2024屆內蒙古包頭市高三上學期調研考試數(shù)學（理）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，由此可得出結論.【詳解】由題可知，任取，因為，所以，即，所以，故，故選：B.2．設，是的共軛復數(shù)，則復數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，進而結合已知和復數(shù)相等的定義求解即可.【詳解】解：設，則，由可得，即，所以，可得，所以．故選：A3．已知命題：，；命題：，，則下列命題中為真命題的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷命題p、q的真假，再判斷各選項中復合命題的真假即可.【詳解】對于命題p，當時，，故命題p為真命題；對于命題q，當時，，所以命題q為假命題.所以，為真命題，，，為假命題.故選：C4．下列函數(shù)中的奇函數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，對于函數(shù)，由解得，所以的定義域是，所以是非奇非偶函數(shù).B選項，對于函數(shù)，由解得，所以的定義域是，，所以是奇函數(shù)，B選項正確.C選項，對于函數(shù)，的定義域是，，所以是偶函數(shù).D選項，對于函數(shù)，所以的定義域是，，所以是偶函數(shù).故選：B5．在正方體中，直線與平面所成角為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接交于，連接，則可證得即為所求，然后在直角三角形求解即可.【詳解】如圖，連接交于，連接，  因為平面，在平面內，所以，又，平面，所以平面， 所以為直線和平面所成的角，設正方體的棱長為1，則，又平面，故，所以，因為，所以，所以直線和平面所成的角為，故選：A6．將3名優(yōu)秀教師分配到2個不同的學校進行教學交流，每名優(yōu)秀教師只分配到1個學校，每個學校至少分配1名優(yōu)秀教師，則不同的分配方案共有（    ）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】D【分析】先將3名教師分組，然后再分配即可.【詳解】將3名教師分組，有種方法，再分配到2個不同的學校得，即不同的分配方案共有6種.故選：D.7．把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由題意可知，將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，可得到函數(shù)的圖象.故選：C.8．在區(qū)間和中各隨機取1個數(shù)和，則用幾何概型可求得的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得所有可能性在正方形中，而滿足的點在圖中的陰影部分，所以利用幾何概型的概率公式求解即可.【詳解】在區(qū)間和中各隨機取1個數(shù)x和y，所有可能性在正方形中，令，即，當時，，當時，，所以,因為滿足的點在如圖所示的陰影部分，所以所求概率為.故選：D9．拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上，直線交于，兩點，的準線交軸于點，若，則的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可設拋物線的方程，進而可得，和的坐標，然后利用斜率公式結合條件可得，進而即得.【詳解】由題可設拋物線的方程為，則準線方程為，當時，可得，  可得，又，，所以，即，解得，所以的方程為.故選：C10．若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質結合條件，比較大小即可.【詳解】因為，，所以，故選：B.11．已知為數(shù)列的前項積，若，則數(shù)列的前項和（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用 與 的關系可得是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列；進而根據(jù)等差求和公式即可.【詳解】因為為數(shù)列的前項積，所以可得，因為，所以，即，所以，又，得，所以，故是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列；，故選：A12．設是定義域為的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定正確答案.【詳解】由于是定義域為的奇函數(shù)，所以的圖象關于原點對稱，且，由于為偶函數(shù)，所以圖象關于直線對稱，所以，令得，所以，D選項正確.令得，而，根據(jù)已知條件無法確定的值，所以ABC選項錯誤.故選：D【點睛】對于奇偶函數(shù)，首先要注意能否利用定義，也即或來求解.對于定義在上的奇函數(shù)，還可以利用來求解.形如的奇偶性問題，可結合圖象變換的知識得到的對稱性. 二、填空題13．已知向量，，若，則      .【答案】4【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】，由于，所以.故答案為：414．已知雙曲線的一條漸近線為，則的離心率為      .【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程結合條件可得，進而求出雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以有，故雙曲線，所以雙曲線的離心率為.故答案為：15．記為各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和，若，，則       .【答案】30【分析】根據(jù)遞推關系求出前3項，然后求和即得.【詳解】因為，，，所以，，由，可得，所以，所以.故答案為：30.16．在一個正方體中，經(jīng)過它的三個頂點的平面將該正方體截去一個三棱錐.所得多面體的三視圖中，以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成這個多面體的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為           （寫出符合要求的一組答案即可）. 【答案】④⑤/⑤④【分析】根據(jù)正視圖，結合題意，作出幾何體直觀圖，由此再判斷，即可得到結果.【詳解】根據(jù)題意，在一個正方體中，經(jīng)過它的三個頂點的平面將該正方體截去一個三棱錐，如果圖①是正視圖，則幾何體若如圖下圖（1）所示，則此時側視圖和俯視圖的編號依次④⑤；幾何體若如圖下圖（2）所示，則此時側視圖和俯視圖的編號依次⑤④；        圖（1）                              圖（2）故答案為：④⑤（或⑤④）. 三、解答題17．，兩臺機器生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機器產(chǎn)品的質量，分別用兩臺機器各生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質量情況統(tǒng)計如下表： 一級品二級品合計機器7030100機器8020100合計15050200(1)機器，機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中二級品的頻率分別是多少？