2022屆江西省豐城市第九中學、萬載中學、宜春一中高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學（文）試題 一、單選題1．已知實數(shù)集，集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求得集合，集合，再結合集合的交集運算，即可求解.【詳解】由集合，集合，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，其中解答中正確求解集合，再結合集合的交集的運算進行求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2．若復數(shù)z滿足，則z的虛部等于（    ）A．4i B．2i C．2 D．4【答案】D【分析】由復數(shù)乘除法運算求得后可得結論．【詳解】由題意，虛部為4．故選：D．3．已知，則（    ）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】利用誘導公式及同角三角函數(shù)的關系，可得，利用兩角差的正切公式展開，代入數(shù)據(jù)，即可得結果.【詳解】因為，利用誘導公式可得，即，所以，故選：C4．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性結合中間值法可得出、、三個數(shù)的大小關系.【詳解】因為，，，所以.故選：D.5．“方程表示雙曲線”的一個充分不必要條件為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)方程表示雙曲線列出不等式，得出，再由充分不必要條件的定義得出答案.【詳解】表示雙曲線，則，所以故選：A【點睛】本題主要考查了由方程表示雙曲線求參數(shù)范圍以及由充分不必要條件求參數(shù)范圍，屬于基礎題.6．為了研究某班學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為．已知，，．該班某學生的腳長為25，據(jù)此估計其身高為（    ）A．167 B．174 C．176 D．180【答案】B【分析】首先求出樣本中心，再根據(jù)樣本中心在回歸直線上求得，進而估計學生腳長為25厘米的身高.【詳解】由題設，，且，所以，故回歸直線為，當厘米，則厘米.故選：B7．△ABC中，D為AB上一點且滿足，若P為CD線段上一點，且滿足（，為正實數(shù)），則下列結論正確的是（    ）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為3【答案】D【分析】由向量對應線段的位置及數(shù)量關系用表示判斷A；由題設可得，結合共線有，結合基本不等式“1”的代換等判斷B、C、D.【詳解】由，A錯誤；由，則，因為共線，所以，則，B錯誤；而，僅當，即時等號成立，故，即，故的最大值為，C錯誤；，僅當，即時等號成立，所以的最小值為3，D正確.故選：D.8．現(xiàn)有A，B兩個不透明的袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球，其中A袋裝有2個白球，1個紅球；B袋裝有2個紅球，1個白球.小明和小華商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的A?B袋中各隨機摸出一個小球交換一下放入另一個袋子，若A?B袋中球的顏色沒有變化，則小明獲勝；若有變化，則小華獲勝.下面說法正確的是（    ）A．小明獲勝概率大 B．小華獲勝概率大 C．游戲是公平的 D．獲勝概率大小不能確定【答案】B【分析】列舉出所有的事件，根據(jù)概率公式計算，比較即可判斷．【詳解】根據(jù)題意，列表如下：　　　　　　　　　　　　       紅1紅2白白1（白1，紅1）（白1，紅2）（白1，白）白2（白2，紅1）（白2，紅2）（白2，白）紅（紅，紅1）（紅，紅2）（紅，白）由上表可知，共有9種等可能結果，其中顏色不相同的結果有5種，顏色相同的結果有4種，若摸出球的顏色相同，則A、B袋中球的顏色沒有變化，若摸出球的顏色不相同，則A、B袋中球的顏色發(fā)生變化．設小明獲勝為事件A，小華獲勝為事件B，則，，由于，故小華獲勝概率大．故選：B．9．已知點A（1，0），B（1，6），圓，若在圓C上存在唯一的點P使，則（    ）A．–3或3 B．57 C．–3或57 D．3或57【答案】C【分析】由以AB為直徑的圓與圓C兩圓相切求解.【詳解】由題意，只需以AB為直徑的圓與圓C有且僅有一個公共點，即兩圓相切.因為，，所以以AB為直徑的圓M的方程為，圓.因為兩圓相切，所以，即，解得或.故選：C10．設雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為，線段與雙曲線的一條漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率為A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【詳解】試題分析：設點，，由，得，即，所以點．因為點在漸近線上，則，即，選D．【解析】1、向量的運算；2、離心率的求法．11．已知在區(qū)間是單調函數(shù)，若，且.將曲線向右平移1個單位長度，得到曲線，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由最大值得對稱軸，由單調性得減函數(shù)，由已知求得函數(shù)的一個零點，得周期，從而可得，再由最大值求得，求得函數(shù)解析式，結合三角函數(shù)圖象變換可得的解析式，新函數(shù)的零點個數(shù)轉化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象可得結論．【詳解】因為在區(qū)間是單調函數(shù)，若，所以是圖象的對稱軸，是最大值，因此在上遞減，從而在上遞增，，又，所以，，，，，所以，所以，，是偶函數(shù)，在區(qū)間上的零點個數(shù)即為的圖象與的圖象交點個數(shù)．作出和的圖象，由圖象可知它們有5個交點．故選：C．【點睛】思路點睛：本題考查求函數(shù)零點個數(shù)，解題時根據(jù)三角函數(shù)性質求得函數(shù)解析式，而所求零點個數(shù)問題的關鍵是轉化為函數(shù)圖象交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象可得結論．