一、單選題
1．已知復(fù)數(shù)，則（ ）．
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出，再用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：D．
2．已知集合，，且，則a＝（ ）
A．0或B．0或1C．1或D．0
【答案】A
【分析】根據(jù)集合元素相等列方程求解，注意集合元素的互異性對(duì)集合元素的限制.
【詳解】∵，
∴或，
∴或a=，
又由于集合元素的互異性，應(yīng)舍去1，
∴或a=.
故選：A．
3．若角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)的定義解之即可.
【詳解】.
故選：B．
4．設(shè)向量，，則“與同向”的充要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面平行向量的坐標(biāo)表示求出的值，驗(yàn)證同向與反向即可.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，，同向；
當(dāng)時(shí)，，反向.
故選：A．
5．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則b＝（ ）
A．8B．6C．5D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，結(jié)合正弦定理計(jì)算即可.
【詳解】在中，，
∵，∴，
由正弦定理得，
故選：C．
6．從3男2女共5名醫(yī)生中，抽取2名醫(yī)生參加社區(qū)核酸檢測(cè)工作，則至少有1名女醫(yī)生參加的概率為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由條件列出樣本空間，確定樣本空間的基本事件數(shù)，再確定事件至少有1名女醫(yī)生包含的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式求其概率.
【詳解】解：將3名男性醫(yī)生分別設(shè)為a，b，c，2名女性醫(yī)生分別設(shè)為d，e，
這個(gè)實(shí)驗(yàn)的樣本空間可記為，
共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，記事件A為至少有1名女醫(yī)生參加，
則，
則A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，∴，
故選：C．
7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】作出線性規(guī)劃區(qū)域，，表示可行域內(nèi)過(guò)與原點(diǎn)的直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】如圖，由，，三點(diǎn)組成的平面區(qū)域?yàn)榭尚杏颍?br>表示可行域內(nèi)過(guò)與原點(diǎn)的直線的斜率，
當(dāng)直線過(guò)時(shí)，的最大值為3.
故選：D．
8．已知命題，若命題是假命題，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由命題是假命題可知其否定為真命題，由此結(jié)合判別式列不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)槊}是假命題，
所以其否定為真命題，
即，解得，
故選：C
9．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（ ）．
A．2000B．2010C．2020D．2021
【答案】A
【分析】根據(jù)前n項(xiàng)和與的關(guān)系，得出，即可求解.
【詳解】由題可得，①
當(dāng)時(shí)，，②
由①－②得，，整理得，
又由，
所以．故選：A．
10．已知，實(shí)數(shù)滿足對(duì)于任意的，都有，若，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．3
C．D．
【答案】D
【分析】由題得是的一個(gè)極大值點(diǎn)，化簡(jiǎn)即得解.
【詳解】解：由題意及正弦函數(shù)的圖象可知，是的一個(gè)極大值點(diǎn)，
由，得.
故選：D.
11．已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】有三個(gè)零點(diǎn)，即的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，作出圖象可得結(jié)論．
【詳解】由得，作函數(shù)的圖象及直線，它們有三個(gè)交點(diǎn)，則，∴．
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)定義轉(zhuǎn)化為方程的解，再轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)，由函數(shù)圖象易得結(jié)論．
12．對(duì)于三個(gè)不等式：①；②；③（；）．其中正確不等式的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】對(duì)于①，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性直接判斷；對(duì)于②，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則選擇中間變量比較大小或利用換底公式合理放縮比較大??；對(duì)于③，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)題中的不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,合理賦值驗(yàn)證結(jié)論.
【詳解】對(duì)于①：，故①正確；
對(duì)于②：，
，
或，故②正確；
對(duì)于③：.
設(shè)，則，,
易得當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以（時(shí)等號(hào)成立），
則有，
∴，故③正確.
綜上可知，正確不等式的個(gè)數(shù)為3個(gè).
故選：D.
二、填空題
13．若曲線在點(diǎn)處的切線平行于x軸，則a＝ ．
【答案】1
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與平行的性質(zhì)得到方程，解之即可.
【詳解】由已知得，故，即，則.
故答案為：1．
14．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，若時(shí)，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件分析函數(shù)的周期性，再結(jié)合周期計(jì)算作答.
【詳解】因R上的奇函數(shù)滿足，則，
即，于是得的周期為4，
所以.
故答案為：
15．若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為 ．
【答案】
【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
則等價(jià)于或，求解即可．
【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
則等價(jià)于或
即或或
解得或．
故不等式的解集為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查不等式求解，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)的能力，屬于中檔題．
16．設(shè)，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由時(shí)，，得到的圖象關(guān)于對(duì)稱，不妨設(shè)，畫(huà)出圖象，易得，，，代入求解.
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，
不妨設(shè)，
如圖所示：

由圖象知：，，
所以，，，，
所以，
，
，
令，
則.
故答案為：
三、解答題
17．在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，已知．
(1)求角B的大?。?br>(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2)3.
【分析】(1)根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系和角B的范圍即可求解；
(2)根據(jù)三角形的面積公式可得，利用余弦定理求得，即可得解.
【詳解】（1）在中，由正弦定理得，
∵，代入化簡(jiǎn)得，
∵，∴，
∴，又顯然，即，
∴，又∵，∴.
（2）∵，由，得．
在△ABC中，由余弦定理，得
∴，
∴，∴△ABC的周長(zhǎng)為3．
18．已知命題：“實(shí)數(shù)滿足”，命題：“，都有意義”．
(1)已知，為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將代入，化簡(jiǎn)、，然后根據(jù)為假命題，為真命題，列出不等式，即可得到結(jié)果.
