內(nèi)江六中2022—2023學年度（下）高2024屆第二次月考數(shù)學試題（理科）時間：120分鐘  總分：150分出題人：胡文強  做題人：向迅  審題人：劉建國一、選擇題（每小題5分，共60分）1. 復數(shù)的虛部是（    ）A. i B.  C. i D. 5【答案】B【解析】分析】對復數(shù)化簡后可求得其虛部【詳解】因為，所以復數(shù)的虛部為，故選：B2. 設(shè)拋物線的焦點為，若點在拋物線上，且，則（    ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【分析】由拋物線的定義求出p的值.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，點在拋物線上，且，由拋物線的定義可知，則.故選：C3. 已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則（    ）A.  B. 1 C.  D. 2【答案】A【分析】求得，令，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，解得.故選：A.4. 已知直線l的一個方向向量，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點，則y－z等于（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】由題知：，因為，所以，解得，所以.故選：A5. 已知函數(shù)，則的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值符號，由此可得出函數(shù)的圖象.【詳解】對于函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，求導得.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的最小值為，即對任意的，.所以，函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.所以，函數(shù)的圖象如A選項中函數(shù)的圖象.故選：A.【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；（2）從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．（3）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（5）函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.6. 某校安排三個年級的課外活動，時間在周一至周五，要求每個年級只參加一次且每天至多安排一個年級且高三年級安排在另外兩個年級的前面，則不同的安排方法共有（    ）A. 種 B. 種 C. 種 D. 種【答案】D【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理和排列組合，先選時間再安排年級即可求解【詳解】從周一到周五選擇三天，共有，將選出來的三天安排三個年級，因為高三必須在前面，所以只需要對高一高二兩個年級進行安排，共有.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方法共有 故選：D7. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【分析】先求函數(shù)的定義域，再利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得解.【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域為.，令.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A8. 設(shè)分別是雙曲線的左?右焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【分析】由雙曲線的方程可得兩焦點的坐標及漸近錢的方程，由題意求出 的方程，與漸近線聯(lián)立求出P的坐標，進而求出的值，由點到直線的距離公式，求的值，由由求出a，c的關(guān)系，進而求出離心率．【詳解】由雙曲線的方程可得雙曲線漸近線方程：，右焦點，到漸近線的距離， 由漸近線的對稱性，設(shè)漸近線為，①則直線方程為∶ ②，由①②可得， 則，左焦點，所以 ，  由，有，得，即 ， ，則的離心率為故選∶C·9. 若曲線在點處的切線方程為，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 1【答案】D【分析】先根據(jù)題意建立，的方程，再把用一個變量來表示，再構(gòu)造函數(shù)求最小值即可得到的最小值．【詳解】解：，因為切點在直線上，所以①，，結(jié)合導數(shù)的幾何意義有②，因為，所以，聯(lián)立①②消去得，所以，，令，則，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，故的最小值為 1．故選：．10. 定義兩個向量與的向量積是一個向量，它的模，它的方向與和同時垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則（    ）  A.  B. 4 C.  D. 【答案】A【分析】根據(jù)題中條件確定，設(shè)底面△ABD的中心為O，則CO⊥平面ABD，可求得，又的方向與相同，代入計算可得答案．【詳解】，，設(shè)底面△ABD的中心為O，連接CO，AO，則OC⊥平面ABD，又AO，AB，AD ?平面ABD，故OC⊥AO， OC⊥AB，OC⊥AD，，，在中，，則，又的方向與相同， 所以．故選：A．11. 已知是橢圓與拋物線的一個交點，定義.設(shè)定點，若直線與曲線恰有兩個交點與，則周長的取值范圍是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【分析】拋物線與橢圓聯(lián)立，得到和，從而得到，畫出和圖像，根據(jù)焦半徑公式，得到和，從而表示出的周長，根據(jù)的范圍，得到答案.【詳解】，解得，，所以，直線，作出函數(shù)和的圖像，由圖像可得點在拋物線上，在橢圓上，點為拋物線的焦點，所以，點為橢圓的右焦點，橢圓的離心率為，所以，即由焦半徑公式可得，的周長為，由，得到，所以的周長的取值范圍為.故選：C.【點睛】本題考查拋物線的定義，橢圓焦半徑公式，橢圓上點的范圍，屬于中檔題.12. 若當時，關(guān)于x的不等式恒成立，則滿足條件的a的最小整數(shù)為（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【分析】設(shè)，，求出其導數(shù)后再次求導，就、可求滿足條件的最小正整數(shù).【詳解】設(shè)，，則，設(shè)，則，當時，，故，而，故當時，，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，所以即恒成立.當時，，故存在，使得任意，總有，故在為減函數(shù)，故任意，總有，所以任意，總有，故在為減函數(shù)，故，這與題設(shè)矛盾，故最小整數(shù)為0．故選:A．【點睛】思路點睛：不等式的恒成立，可以通構(gòu)建新函數(shù)并結(jié)合導數(shù)的符號來確定新函數(shù)的最值，必要時需二次求導并結(jié)合局部保號性來處理.二、填空題（每小題5分，共20分）13. 的展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）【答案】0【分析】由，再利用通項公式求解.【詳解】解：，展開式的通項公式為，所以展開式中的系數(shù)為，故答案為：014. 《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù)．得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式等式具有“穿墻術(shù)”：，，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則__________．