? 2023～2024學(xué)年懷仁一中高三年級摸底考試
數(shù)學(xué)
全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1. 答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2. 請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3. 選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4. 考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
5. 本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)復(fù)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）
A. B. C. D. 1
2. 已知集合，，則（）
A B. C. D.
3. 設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，給出下列命題：
①若，，，則；
②若，，則；
③若，，，則；
④若，，則
其中正確命題的序號是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
4. 函數(shù)的大致圖象為（）
A. B.
C. D.
5. 已知向量，都是單位向量，若，則向量，的夾角的大小為（）
A. B. C. D.
6. 在圓：的圓周上及內(nèi)部所有的整點（橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）中任意取兩個點，則這兩個點在坐標(biāo)軸上的概率為（）
A. B. C. D.
7. 已知定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）
A. B. C. D.
8. 已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，，線段與雙曲線的左支相交于點，若，則雙曲線的離心率為（）
A B. 2 C. D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 從1，2，3，，9中任取三個不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對立事件的有（）
A. “三個都為偶數(shù)”和“三個都為奇數(shù)” B. “至少有一個奇數(shù)”和“至多有一個奇數(shù)”
C. “至少有一個奇數(shù)”和“三個都為偶數(shù)” D. “一個偶數(shù)兩個奇數(shù)”和“兩個偶數(shù)一個奇數(shù)”
10. 已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)為偶函數(shù) B.
C. D. 函數(shù)的圖象的對稱軸方程為
11. 已知函數(shù)，若有6個不同的零點分別為，且，則下列說法正確的是（）
A. 當(dāng)時，
B. 的取值范圍為
C. 當(dāng)時，的取值范圍為
D. 當(dāng)時，的取值范圍為
12. 如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則下列說法正確的是（）

A. 直線AB與CD為異面直線 B.
C. 三棱錐的體積為 D. 三棱錐的外接球的表面積為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. ______.
14設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則__________．
15. 已知拋物線：的焦點為，過點且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點（點在軸的上方），則______．
16. 已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.表示不超過x的最大整數(shù)，如，則數(shù)列的前35項和為___________.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
17. 已知等比數(shù)列前n項和為，且.
（1）求數(shù)列通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和.
18. 已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.

（1）求的值；
（2）如圖，D為AB上的一點，且，若，B為銳角，求，的值.
19. 疫情過后，某工廠快速恢復(fù)生產(chǎn)，該工廠生產(chǎn)所需要的材料價錢較貴，所以工廠一直設(shè)有節(jié)約獎，鼓勵節(jié)約材料，在完成生產(chǎn)任務(wù)的情況下，根據(jù)每人節(jié)約材料的多少到月底發(fā)放，如果1個月節(jié)約獎不少于1000元，為“高節(jié)約獎”，否則為“低節(jié)約獎”，在該廠工作滿15年的為“工齡長工人”，不滿15年的為“工齡短工人”，在該廠的“工齡長工人”中隨機抽取60人，當(dāng)月得“高節(jié)約獎”的有20人，在“工齡短工人”中隨機抽取80人，當(dāng)月得“高節(jié)約獎”的有10人．
（1）若以“工齡長工人”得“高節(jié)約獎”的頻率估計概率，在該廠的“工齡長工人”中任選取5人，估計下個月得“高節(jié)約獎”的人數(shù)不少于3人的概率；
（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析得“高節(jié)約獎”是否與工人工作滿15年有關(guān)．
參考數(shù)據(jù)：附表及公式：，

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

20. 如圖，在三棱錐中，，，，，二面角為鈍角，三棱錐的體積為.

（1）求二面角的大?。?br /> （2）求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.
21. 已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，M為橢圓E的上頂點，，點在橢圓E上.
（1）求橢圓E的標(biāo)準方程；
（2）設(shè)經(jīng)過焦點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積的最小值.
22. 已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有且僅有3個零點，求實數(shù)a的取值范圍.


















