2024屆海南省海南中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，那么（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求集合，再求.【詳解】，即，得，所以，,所以.故選：B2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（    ）A．－1 B．1 C． D．i【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以則z的虛部是－1，故B，C，D錯誤.故選：A.3．已知量，，若，則（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.【詳解】若，則，解得.故選：C.4．已知函數(shù)，則（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)的解析式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可得 ，故選：D.5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與交于，兩點(diǎn)，且，則（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】將代入拋物線得，結(jié)合弦長可得，根據(jù)拋物線定義求即可.【詳解】令，則，故，所以，所以，故準(zhǔn)線為，則.故選：B6．已知，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.【詳解】，，兩式相加得，.故選：D.7．已知小郭、小張和小陸三名同學(xué)同時獨(dú)立地解答一道概率試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨(dú)立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，小陸同學(xué)解答不正確的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件A，“小陸同學(xué)解答不正確”為事件B，則在三人中至少有兩人解答正確的條件下，小陸同學(xué)解答不正確的概率為，由條件概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件A，“小陸同學(xué)解答不正確”為事件B，則，，則.故選：C8．“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到1.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（    ）A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或4【答案】B【分析】根據(jù)“角谷猜想”的規(guī)則，由倒推的值.【詳解】由題知，因?yàn)?/span>，則有：若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；若為奇數(shù)，則，可得；若為偶數(shù)，則.綜上所述：或32.故選：B 二、多選題9．某校舉辦數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，10名教師組成評委小組，給參加數(shù)學(xué)演講比賽的選手打分.已知各位評委對某名選手的打分如下：則下列結(jié)論正確的為（    ）A．平均數(shù)為48 B．極差為9C．中位數(shù)為47 D．第75百分位數(shù)為51【答案】BC【分析】運(yùn)用平均數(shù)、極差、中位數(shù)及百分位數(shù)的公式計(jì)算即可.【詳解】對于A項(xiàng)，平均數(shù)為，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，極差為，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，這組數(shù)從小到大排序?yàn)椋?/span>、、、、、、、、、，所以中位數(shù)為.故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以第75百分位數(shù)為49.故選：BC.10．的部分圖象如圖所示．則的表達(dá)式可以是（    ）    A． B．C． D．【答案】AC【分析】結(jié)合正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，以及正弦函數(shù)五點(diǎn)法求解，最后根據(jù)正余弦恒等變換解析判斷即可；【詳解】由圖像可知，所以，又因?yàn)?/span>，，結(jié)合函數(shù)圖像五點(diǎn)法可知，當(dāng)解得：即， 正余弦三角恒等轉(zhuǎn)化，故選：AC11．已知函數(shù)在處取得極值10，則下列說法正確的是（    ）A． B．C．一定有兩個極值點(diǎn) D．一定存在單調(diào)遞減區(qū)間【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合極值、極值點(diǎn)求出a，b，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，求導(dǎo)得，依題意，，即，解得或，當(dāng)時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，符合題意，則，A不正確，B正確；函數(shù)在處取得極大值，一定有兩個極值點(diǎn)，C正確；一定存在單調(diào)遞減區(qū)間，D正確.故選：BCD12．如圖，在正方體中，，分別是棱，上的動點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（    ）  A．，，，四點(diǎn)共面B．C．三棱錐的體積與點(diǎn)的位置有關(guān)D．直線與直線所成角正切值的最大值為【答案】ABD【分析】利用平行線確定唯一平面驗(yàn)證A選項(xiàng)；通過三垂線定理驗(yàn)證選項(xiàng)B；對通過轉(zhuǎn)化錐體頂點(diǎn)來證明錐體體積不變驗(yàn)證選項(xiàng)C；將異面直線轉(zhuǎn)化成相交直線，再用函數(shù)思想可判斷D選項(xiàng)．【詳解】對于A，過N作于E點(diǎn)，連接，如圖所示，  則，又，四邊形為平行四邊形，∴，又，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，則有，，，四點(diǎn)共面，A選項(xiàng)正確；對于B，連接，正方體中，平面，平面，則，正方形中，，平面，，則有平面，平面，所以，B選項(xiàng)正確；對于C，連接，連接與相交于點(diǎn)，則為和的中點(diǎn)，連接，如圖所示，  ，所以有，由，平面，所以平面，設(shè)四邊形的面積為，則，由，則梯形的面積為，，則，為定值，C選項(xiàng)正確；對于D，過點(diǎn)N作交于點(diǎn)H，連接，如圖所示，  則為直線與直線所成的角，有，其中為定值，若直線與直線所成角的正切值最大，只需最大，設(shè)正方體邊長為，則，顯然當(dāng)與點(diǎn)重合，與點(diǎn)重合，與點(diǎn)重合，最大，最大值為，此時 ，即直線與直線所成角正切值的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間圖形中的位置關(guān)系和角度、距離、面積、體積等問題，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的空間圖形進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從圖形中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，如有正方體等特殊圖形，更要充分利用好圖形的結(jié)構(gòu)特征． 三、填空題13．在等比數(shù)列中，，，則公比q是      .【答案】2【分析】運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列中，，，所以，所以.故答案為：2.14．若一個圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為              .【答案】/【分析】依題意圓錐的底面半徑，母線，根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意圓錐的底面半徑，母線，則圓錐的側(cè)面積.故答案為：15．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是      .【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到函數(shù)在上成立，再由題意即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上函數(shù)，所以設(shè)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以只需即可.故答案為：.16．過雙曲線的右焦點(diǎn)作其中一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)、，若，，則雙曲線的離心率是         .【答案】【分析】設(shè)，則，在中，由余弦定理得，同理得，再結(jié)合，即可、值，可得出的值，進(jìn)而可求得該雙曲線離心率的值.【詳解】如圖，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，則.在中，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，將代入整理后得，同理.因?yàn)?/span>，所以，將其代入，解得，，則，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于由余弦定理得，將代入整理后得與． 