湖北省武漢市江漢區(qū)2025屆高三上學期7月新起點摸底考試數(shù)學試卷(含答案)

這是一份湖北省武漢市江漢區(qū)2025屆高三上學期7月新起點摸底考試數(shù)學試卷(含答案)，共15頁。試卷主要包含了選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．已知全集,,則集合( )
A.B.C.D.
2．已知（i是虛數(shù)單位）是關于x的方程的一個根，則( )
A.9 B.1 C.-7 D.
3．已知隨機變量,且,則( )
A.0.8B.0.6C.0.4D.0.3
4．已知數(shù)列滿足,,則( )
A.B.C.D.5
5．已知,,,則在上的投影向量為( )
A.B.C.D.
6．已知,且,則( )
A.-6B.-2C.2D.6
7．已知雙曲線的左右焦點分別為,,過的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點,若的周長為,則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A.B.C.D.
8．設函數(shù),若,則的最小值為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．某班有男生30人,女生20人.在某次考試中,男生成績的均分和女生成績的均分分別為,;方差分別為,,該班成績的均分和方差為,,則下列結論一定正確的是( )
A.B.
C.D.
10．在平面直角坐標系中,,,則下列曲線中存在兩個不同的點M,N使得且的有( )
A.B.C.D.
11．已知函數(shù),記的最小值為,則( )
A.
B.,的圖象關于直線對稱
C.
D.
三、填空題
12．的展開式中的系數(shù)是_____________.（用數(shù)字作答）
13．底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為____________.
14．將編號為1,2,3,4,5的5個小球隨機放置在圓周的5個等分點上,每個等分點上各有一個小球.則使圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和最小的放法的概率為_________________.
四、解答題
15．已知的三個內(nèi)角A,B,C滿足.
(1)求角C;
(2)若邊上的高等于,求.
16．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱.證明：當時,不等式恒成立.
17．如圖,在三棱錐中,,,,,D為上的動點.
(1)若,求證：平面;
(2)若平面與平面的夾角為,求的長.
18．已知橢圓的離心率,連接四個頂點所得菱形的面積為4.斜率為k的直線交橢圓于A,B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若,求的最大值;
(3)設O為坐標原點,若A,B,O三點不共線,且,的斜率滿足,求證：為定值.
19．若有窮數(shù)列滿足：且,則稱其為“n階數(shù)列”.
(1)若“6階數(shù)列”為等比數(shù)列,寫出該數(shù)列的各項;
(2)若某“階數(shù)列”為等差數(shù)列,求該數(shù)列的通項（,用n,k表示）;
(3)記“n階數(shù)列”的前項和為,若存在,使,試問：數(shù)列能否為“n階數(shù)列”？若能,求出所有這樣的數(shù)列;若不能,請說明理由.
參考答案
1．答案：D
解析：因為,所以且,,,
又
所以,
故選：D.
2．答案：B
解析：已知（i是虛數(shù)單位）是關于x的方程的一個根，
則，即，即，
解得，故，
故選B.
3．答案：B
解析：因為,正態(tài)分布圖象的對稱性可知,,
所以.
故選：B.
4．答案：B
解析：,,
,,,
故選：B.
5．答案：C
解析：由,得,
所以,
所以在上的投影向量為.
故選：C.
6．答案：A
解析：由題,,
則,
,
,
,
故選：A.
7．答案：D
解析：根據(jù)雙曲線定義知：的周長為,而,
所以,而的周長為,
所以,即,所以,解得,
雙曲線離心率的取值范圍是.
故選：D.
8．答案：A
解析：的定義域為,
令,得,
①當時,滿足題意,;
②當時,,由,得,
要使任意,恒成立,則,
所以;
③當時,,由,得,
要使任意,恒成立,則,
所以;
綜上,,即.
又,,
當且僅當時,取最小值.
所以的最小值為.
故選：A.
9．答案：AD
解析：某班有男生30人,女生20人.在某次考試中,男生成績的均分和女生成績的均分分別為,;方差分別為,,
對于A、B,該班成績的均分為,所以A正確,B錯誤;
對于C、D,
,
所以,同理,
該班成績的方差為
,所以D正確,C錯誤;
故選：AD.