2023～2024學(xué)年懷仁一中高三年級摸底考試
數(shù)學(xué)
全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1. 答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2. 請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3. 選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4. 考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.
5. 本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)復(fù)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方、乘法、共軛復(fù)數(shù)、虛部等知識求得正確答案.
【詳解】由，可得，
所以它的共軛復(fù)數(shù)的虛部為1.
故選：D
2. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式求得，由此求得.
【詳解】由題意可知，所以，
又由，
所以，所以.
故選：C
3. 設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，給出下列命題：
①若，，，則；
②若，，則；
③若，，，則；
④若，，則
其中正確命題的序號是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】由空間中直線與平面的位置關(guān)系逐項分析即可．
【詳解】當(dāng)時，可能平行，也可能相交或異面，所以①不正確；當(dāng)時，可以平行，也可以相交，所以④不正確；若，，則；若，則，故正確命題的序號是②③.
【點睛】本題考查空間中平面與直線的位置關(guān)系，屬于一般題．
4. 函數(shù)的大致圖象為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性和時函數(shù)值正負的分布情況，利用排除法可得到結(jié)果.
【詳解】函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，且由，
知函數(shù)為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點對稱，選項BD不符合，
當(dāng)時，，
故選項C不符合，
故選：A.
5. 已知向量，都是單位向量，若，則向量，的夾角的大小為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)結(jié)合題意整理得，代入公式運算．
【詳解】向量，都是單位向量，則
∵，則
即，則
∴，又
所以
故選：B．
6. 在圓：的圓周上及內(nèi)部所有的整點（橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）中任意取兩個點，則這兩個點在坐標(biāo)軸上的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意畫出圖象，即可得到整點的個數(shù)，其中有個點在坐標(biāo)軸上，記為、、，另外兩個記為、，利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再利用古典概型的概率公式計算可得；
【詳解】解：依題意圓：如下圖所示：

可知整點有、、、、共個，其中有個點在坐標(biāo)軸上，記為、、，另外兩個記為、，
從5個點中任取2個包括的基本事件為、、、、、、、、、共10個，
兩個點都在坐標(biāo)軸上包含、、共3個基本事件，所以兩個點都在坐標(biāo)軸上的概率；
故選：D
7. 已知定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)是偶函數(shù)求的解析式，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖像，利用圖像求解不等式.
【詳解】當(dāng)時，，，令，
依題意，則圖象在圖象上方，
畫出函數(shù)和的圖像，
由，得，
則的解集為．

故選：B
8. 已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，，線段與雙曲線的左支相交于點，若，則雙曲線的離心率為（）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及勾股定理計算可得；
【詳解】解：設(shè)，，雙曲線的焦距為，由雙曲線的定義可知，，
在中有，可得，解得，所以，，
在中，可得，解得，所以離心率；
故選：C
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 從1，2，3，，9中任取三個不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對立事件的有（）
A. “三個都為偶數(shù)”和“三個都為奇數(shù)” B. “至少有一個奇數(shù)”和“至多有一個奇數(shù)”
C. “至少有一個奇數(shù)”和“三個都為偶數(shù)” D. “一個偶數(shù)兩個奇數(shù)”和“兩個偶數(shù)一個奇數(shù)”
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念判斷即可.
【詳解】從1~9中任取三數(shù)，按這三個數(shù)的奇偶性分類，有四種情況：
（1）三個均為奇數(shù)；（2）兩個奇數(shù)一個偶數(shù)；（3）一個奇數(shù)兩個偶數(shù)；（4）三個均為偶數(shù)，所以選項A、D互斥但不是對立事件，選項C是對立事件，選項B不是互斥事件.
故選：AD.
10. 已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)為偶函數(shù) B.
C. D. 函數(shù)的圖象的對稱軸方程為
【答案】ACD
【解析】
【分析】整理可得，根據(jù)平移整理得，結(jié)合余弦函數(shù)得對稱軸求解．
【詳解】對于A，由已知得，函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；
對于B，C，可得，故C正確；
對于D，令，，可得，，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，若有6個不同的零點分別為，且，則下列說法正確的是（）
A. 當(dāng)時，
B. 的取值范圍為
C. 當(dāng)時，的取值范圍為
D. 當(dāng)時，的取值范圍為
【答案】AC
【解析】
【分析】對A選項，對求導(dǎo)，得到其最值即可判斷，對B選項，將看成整體解出或，通過圖像找到所在位置，依據(jù)，假設(shè)通過消元解出范圍，再通過數(shù)形結(jié)合求出的范圍，兩者比較即可，對C,D通過減少變量，將式子化為，然后轉(zhuǎn)化為的范圍進行分類討論即可判斷.
【詳解】當(dāng)時，，此時，令，解得，
令，解得，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
∴當(dāng)時，，故A正確；
作出如圖所示圖像：

由有6個不同的零點，
等價于有6個不同的實數(shù)根，
解得或，
∵，∴若，可得，而當(dāng)時，，可得，而；
當(dāng)時，，可得而，
故的范圍為的子集，的取值范圍不可能為，故B選項錯誤；
該方程有6個根，且，知且，
當(dāng)時，，
，聯(lián)立解得，
，故C正確；
當(dāng)時，，
，聯(lián)立解得，
．故D錯誤.
故選：AC
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵點是對的理解，將看成一個，解出其值，然后通過圖像分析，轉(zhuǎn)化為直線與圖像的交點情況，對于C,D選項式子，我們謹記要減少變量，將其轉(zhuǎn)化為一個或兩個變量的相關(guān)式子，常見的如，有兩根，則，如一元二次方程存在實數(shù)解，則.
12. 如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則下列說法正確的是（）

