注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
考試時間為120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，則的虛部為（ ）
A. 1B. iC. D.
3. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
4. 已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，、、成等比數(shù)列，則（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，，P為BD上一點(diǎn)，若，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
6. 四色定理（Fur clr therem）又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里（Francis Guthrie）提出來的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色．”四色問題的證明進(jìn)程緩慢，直到1976年，美國數(shù)學(xué)家運(yùn)用電子計算機(jī)證明了四色定理．現(xiàn)某校數(shù)學(xué)興趣小組給一個底面邊長互不相等的直四棱柱容器的側(cè)面和下底面染色，提出如下的“四色問題”：要求相鄰兩個面不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有（ ）
A. 18種B. 36種C. 48種D. 72種
7. 已知銳角滿足，則（ ）
A. B. C. D.
8. 已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若，則（ ）
A. 9B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. ，關(guān)于的不等式恒成立的一個必要不充分條件是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知圓與圓無公共切線，則實數(shù)m的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知實數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 如圖，在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)（點(diǎn)P與，不重合），則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 三棱錐的體積為定值
C. 過P，C，三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形
D. DP與平面所成角的正弦值最大為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．
14. 寫出一個與橢圓有公共焦點(diǎn)的橢圓方程__________．
15. 在展開式中，的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）．
16. 已知函數(shù)是定義域在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，若關(guān)于x的方程有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17 已知數(shù)列中，，且滿足，．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，求滿足的n的最小值．
18. ①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面橫線處，然后解答問題（注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分）．
在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知________．
（1）求的大小；
（2）若的面積，且，求的周長．
19. 電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對“中國詩詞大會”的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名．將日均收看該節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“詩詞迷”，已知“詩詞迷”中有15名男性，“非詩詞迷”共有75名．
（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否為“詩詞迷”與性別有關(guān)？
（2）采用分層抽樣的方式從“詩詞迷”中任意選取5人進(jìn)行問卷調(diào)查，若再從這5人中任意選取2人獎勵詩詞大禮包，用x表示獲得大禮包的男性人數(shù)，y表示獲得大禮包的女性人數(shù)，設(shè)，求的分布列及期望．
附：，其中．
20. 如圖，在底面為梯形的四棱錐中，，，平面PAD，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PBQ；
（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．
21. 已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)斜率分別為，的兩條直線，均經(jīng)過點(diǎn)，且直線，與雙曲線C分別交于A，B兩點(diǎn)（A，B異于點(diǎn)Q），若，試判斷直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
22. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的，均有，求實數(shù)m的最小值．
廣東省2022屆高三開學(xué)摸底聯(lián)考新高考卷
數(shù)學(xué)試卷 答案版
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
考試時間為120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
答案：B
2. 已知，則的虛部為（ ）
A. 1B. iC. D.
答案：A
3. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
答案：D
4. 已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，、、成等比數(shù)列，則（ ）
A. B. C. D.
答案：C
5. 在中，，P為BD上一點(diǎn)，若，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
答案：D
6. 四色定理（Fur clr therem）又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里（Francis Guthrie）提出來的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色．”四色問題的證明進(jìn)程緩慢，直到1976年，美國數(shù)學(xué)家運(yùn)用電子計算機(jī)證明了四色定理．現(xiàn)某校數(shù)學(xué)興趣小組給一個底面邊長互不相等的直四棱柱容器的側(cè)面和下底面染色，提出如下的“四色問題”：要求相鄰兩個面不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的染色方案有（ ）
A. 18種B. 36種C. 48種D. 72種
答案：D
7. 已知銳角滿足，則（ ）
A. B. C. D.
答案：D
8. 已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若，則（ ）
A. 9B. C. D.
答案：D
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. ，關(guān)于的不等式恒成立的一個必要不充分條件是（ ）
A. B.
C. D.
答案：BD
10. 已知圓與圓無公共切線，則實數(shù)m的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：BC
11. 已知實數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABC
12. 如圖，在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)（點(diǎn)P與，不重合），則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 三棱錐的體積為定值
C. 過P，C，三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形
D. DP與平面所成角的正弦值最大為
答案：ABC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．
答案：
14. 寫出一個與橢圓有公共焦點(diǎn)的橢圓方程__________．
答案：（答案不唯一）
15. 在展開式中，的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）．
答案：2
16. 已知函數(shù)是定義域在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，若關(guān)于x的方程有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
答案：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17 已知數(shù)列中，，且滿足，．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，求滿足的n的最小值．
答案：（1）證明見解析，；（2）10．
18. ①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面橫線處，然后解答問題（注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分）．
在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知________．
（1）求的大??；
（2）若的面積，且，求的周長．
答案：條件選擇見解析（1）；（2）15.
19. 電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對“中國詩詞大會”的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名．將日均收看該節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“詩詞迷”，已知“詩詞迷”中有15名男性，“非詩詞迷”共有75名．
（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否為“詩詞迷”與性別有關(guān)？
（2）采用分層抽樣的方式從“詩詞迷”中任意選取5人進(jìn)行問卷調(diào)查，若再從這5人中任意選取2人獎勵詩詞大禮包，用x表示獲得大禮包的男性人數(shù)，y表示獲得大禮包的女性人數(shù)，設(shè)，求的分布列及期望．
附：，其中．
答案：（1）表格見解析，沒有；（2）分布列見解析，.
20. 如圖，在底面為梯形的四棱錐中，，，平面PAD，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）證明：平面PBQ；
（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．
答案：（1）證明見解析；（2）.
21. 已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)斜率分別為，的兩條直線，均經(jīng)過點(diǎn)，且直線，與雙曲線C分別交于A，B兩點(diǎn)（A，B異于點(diǎn)Q），若，試判斷直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
答案：（1）；（2）直線AB過定點(diǎn)（0，1）．
22. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的，均有，求實數(shù)m的最小值．
答案：（1）減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為；（2）1.
非詩詞迷
詩詞迷
合計
男
女
合計
0.15
0.10
0.05
0.025
0010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7879
10.828
非詩詞迷
詩詞迷
合計
男
女
合計
0.15
0.10
0.05
0.025
0010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7879
10.828

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