一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再與集合求交集.
【詳解】因?yàn)椋?br>=，
所以．
故選：D
2．已知（i是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，求得，進(jìn)而確定的虛部.
【詳解】，
所以，的虛部為.
故選：B
3．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為85.5尺，則芒種日影長(zhǎng)為（ ）
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)數(shù)列為，首項(xiàng)為，公差為，
則，
，
解得，，
芒種日影長(zhǎng)為．
故選：B．
4．已知，且，則（ ）
A．B．C．－D．
【答案】A
【分析】由已知求得的正弦值余弦值即可求得.
【詳解】由已知得，又因?yàn)?，?br>故選：A
5．已知曲線在處的切線方程為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再由已知的切線方程得到斜率，由此可求得，進(jìn)而求得切點(diǎn)，再將切點(diǎn)代入切線方程即可求得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以曲線在處的切線的斜率為，
又因?yàn)榍芯€方程為，即，得，
所以，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，即切點(diǎn)為，
將其代入切線方程得，得.
故選：A.
6．第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行．現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國(guó)家高山滑雪館、國(guó)家速滑館、首鋼滑雪大跳臺(tái)三個(gè)場(chǎng)館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場(chǎng)館都有人去，且這四人都在這三個(gè)場(chǎng)館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件利用分類加法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列、組合知識(shí)計(jì)算作答.
【詳解】因甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺(tái)，計(jì)算安排種數(shù)有兩類辦法：
若有兩個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國(guó)家高山滑雪館與國(guó)家速滑館，有種；
若有一個(gè)人去首鋼滑雪大跳臺(tái)，從丙、丁中選，有種，然后剩下的一個(gè)人和甲、乙
被安排去國(guó)家高山滑雪館與國(guó)家速滑館，有種，則共有種，
綜上可得，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為.
故選：B
7．如圖，一座垂直建于地面的信號(hào)發(fā)射塔的高度為，地面上一人在A點(diǎn)觀察該信號(hào)塔頂部，仰角為，沿直線步行后在B點(diǎn)觀察塔頂，仰角為，若，此人的身高忽略不計(jì)，則他的步行速度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用直角三角形邊角關(guān)系求出AD，BD，再利用余弦定理計(jì)算作答.
【詳解】依題意，在中，，則m，
在中，，則m，
在中，，由余弦定理得：，
即，解得m，即有，
所以他的步行速度為.
故選：D
8．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，判斷函數(shù)奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.
【詳解】由，則其定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，故函?shù)為偶函數(shù)，
，，
令，解得，可得下表：
故選：A.
9．生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的，則可推斷該文物屬于（ ）
參考數(shù)據(jù)：
參考時(shí)間軸：
A．宋B．唐C．漢D．戰(zhàn)國(guó)
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件可得函數(shù)關(guān)系，取即可計(jì)算得解.
【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，而與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為，
則有，解得，于是得，
當(dāng)時(shí)，，于是得：，解得，
由得，對(duì)應(yīng)朝代為戰(zhàn)國(guó)，
所以可推斷該文物屬于戰(zhàn)國(guó).
故選：D
10．在中，點(diǎn)D在BC上，且滿足，點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)共線向量定理的推論，三點(diǎn)共線的結(jié)論可得，，再根據(jù)“”的代換即可求出．
【詳解】因?yàn)椋?，即?br>由三點(diǎn)共線可得，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
故選：D．
11．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象
D．若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】解：由題圖可得，，故，所以，
又，即，所以，
又，所以，所以.
當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)
的圖象，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，?br>所以方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍是，故D正確.
故選：D
12．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則不等式在上的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)對(duì)稱性及奇偶性得到函數(shù)的周期，以及大概的圖像，然后通過題目給出的信息構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，證明其單調(diào)性，最后通過數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.
【詳解】由題可得函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，由此可得函數(shù)是周期為2的函數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)是，令，所以
即在上單調(diào)遞增，所以，即
又因?yàn)闀r(shí)，，所以
所以在上，，
由函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，做出函數(shù)的草圖及的圖像
結(jié)合圖像，可得不等式在上的解集為
故選：A
二、填空題
13．的展開式中，的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】結(jié)合乘法分配律以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.
【詳解】由題意可知，展開式的通項(xiàng)為，
則的展開式中，
含的項(xiàng)為，
所以的系數(shù)是.
故答案為：
14．在數(shù)列{an}中， ，若 的前n項(xiàng)和為，則項(xiàng)數(shù)n＝ .
【答案】2022
【分析】利用裂項(xiàng)求和法求得 的前n項(xiàng)和的表達(dá)式，由題意列出方程，求得答案.
【詳解】由題意得，
＝＝，
∴n＝2022,
故答案為：2022
15．在中，已知a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且滿足，A、B、C成等差數(shù)列，則角C= ．
【答案】或
【分析】由正弦定理化邊為角，利用二倍角的正弦公式得到，再由三角形內(nèi)角的范圍得到或．由成等差數(shù)列求出角，最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得答案．
【詳解】由，利用正弦定理得：，
即，∴，
∵，，．
∴或．
∴或．
又成等差數(shù)列，則，由，得．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
∴或．
故答案為：或.
16．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足：，且，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，求導(dǎo)可得（C為常數(shù)），根據(jù)求得C，即可得.則可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，即，結(jié)合的單調(diào)性可得對(duì)任意的恒成立.令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可得實(shí)數(shù)的最小值.