四、解答題17．在中，角所對的邊分別為，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換求解即可；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由正弦定理有：，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以.又，所以；（2），又由（1）知由余弦定理得，即，則所以的面積為.18．已知函數(shù)的所有正的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先利用輔助角公式化簡，再求出所有正的零點(diǎn)，利用等差數(shù)列即可求解通項(xiàng).（2）首先求出，再利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1），由題意令，解得.又函數(shù)的所有正的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列，所以當(dāng)時，是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，因此.（2）由（1）知，則，①，②由①-②得，所以.19．第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日在杭州開幕，本屆亞運(yùn)會共設(shè)40個競賽大項(xiàng)，包括31個奧運(yùn)項(xiàng)目和9個非奧運(yùn)項(xiàng)目．同時，在保持40個大項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)電子競技、霹靂舞兩個競賽項(xiàng)目．為研究不同性別學(xué)生對杭州亞運(yùn)會項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，其中“了解”的學(xué)生中男生人數(shù)是女生的倍．若統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在女生中“了解”和“不了解”的人數(shù)恰好一樣多，應(yīng)用卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)提出零假設(shè)為：該校學(xué)生對杭州亞運(yùn)會項(xiàng)目的了解情況與性別無關(guān)聯(lián)，經(jīng)計(jì)算得到．(1)根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，分析性別是否會影響學(xué)生對杭州亞運(yùn)會項(xiàng)目的了解情況；(2)求被抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)，并依據(jù)小概率值的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生對杭州亞運(yùn)會項(xiàng)目的了解情況與性別是否有關(guān)聯(lián)；(3)用樣本的頻率估計(jì)概率，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，其中對亞運(yùn)會項(xiàng)目“了解”的人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的方差．附：a0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)答案見解析(2)有關(guān)聯(lián)(3) 【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，結(jié)合相應(yīng)的頻率分析說明；（2）根據(jù)題意結(jié)合求總?cè)藬?shù)，并與臨界值對比分析；（3）由題意可得，結(jié)合二項(xiàng)分布求方差.【詳解】（1）設(shè)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，則男、女生人數(shù)均為，則女生中“了解”和“不了解”的人數(shù)均為， “了解”的學(xué)生中男生人數(shù)是，可得列聯(lián)表如下：性別亞運(yùn)會項(xiàng)目合計(jì)了解不了解男生女生合計(jì)男生中對杭州亞運(yùn)會項(xiàng)目了解和不了解的頻率分別為和；女生中對杭州亞運(yùn)會項(xiàng)目了解和不了解的頻率分別為和；由，可見，在被調(diào)查者中，男生了解亞運(yùn)會項(xiàng)目是女生了解亞運(yùn)會項(xiàng)目的頻率的1.2倍，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為男生了解亞運(yùn)會項(xiàng)目的概率大于女生了解亞運(yùn)會項(xiàng)目的概率，即男生更了解亞運(yùn)會項(xiàng)目．（2）因?yàn)?/span>，所以，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為400人．因?yàn)?/span>，所以我們推斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生對杭州亞運(yùn)會項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05．（3）由題意可知：，則.20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是的中點(diǎn).  (1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，從而得到，由正三角形的性質(zhì)可得，再利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.【詳解】（1）在正方形中，，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?/span>  是正三角形，是的中點(diǎn)，則，又，，平面，所以平面；（2）取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,所以,設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由（1）知是平面的一條法向量，,設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則    21．已知橢圓的焦距為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為，，依次連接的四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為4．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的任意直線與橢圓交于，（不同于，）兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意得，，再結(jié)合可求出，從而可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線，，，將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出，，然后化簡即可.【詳解】（1）解：依題意可得，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）可知，，由題意，直線l的斜率不為0，設(shè)直線，，，由可得，則，，因?yàn)橹本€的斜率，直線的斜率，由，，得，所以，所以直線和的斜率之比為，即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入橢圓方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后結(jié)合斜率公式求解，考查計(jì)算能力，屬于較難題.22．已知函數(shù)．(1)證明：；(2)設(shè)函數(shù)，，其中，若函數(shù)存在非負(fù)的極小值，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）直接求導(dǎo)得，再令，再次求導(dǎo)利用余弦函數(shù)的有界性即可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合即可得到，即證明原不等式；（2），結(jié)合（1）中的結(jié)論再分和討論即可.【詳解】（1），令，則．∵當(dāng)時，，∴恒成立，即在上單調(diào)遞增．又，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴．∴．（2）．由（1）知在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即．（i）當(dāng)時，在上恒成立，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴，即．（ii）當(dāng)時，由，解得，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．①當(dāng)時，．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴．不符合題意．②當(dāng)時，．當(dāng)時，有恒成立，故在上單調(diào)遞減．∴函數(shù)不存在極小值，不符合題意．③當(dāng)時，．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴．不符合題意．綜上所述，若函數(shù)存在非負(fù)的極小值，則a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用（1）中的結(jié)論：即的單調(diào)性，然后再對進(jìn)行分類討論，即分，，以及討論即可. 

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