10．答案：BD
解析：由題,線段的垂直平分線為：,與曲線有兩個不同的交點,
對于A選項,圓心,圓心到直線的距離為,直線與圓只有一個交點,不合題意,故A選項錯誤;
對于B選項,聯(lián)立,故B選項正確;
對于C選項,無解,故C選項錯誤;
對于D選項,,故D選項正確.
故選：BD.
11．答案：BCD
解析：對于A中,當時,;當時,設,則,
令,可得,其中,
當時,,所以,可得;
當時,,所以,即,
所以,所以A錯誤;
對于B中,因為,
所以函數(shù)的圖象都關于直線對稱,所以B正確;
對于C中,由A選項知,,,所以的最大值為1,即的最大值為1,故C正確;
對于D中,設,可得,
當時,,單調(diào)遞增;
當時,,單調(diào)遞減,
又由,所以,即,所以,
可得,所以,所以D正確;
故選：BCD.
12．答案：40
解析：因為展開式的通項,
所以含的項為第3項,即,
所以的系數(shù)是.
故答案為：40.
13．答案：28
解析：方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.
方法二：由方法一可知，棱臺的體積為.故答案為28.
14．答案：
解析：五個編號不同的小球放在圓周的五個等分點上,
每點放一個相當于五個不同元素在圓周上的一個圓形排列,共有種放法,
考慮到翻轉(zhuǎn)因素,故本質(zhì)不同的放法有種,
下求使圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和最小的放法數(shù)：
在圓周上,從1到5有優(yōu)弧和劣弧兩條路徑,對其中任一條路徑,
設,,,是依次排列于這段弧上的小球號碼,
則,
當且僅當時,上式等號成立,即每段弧上的小球編號均為由1到5遞增排列,
因此圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和的最小值為,
由上,知當每段弧上的球號確定之后,達到最小值的排序方案便唯一確定,
在1,2,…,5中,除1與5外,剩下三個球號2,3,4,
將它們分為兩個子集,元素較少的一個子集共有種情形,
每種情形對應著圓周上使圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和為最小的唯一排法,即事件總數(shù)為4種,
故所求概率.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,得,
即,所以,
因為A,B,C為的三個內(nèi)角,所以,所以.
(2)設BC邊上的高,在中,,則,
又因為,則,
令,,易得：,,,
所以.
16．答案：(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,函數(shù)的極大值為,無極小值
(2)證明見解析
解析：(1)由可得：,故當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,
當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,
且當時,函數(shù)的極大值為,無極小值.
(2)因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱,所以則.
令,則
則當時,,故函數(shù)單調(diào)遞增,
于是,當時,,故當時,不等式恒成立.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)在中,,,則,
又,,所以
由勾股定理可得為直角三角形,,
所以,所以
在中,因為,
由余弦定理可得：,
則,所以,
又,,在
中由余弦定理可得：,
則,所以,
又,平面,平面,
所以平面
(2)在上取一點O,使由（1）可得平面,作,
如圖以O為坐標原點,,,所在的直線分別作為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.
則點,,,,
因為平面,所以為平面的一個法向量,
設平面的一個法向量為,,,
由可得,取,則,,所以,
因為,所以,解得,
即,又,
所以,
所以當時,則二面角的大小為.
18．答案：(1)
(2).
(3)證明見解析
解析：(1)因為,所以,
又連接四個頂點所得菱形的面積為,可得,
解得,,所以橢圓方程為.
(2)如圖所示：
設直線的方程為：,,
聯(lián)立,可得：,則,
由韋達定理可得：,,
由弦長公式可得：
當時,取得最大值.
(3)如圖所示：
設直線的方程為：,,,
聯(lián)立,可得：,則
由韋達定理可得：,
又由,可得,
代入可得,即.所以,
所以故為定值.
19．答案：(1),,,,,或,,,,,
(2)答案見解析
(3)不是,理由見解析
解析：（1）設,,,,,成公比為q的等比數(shù)列,顯然,
則有,得,解得,
由,
得,解得,
所以數(shù)列,,,,,或,,,,,為所求;
(2)設等差數(shù)列,,,,的公差為d,
,
,,即,,
當時,矛盾,
當時,,
,即,由得,
即,
,
當時,同理可得,即,
由得,即,
,
綜上所述,當時,,
當時,;
(3)記,,,中非負項和為A,負項和為B,則,,
得,,即,
若存在,使,
可知：,,,,,,,且,
時,,;時,
,
又與不能同時成立,
數(shù)列不為“n階數(shù)列”.