（2）先根據(jù)條件化簡(jiǎn)、得到，然后根據(jù)是的充分不必要條件，列出不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，
得，即：若為真命題，則；
若為真命題，即恒成立，
則當(dāng)時(shí)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，解得，
故．
故若為假命題，為真命題，
則，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（2）對(duì)于，且．
對(duì)于，，則：或．
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，
所以，解得．
故的取值范圍是.
19．致敬百年，讀書(shū)筑夢(mèng)，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，并從中抽取100位學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規(guī)定：成績(jī)?cè)趦?nèi)為優(yōu)秀，成績(jī)低于60分為不及格．
(1)求a的值，并用樣本估算總體，能否認(rèn)為該校參加本活動(dòng)的學(xué)生成績(jī)符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求；
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99％的把握認(rèn)為此次競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān)．
附：
【答案】(1)，不能；
(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析；沒(méi)有99％的把握認(rèn)為此次競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān).
【分析】（1）利用概率分布直方圖的性質(zhì)先求出，進(jìn)而求得60分以下的概率估計(jì)值，即可判斷；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，先求得優(yōu)秀的人數(shù)，再填寫(xiě)列聯(lián)表，進(jìn)而再求，查表后可以判斷得沒(méi)有99％的把握.
【詳解】（1），解得，
成績(jī)不及格的頻率為，
∴“成績(jī)不及格”的概率估計(jì)值為21％，
∵21％＞20％，
∴不能認(rèn)為該校參加本活動(dòng)的學(xué)生成績(jī)符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求．
（2）由（1）可得成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為：，
即樣本中成績(jī)優(yōu)秀有20人，由此完成2×2列聯(lián)表如下所示：
假設(shè)：此次競(jìng)賽成績(jī)與性別無(wú)關(guān)，則
，
∴沒(méi)有99％的把握認(rèn)為此次競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān)．
20．已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù).
(1)求.
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并說(shuō)明理由，再求函數(shù)在上的最值.
(3)若函數(shù)滿足不等式，求出t的范圍.
【答案】(1)
(2)是區(qū)間上的增函數(shù)，理由見(jiàn)解析，
(3)
【分析】（1）由函數(shù)的奇偶性定義以及性質(zhì)求解即可；
（2）利用定義證明單調(diào)性，進(jìn)而得出最值；
（3）由在區(qū)間上的單調(diào)性以及奇偶性，解不等式得出t的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)樵谑瞧婧瘮?shù)
驗(yàn)證：，，函數(shù)為奇函數(shù)；
為偶函數(shù)，則
驗(yàn)證：，，函數(shù)為偶函數(shù).
（2）是區(qū)間上的增函數(shù)，理由如下：
設(shè)是區(qū)間上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，
則
因?yàn)樗?br>是區(qū)間上的增函數(shù)
（3）因?yàn)槭菂^(qū)間上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，
由滿足
，即t的范圍是
21．設(shè)， 其中．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)令， 若在上恒成立， 求的最小值．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)的最小值為.
【分析】(1)討論，解不等式求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，解不等式求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)由在上恒成立可得，由此可求的最小值．
【詳解】（1），
①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
（2）因?yàn)椋?br>所以若，，與在上恒成立矛盾，
所以，
則，
令，
則由可知在上單調(diào)遞減，
又當(dāng)時(shí)，，，
，
又，
，使得，
，，
，
，
且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
，
又，
，解得，
令，
則在上恒大于0，
在上單調(diào)遞增，
．
【點(diǎn)睛】對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：
(1)恒成立?；
(2)恒成立?.
22．如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，點(diǎn)，曲線M是以O(shè)A為直徑，為圓心的半圓，點(diǎn)B在曲線M上，四邊形OBCD是正方形．
(1)當(dāng)時(shí)，求B，C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)B在曲線M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求D點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．
【答案】(1)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為
(2)
【分析】（1）連接，可得到，通過(guò)數(shù)據(jù)可得到，即可得到點(diǎn)B的極坐標(biāo)，再算出，即可得到點(diǎn)C的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)，，通過(guò)題意可得到，通過(guò)求出曲線M的極坐標(biāo)方程即可得到點(diǎn)B的極坐標(biāo)方程，將上式關(guān)系代入即可得到答案
【詳解】（1）連接，因?yàn)槭侵睆剑裕?br>在中，，，
∴，∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)為，
在正方形OBCD中，，，
∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為；
（2）設(shè)，，且①，
由題意可得的直角坐標(biāo)為，所以曲線M的普通方程為即
將代入曲線M的普通方程得極坐標(biāo)方程為，
當(dāng)時(shí)，O，B兩點(diǎn)重合，不合題意，
∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)方程為，
將①式代入得點(diǎn)D的極坐標(biāo)方程為
23．已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若關(guān)于x的不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）的解集轉(zhuǎn)化為用零點(diǎn)分段法求不等式的解集即可；
（2）要使不等式有解，轉(zhuǎn)化為解不等式即可．
【詳解】（1）∵函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，；
化為，解得，∴；
當(dāng)時(shí)，；
化為，解得，∴無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，，
化為，解得，∴．
綜上，的解集為.
（2）由（1）得的最小值3，
原不等式有解等價(jià)于的最小值，
∴，
即，解得或，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
合計(jì)
男
5
女
35
合計(jì)
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
合計(jì)
男
5
45
50
女
15
35
50
合計(jì)
20
80
100

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