(2)能否有90%的把握認為機器的產(chǎn)品質量與機器的產(chǎn)品質量有差異？附：，0.150.100.052.0722.7063.841【答案】(1)0.3；0.2；(2)沒有90%的把握認為機器的產(chǎn)品質量與機器的產(chǎn)品質量有差異. 【分析】（1）根據(jù)頻率的概念結合條件即得；（2）由題可得，然后根據(jù)臨界值結合條件即得.【詳解】（1）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中二級品的頻率是，機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中二級品的頻率是；（2）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)可得，因為，所以沒有90%的把握認為機器的產(chǎn)品質量與機器的產(chǎn)品質量有差異.18．已知的內角，，的對邊分別為，，，面積為，，，且.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，求得，再結合余弦定理，即可求解；（2）由（1）分別求得，，聯(lián)立方程組求得的值，結合正弦定理，分別求得的值，即可求解.【詳解】（1）因為的面積為，且，可得，所以，又因為，所以，由余弦定理可得，所以.（2）由（1）可得，則，又由，因為，則，聯(lián)立方程組，解得，，根據(jù)正弦定理，即，所以，同理得，所以.19．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，.  (1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理證明即可；（2）由題意及相應條件，建立空間直角坐標系，寫出需要的點的坐標，利用向量法求解即可.【詳解】（1）因為平面，又平面，所以，又，且，平面SAC，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）連接，由（1）可知，平面，又平面，故，又是矩形，所以是正方形，所以.因為底面，所以，，且，以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，       則，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，令，得，所以則.所以直線與平面所成角的正弦值為.20．設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點.(1)求；(2)設函數(shù)，證明：.【答案】(1)2；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)導數(shù)與函數(shù)極值點的關系即得；（2）設，利用導數(shù)可得，可得函數(shù)的定義域，進而只需證，然后通過換元法構造函數(shù)，再利用導數(shù)研究函數(shù)的性質即得.【詳解】（1）由題意可知，，則，因為是函數(shù)的極值點，所以，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，故；（2）由（1）得，，設，則，當時，，即，所以在區(qū)間單調遞增；當時，，即，所以在區(qū)間單調遞減，因此當時，，因為的定義域要求有意義，即，同時還要求，即要求，所以的定義域為 且，要證，因為，所以需證，即需證，令，則且，則只需證，令，則，令，可得，所以，；，；所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，即成立.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).21．已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說明是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交曲線于，兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結并延長交曲線于點.（ⅰ）證明：直線與的斜率之積為定值；（ⅱ）求面積的最大值.【答案】(1)，為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點；(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）. 【分析】（1）直接利用斜率公式即可求解；（2）（i）設直線的方程為聯(lián)立橢圓方程可得點坐標，設，根據(jù)坐標之間的聯(lián)系可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立運用韋達定理求出的坐標，再利用斜率公式求出，進而即得；（ii）由題可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）因為，，，所以，所以，化解得，  所以為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點；（2）（ⅰ）設直線的斜率為，則其方程為，由，得，記，則，，，  于是直線的斜率為，方程為，由，得①，設，則和是方程①的解，故，由此得，從而直線的斜率，所以，即直線與的斜率之積為定值；（ⅱ）由（ⅰ）可知，，，所以，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.22．在直角坐標系中，的圓心為，半徑為4.(1)寫出的一個參數(shù)方程；(2)直線與相切，且與軸和軸的正半軸分別交于，兩點，若，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線的極坐標方程.【答案】(1)（為參數(shù)）；(2)，或. 【分析】（1）由題可得的標準方程進而可得的參數(shù)方程；（2）根據(jù)題意可得直線的斜率為，然后利用直線與圓的位置關系可得直角坐標方程，進而即得.【詳解】（1）由題意可知，的標準方程為，所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）由題意可知，直線的斜率為，設其方程為，即，因為圓心到直線的距離為4，所以，化解得，解得，或，所以直線的直角坐標方程為，或，所以直線的極坐標方程為，或.23．已知函數(shù).(1)當時，求不等式的解集；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）當時，，解不等式，討論代入，可得解；（2）根據(jù)絕對值不等式性質，，只需即可，運算可得解.【詳解】（1）當時，由，得，當時，得，解得，又，所以；當時，得，不成立；當時，得，解得，又，所以.綜上，原不等式的解集為或.（2）根據(jù)絕對值不等式性質，，當的值在與之間（包括兩個端點）時取等號，若，則只需，當時，，恒成立；當時，等價于，或，解得，綜上，的取值范圍為. 

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