A. 直線AB與CD為異面直線 B.
C. 三棱錐的體積為 D. 三棱錐的外接球的表面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)異面直線、余弦定理、錐體體積、二面角、幾何體外接球等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由異面直線的定義知A選項正確；
在中，，可知B選項正確；
如圖，取BC的中點E，在AE上取點，使得，
取BD的中點G，并延長CG到點，使得，
，，可知C選項錯誤；
記O為三棱錐的外接球的球心，連接，，，
并延長，相交于點F.
由，可知為等邊三角形，
又由，可知為的外心.
由，，，可得，
又由，可得，都為等邊三角形，
可得，可得為的外心.
可得，，
可知為二面角的平面角，可得.
由，可得，，，
在中，，，
可得，，
由，在中，
可得，
在中，，
可得三棱錐的外接球的表面積為，可知D選項正確.
故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. ______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式求得正確答案.
【詳解】
.
故答案為：
14. 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解即可.
【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，
所以隨機變量所對應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于對稱，
因為，所以，
所以，
故答案為：
15. 已知拋物線：的焦點為，過點且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點（點在軸的上方），則______．
【答案】
【解析】
【分析】求出直線AB的方程及點A，B的橫坐標(biāo)，再利用拋物線定義計算作答.
【詳解】拋物線：的焦點為，準線方程為：，
直線AB的方程為：，由消去y并整理得：，解得，，
依題意，點A的橫坐標(biāo)，點B的橫坐標(biāo)，
由拋物線定義得：.
故答案為：
16. 已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.表示不超過x的最大整數(shù)，如，則數(shù)列的前35項和為___________.
【答案】397
【解析】
【分析】利用數(shù)列的通項公式與前n項和的關(guān)系可得，利用數(shù)列的新定義可得數(shù)列的各項，即求.
【詳解】由題可得，
所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
又也適合上式，
∴，
令，
則，，，，，，，…，，，，
所以，，，，，，，…，，，，
所以數(shù)列前35項的和為
.
故答案為：397.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的特點，分析數(shù)列各項，使問題得到解決.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
17. 已知等比數(shù)列前n項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得，求得數(shù)列的公比，再代入通項公式，即可得答案；
（2）利用錯位相減法求和，即可得答案；
【詳解】（1）因為①
所以，②…·，
①－②得，即，
則為等比數(shù)列，且公比，
因為，所以.
（2）由（1）可得，，③
，④
③－④得，
故.
【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式、錯位相減法求和，考查運算求解能力.
18. 已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.

（1）求的值；
（2）如圖，D為AB上的一點，且，若，B為銳角，求，的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由已知等式結(jié)合余弦定理求出，再由同角公式可得；
（2）分別在和中由正弦定理得，，得，得，得，再根據(jù)，得，得，再根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式可求出.
【小問1詳解】
可化為，
由余弦定理得，
∵，∴.
【小問2詳解】
設(shè)，由可得，
在中，由正弦定理得，得，可得，
在中，由正弦定理得，可得，
可得，得，
又因為，所以，
又由為銳角，得，得，可得，
又由，得，可得，
所以，
又由，得，因為為銳角，所以，
即.

19. 疫情過后，某工廠快速恢復(fù)生產(chǎn)，該工廠生產(chǎn)所需要的材料價錢較貴，所以工廠一直設(shè)有節(jié)約獎，鼓勵節(jié)約材料，在完成生產(chǎn)任務(wù)的情況下，根據(jù)每人節(jié)約材料的多少到月底發(fā)放，如果1個月節(jié)約獎不少于1000元，為“高節(jié)約獎”，否則為“低節(jié)約獎”，在該廠工作滿15年的為“工齡長工人”，不滿15年的為“工齡短工人”，在該廠的“工齡長工人”中隨機抽取60人，當(dāng)月得“高節(jié)約獎”的有20人，在“工齡短工人”中隨機抽取80人，當(dāng)月得“高節(jié)約獎”的有10人．
（1）若以“工齡長工人”得“高節(jié)約獎”的頻率估計概率，在該廠的“工齡長工人”中任選取5人，估計下個月得“高節(jié)約獎”的人數(shù)不少于3人的概率；
（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析得“高節(jié)約獎”是否與工人工作滿15年有關(guān)．
參考數(shù)據(jù)：附表及公式：，

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）
（2）得“高節(jié)約獎”與工人工作滿15年有關(guān)．
【解析】
【分析】（1）以“工齡長工人”得“高節(jié)約獎”的頻率估計概率，求出每個“工齡長工人”得“高節(jié)約獎”的概率，然后分別求出3 人、4 人、5 人得“高節(jié)約獎”的概率后相加即得；
（2）列出列聯(lián)表，計算出，比較臨界值即可得．
【小問1詳解】
以“工齡長工人”得“高節(jié)約獎”的頻率估計概率，
每個“工齡長工人”得“高節(jié)約獎”的概率為，
5人中，恰有3人得“高節(jié)約獎”概率為，
恰有4人得“高節(jié)約獎”概率為，
5人都得“高節(jié)約獎”概率為，所求概率為；
【小問2詳解】
列出列聯(lián)表如下：

