合圖形對稱性，可知四邊形為對角線長度相等的平行四邊形，即矩形，因此為直角，所以，且的面積與的面積相等，若橢圓上存在點(diǎn)使得為直角，則上頂點(diǎn)處應(yīng)滿足，也即，解得，又，所以，則的面積為，因此，即．所以的取值范圍為．故答案為．四、解答題17．解：（1）由題意，所以，因?yàn)?/span>，所以．（2）由余弦定理：，又，所以，因?yàn)?/span>為邊的中點(diǎn)，所以，所以，．18．解：（1）的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以；所以，將代入，故，則．（2），設(shè)，則，令，故或，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，故存在使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以只有一個(gè)極值點(diǎn)．19．解：（1）因?yàn)?/span>，所以，作差得①，同理②，②-①得，所以為等差數(shù)列．（2）令，則，解得，設(shè)的公差為，故，所以，故，，所以．20．解：（1）因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，所以．（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，過作直線垂直于平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，設(shè)二面角為，則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，即，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，即，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，解得，則二面角的余弦值為．21．解：（1）由題意可知的所有可能取值為0，1，2，且，，或，，所以的分布列為012（2）的所有可能取值為0，1，2，且,又，又，且，即，故，即，即為等比數(shù)列，且，所以．22．解：（1）由題意可得為斜邊，為直角頂點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立則，，同理，則，則（2），是奇函數(shù)，則求的最小值等價(jià)于求的最小值．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號． 

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