【答案】63.【詳解】∵，，，∴按照以上規(guī)律，可得.故答案為.15. 已知函數(shù)，當時，恒有，則實數(shù)的取值范圍是___________【答案】【分析】依題意可得，令，，則在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，參變分離，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以，令，，因為當時，所以在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，令，，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：16. 已知橢圓的左、右焦點分別為，為橢圓上的動點．當的外接圓和內(nèi)切圓的半徑之積的最大值取到時，的最大值為，則________．【答案】【分析】設(shè)，利用正弦定理可得外接圓半徑，利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義，通過等面積法可得內(nèi)切圓半徑，所以，又根據(jù)橢圓的對稱性可知當是橢圓的短軸頂點時取得最大值，結(jié)合題意可得，再設(shè)，利用兩點距離公式即可求解.【詳解】設(shè)，則由正弦定理得的外接圓半徑，由余弦定理得，整理得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，所以由等面積法可得，解得，所以兩半徑之積，又由橢圓的對稱性可得，所以，解得，此時是橢圓的短軸頂點,橢圓方程為，不妨設(shè)是橢圓的上頂點，設(shè)，，則，所以，故答案為：三、解答題（共6個小題，共70分） 17. 已知雙曲線：的一條漸近線的傾斜角為，且一個焦點與拋物線：的焦點重合，求雙曲線的標準方程；【答案】【分析】由雙曲線性質(zhì)可求出的值，求出雙曲線的標準方程；【詳解】（1）由雙曲線：一條漸近線的傾斜角為，所以，又拋物線：的焦點，所以，可得，解得，所以雙曲線標準方程為 .18. 已知函數(shù)在處取得極值2.（1）求a，b的值：（2）求函數(shù)在上的最值.【答案】（1）的值為，的值為2；    （2）最小值2，最大值為.【分析】（1）利用極值的定義列方程求解；（2）利用導數(shù)討論函數(shù)在的單調(diào)性，結(jié)合極值和區(qū)間端點處的函數(shù)值即可求最值.【小問1詳解】，，在處取得極值2，且，即，解得，此時，由，可得，在上單調(diào)遞減，由，可得， 在上單調(diào)遞增，所以在處取得極值，符合題意，所以的值為，的值為2；【小問2詳解】由（1）有，，由，可得，在上單調(diào)遞減，由，可得， 在上單調(diào)遞增，時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此在處取得極小值，即為最小值，，，，，在處取得最大值，綜上所述，在上的最小值為2，最大值為.19. 已知曲線上任意一點到點的距離比它到直線的距離大1.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求證：.【答案】（1）    （2）證明見解析【分析】（1）設(shè)動點，根據(jù)動點到點的距離比它到直線的距離大，可得動點到點的距離等于它到直線的距離，由此建立方程，即可求得曲線的方程；（2）設(shè)、，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，即可得到，從而得證.【小問1詳解】設(shè)動點，動點到點的距離比它到直線的距離大，即動點到點的距離等于它到直線的距離，，兩邊平方，化簡可得.【小問2詳解】設(shè)、，由，消去得，則，所以，，所以，所以，即.20. 如圖所示，在三棱錐中，為等腰直角三角形，點S在以為直徑的半圓上，．  （1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析    （2）【分析】（1）先證明線面垂直，平面，根據(jù)平面與平面垂直的判定可證結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求出法向量，利用線面角的公式求解.【小問1詳解】設(shè)的中點為O，連接，．因為為等腰直角三角形，且，所以，，且．因為S在以為直徑的圓上，所以．故，故．又因為，直線平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．  【小問2詳解】以O為坐標原點，，所在直線分別為x，y軸，過點O且垂直于平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，  則，，．由得，所以，從而得，所以．所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，，不妨取，則．因為，故直線與平面所成角的正弦值為．21. 在中，點，，的周長為6.（1）求點的軌跡的方程；（2）若橢圓上點處的切線方程是，①過直線上一點引的兩條切線，切點分別是、，求證：直線恒過定點；②是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）（）    （2）①證明見解析；②存在實數(shù)【分析】（1）依題意可得，再由定義法即可求結(jié)果；（2）①通過題設(shè)發(fā)現(xiàn)切點、的坐標滿足一個同構(gòu)方程，從而得出直線的方程求出過的定點；②涉及到直線與圓錐曲線相交的問題，若用的是代數(shù)法，一般是聯(lián)立方程化簡，結(jié)合韋達定理將所求表達出來再進化簡轉(zhuǎn)化等，注意設(shè)而不求的思想方法【小問1詳解】因為點，，所以，又的周長為，所以，所以點在以，為焦點的橢圓上（除長軸上兩頂點外），其中，，所以，所以點的軌跡的方程為（）.  【小問2詳解】①設(shè)切點坐標為，直線上的點的坐標，則切線方程分別為，又兩切線均過點，即，從而點、的坐標都適合方程，而兩點之間確定唯一一條直線，故直線的方程是，顯然對任意實數(shù)，點都適合這個方程，故直線恒過定點.  ②將直線的方程，代入橢圓方程，得，即，顯然，，，不妨設(shè)，同理.所以故存在實數(shù)，使得.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.22. 已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，令.①證明：當時，；②若數(shù)列滿足，，證明：.【答案】（1）答案見解析；    （2）①證明見解析；②證明見解析.【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，再討論的符號即可計算作答.(2)①等價變形所證不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探討單調(diào)性即可；②由已知證明，由①分析探討，等價轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)，利用遞推變換即可作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域為R，求導得，當時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，當時，令，解得，令，解得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】當時，，①當時，，令，，恒成立，則在上單調(diào)遞減，，因此，成立，所以當時，.②由①可知，當時，，由得，即，由，可得，而，又，即，則，由于，只需證，又當時，，令，，恒成立，則在上單調(diào)遞增，，則當時，恒有，而，即成立，不等式成立，因此成立，即成立，所以原不等式得證.【點睛】思路點睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式造價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.
 

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