【詳解】設(shè)，則，
故（C為常數(shù)）.
因?yàn)?，所以，解?
所以.
則對(duì)任意,不等式恒成立，
即對(duì)任意,不等式恒成立，
即對(duì)任意,不等式恒成立，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增.
即為
故對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立.
令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
故.
所以,即.
則實(shí)數(shù)的最小值為.
故答案為:.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍點(diǎn)睛：
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
三、解答題
17．已知函數(shù)在處取得極值1.
(1)求；
(2)求函數(shù)在上的最值.
【答案】(1)；
(2)最大值為5，最小值為1.
【分析】（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，然后利用題干已知的極值點(diǎn)與極值列出方程組，求解出參數(shù)值并驗(yàn)證.
（2）結(jié)合（1）的計(jì)算結(jié)果，利用導(dǎo)數(shù)求出在給定區(qū)間上的最值即可.
【詳解】（1）由，結(jié)合題設(shè)，
有，的，所以或；
當(dāng)時(shí)，在上恒為增函數(shù)，故不是極值點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
但時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
是極小值點(diǎn)，符合題意，故.
（2）由（1）知，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，
所以在上的最大值和最小值分別為：和.
18．某中學(xué)組織一支“雛鷹”志愿者服務(wù)隊(duì)，帶領(lǐng)同學(xué)們利用周末的時(shí)間深入居民小區(qū)開展一些社會(huì)公益活動(dòng)．現(xiàn)從參加了環(huán)境保護(hù)和社會(huì)援助這兩項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng)的志愿者中，隨機(jī)抽取男生80人，女生120人進(jìn)行問卷調(diào)查（假設(shè)每人只參加環(huán)境保護(hù)和社會(huì)援助中的一項(xiàng)），整理數(shù)據(jù)后得到如下統(tǒng)計(jì)表：
(1)能否有99％的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會(huì)公益活動(dòng)所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)？
(2)以樣本的頻率作為總體的概率，若從本校所有參加社會(huì)公益活動(dòng)的女生中隨機(jī)抽取4人，記這4人中參加環(huán)境保護(hù)的人數(shù)為，求的分布列和期望．
附：，其中．
【答案】(1)沒有
(2)分布列見解析，
【詳解】解：（1）因?yàn)椋?br>所以沒有99％的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會(huì)公益活動(dòng)所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)．
（2）由統(tǒng)計(jì)表得，女生參加環(huán)境保護(hù)的頻率為，
故從女生中隨機(jī)抽取1人，此人參加環(huán)境保護(hù)的概率為，
由題意知，，
則，．
的分布列為
故
19．在銳角中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
(1)求角的大??；
(2)若，求周長(zhǎng)的范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和和差角公式轉(zhuǎn)化為，即可求出角A;
（2）利用正弦定理表示出，，得到周長(zhǎng)為利用三角函數(shù)求最值，即可求出周長(zhǎng)
【詳解】（1）由正弦定理得：，
，，
，
，，，.
（2）由正弦定理：，則，，
，，
周長(zhǎng)為
，
又銳角，，結(jié)合
，，，，即周長(zhǎng)的范圍是.
20．在數(shù)列中，，，，其中.
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出證明過程；
(2)設(shè)，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義只需證明為常數(shù)，即可得證；
（2）由（1）可得，即，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，，?br>所以
，
又，所以數(shù)列是以為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可得，所以，
所以①，
②，
所以①②得
，
所以.
21．已知函數(shù)
(1)若，求的極小值
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時(shí)，證明：有且只有2個(gè)零點(diǎn).
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的極小值.
（2）先求得，然后通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及對(duì)進(jìn)行分類討論，從而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論以及零點(diǎn)存在性定理證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)椋?br>，
所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值.
（2）的定義域?yàn)椋?br>.
令，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以即在上遞增.
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間即遞減；
在區(qū)間即遞增.
（3）當(dāng)時(shí)，，，
由（2）知，在上遞增，，
所以存在使得，即.
在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也即是最小值為，
由于，所以.
，
，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在區(qū)間和各有個(gè)零點(diǎn)，
所以有個(gè)零點(diǎn).
【點(diǎn)睛】本題第一問是簡(jiǎn)單的利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，第二問和第三問是連貫的兩問，合起來可以理解為利用多次求導(dǎo)來研究函數(shù)的零點(diǎn).即當(dāng)一次求導(dǎo)無法求得函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，可考慮利用多次求導(dǎo)來解決.
22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是.
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于，（均異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，若，求的值.
【答案】(1)；；
(2)或.
【分析】（1）消去參數(shù)可得C的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式可求直線直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線普通方程，消元后根據(jù)參數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】（1）由（α為參數(shù)），得，
故曲線的普通方程為，
由，得，
故直線的直角坐標(biāo)方程為；
（2）由題意可知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程并整理得，
設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是，，則，，
因?yàn)椋?br>所以，解得或.
23．已知函數(shù)．
（1）畫出的圖像；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）詳解解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)分段討論法，即可寫出函數(shù)的解析式，作出圖象；
（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)?，作出圖象，如圖所示：
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：
由，解得．
所以不等式的解集為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于基礎(chǔ)題．
極小值
極小值
女生
男生
合計(jì)
環(huán)境保護(hù)
80
40
120
社會(huì)援助
40
40
80
合計(jì)
120
80
200
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
4

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2023屆四川省內(nèi)江市高三上學(xué)期零模數(shù)學(xué)（理）試題

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