“高節(jié)約獎”
“低節(jié)約獎”
合計
“工齡長工人”
20
40
60
“工齡短工人”
10
70
80
合計
30
110
140
零假設(shè)：得“高節(jié)約獎”是否與工人工作滿15年有關(guān)．
，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，得“高節(jié)約獎”與工人工作滿15年有關(guān)．
20. 如圖，在三棱錐中，，，，，二面角為鈍角，三棱錐的體積為.

（1）求二面角的大??；
（2）求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作出二面角的平面角，結(jié)合三棱錐的體積求得二面角的大小.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線AP與平面PBC所成角的正弦值.
【小問1詳解】
如圖，取AC的中點O，AB的中點D，連接OD，
過點P作DO的延長線的垂線，垂足為H.
∵，，，，
∴和都為等腰直角三角形，，，
∵，，∴OD為的中位線，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∵，，，OD，平面ODP，
∴平面ODP，
∵平面ODP，平面ODP，∴，
∵，，，OH，平面ABC，
∴平面ABC，
∵，平面ABC，三棱錐的體積為，
∴，∴.
∵，∴，
∴為等腰直角三角形，可得，，
∵，，∴為二面角的平面角，
∴二面角的大小為；
【小問2詳解】
由（1）可知，平面ABC，
以O(shè)A，OD和過點O作HP的平行線的方向分別為x，y，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，，
∴，，，
設(shè)平面PBC的法向量為，則，
即，令，則，，∴，
∴，，，
則，
∴直線AP與平面PBC所成角的正弦值為.

21. 已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，M為橢圓E的上頂點，，點在橢圓E上.
（1）求橢圓E的標(biāo)準方程；
（2）設(shè)經(jīng)過焦點兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點和C，D兩點，求四邊形ACBD的面積的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準方程.
（2）根據(jù)直線的斜率進行分類討論，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得，進而求得四邊形面積的表達式，并利用基本不等式求得面積的最小值.
【小問1詳解】
設(shè)，由，有.
又由，有（O坐標(biāo)原點），可得，，
可得橢圓E的方程為，
代入點N的坐標(biāo)，有，解得，，
故橢圓E的標(biāo)準方程為；
【小問2詳解】
①當(dāng)直線AB的斜率不存在或為0時，為長軸長或，
不妨設(shè)，，
故；
②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線AB：，，，
聯(lián)立方程，消去y得，
則，，
所以

，
同理可得，
所以，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以，而，
綜上：四邊形ACBD的面積的最小值為.

【點睛】求橢圓的標(biāo)準方程，主要的思路是根據(jù)已知條件求得，是兩個未知量，所以需要找到2個已知條件來求解.如本題中，以及橢圓所過點的坐標(biāo)，這就是兩個已知條件，由此列方程來求得，從而求得橢圓的標(biāo)準方程.
22. 已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有且僅有3個零點，求實數(shù)a取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分成，，，四種情況利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性討論函數(shù)的零點個數(shù)，得出結(jié)果.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，
.
①當(dāng)時，由，有，令，可得，
可得函數(shù)的減區(qū)間為，
令，函數(shù)的增區(qū)間為；
②當(dāng)時，，
可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無單調(diào)減區(qū)間；
③當(dāng)時，，令，可得，
可得函數(shù)的減區(qū)間為，
令，可得，或，所以函數(shù)的增區(qū)間為，；
④當(dāng)時，，令，可得，
令，可得，或，
可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；
綜上，當(dāng)時，由函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；
當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.
【小問2詳解】
.
由（1）可知：
①當(dāng)時，由函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有，函數(shù)沒有零點，不合題意；
②當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)最多只有一個零點，不合題意；
③當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，，
由，函數(shù)最多只有一個零點，不合題意；
④當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.
由，若函數(shù)有且僅有3個零點，必需，
令，有，
令，有，
可得函數(shù)單調(diào)遞增，有，
可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由，
故滿足不等式的a的取值范圍為.
又由，可得當(dāng)時，，
又由，，，可得函數(shù)有且僅有3個零點.
由上知，若函數(shù)有且僅有3個零點，實數(shù)a的取值范圍為.
【點睛】用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題方法點睛：
通常需要借助零點存在性定理判斷；判斷時找到極大值點或極小值點，分析函數(shù)的單調(diào)性、圖象的走向趨勢，來確定某區(qū)間的零點個數(shù)或已知零點個數(shù)確定參數(shù)范圍.但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴格說明函數(shù)零點個數(shù)

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