12．設a，b都為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】把不等式進行變形，引入函數(shù)，由導數(shù)確定函數(shù)單調性，由單調性及不等關系得結論．【詳解】由已知，，則．設，則．因為，則．又，則，即，從而．當時，，則在內單調遞增，所以，即，故選：B． 二、填空題13．設非零向量，的夾角為．若，且，則____________．【答案】60°/【分析】由向量垂直的表示，應用數(shù)量積的運算律及定義求夾角即可.【詳解】由題設，所以，又，所以.故答案為：14．若關于x的不等式的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【分析】利用三角不等式求出的最小值，進而求得答案.【詳解】根據(jù)題意，，所以.故答案為：.15．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折成三棱錐，使平面平面BCD，在下列結論中：①直線CD?平面；②平面平面BCD；③BC與成角的大小為45°；④棱上存在一點到頂點、B、C、D的距離相等；⑤點B到平面的距離為；所有正確結論的編號是____________．【答案】①②④【分析】由面面垂直的性質判斷①；由面面垂直性質得面BCD，再根據(jù)面面垂直的判定判斷②；根據(jù)異面直線夾角的定義找到其平面角，結合已知求其大小判斷③；利用線面垂直的性質證△、△都是以為斜邊的直角三角形，即可判斷④；應用等體積法求點面距離判斷⑤.【詳解】由題設知：，則，又面面BCD，由面面BCD，面BCD，故面，①正確；由題設，，即，故，又面面BCD，由面面BCD，面，故面BCD，面，所以面面BCD，②正確；若分別為中點，連接，所以，故（三角形內角）是BC與成角的平面角或其補角，由已知，，，，所以，則，即，故BC與成角的大小為，③錯誤；由面BCD，面BCD，則，故△為直角三角形，由面，面，，故△為直角三角形，所以△、△都是以為斜邊的直角三角形，故的中點到、B、C、D的距離相等，④正確；由，面BCD，且△、△都是直角三角形，若B到平面的距離為，則，所以，即B到平面的距離為，⑤錯誤.故答案為：①②④16．對于正整數(shù),記表示的最大奇數(shù)因數(shù)，例如.設.當時，__________．【答案】【分析】通過計算觀察可知與，從而利用等差數(shù)列的前項和與遞推式即可得解.【詳解】通過計算可得，所以由此可以發(fā)現(xiàn)與，則 ，所以.故答案為：．【點睛】難點點睛：解答本題的難點是如何觀察出規(guī)律“”及“是等差數(shù)列”，這是解答本題的關鍵和突破口，從而巧妙獲解． 三、解答題17．為了解觀眾對球類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了200名觀眾進行調查.下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看球類體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖?2×2列聯(lián)表（將日均收看球類體育節(jié)目時間不少于40分鐘的觀眾稱為“球迷”）.性別非球迷球迷合計男   女 20110合計  200(1)根據(jù)已知條件完成上圖的2×2列聯(lián)表；(2)據(jù)此調查結果，是否有的把握認為“球迷”與性別有關？附：（其中）.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】(1)答案見解析.(2)有的把握認為“球迷”與性別有關，理由見解析. 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出人中，球迷和非球迷的人數(shù)，補全2×2列聯(lián)表；（2）由列聯(lián)表計算的值與臨界值比較即可判斷.【詳解】（1）觀眾日均收看球類體育節(jié)目時間少于40分鐘的人數(shù)為：人，即非球迷為人，所以球迷為人，可得列聯(lián)表如圖：性別非球迷球迷合計男女合計（2）由列聯(lián)表可得：，所以有的把握認為“球迷”與性別有關.18．已知數(shù)列的前n項和Sn＝2n＋1＋A，若為等比數(shù)列.(1)求實數(shù)A及的通項公式；(2)設bn＝log2an，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.【答案】(1)A＝－2，.(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，求出數(shù)列前三項的表達式，由等比數(shù)列的性質可得關于A的方程，解可得A的值，即可得等比數(shù)列的首項和公比，計算可得答案；（2）根據(jù)題意，由（1）的結論，求出數(shù)列的通項公式，由錯位相減法分析可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，數(shù)列的前n項和S＝2n＋1＋A，則a1＝S1＝22＋A＝4＋A，a2＝S2－S1＝（23＋A）－（22＋A）＝4，a3＝S3－S2＝（24＋A）－（23＋A）＝8，又由為等比數(shù)列，則a1×a3＝（a2）2，即（4＋A）×8＝42＝16，解可得A＝－2，則a1＝4－2＝2，即數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，（2）設，則設，則，故，①則有，②①－②可得：，變形可得：，故.19．已知函數(shù)．(1)設，求函數(shù)的單調遞減區(qū)間；(2)設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D為邊的中點，若，求線段的長的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由二倍角公式，兩角差的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后求出，再由復合函數(shù)的單調性與正弦函數(shù)的單調性得出減區(qū)間；（2）由（1）求得，由余弦定理得關系，結合基本不等式得的范圍，利用中線向量公式，平方后結合向量的數(shù)量積運算可求得中線長的范圍．【詳解】（1）由已知，．    則，所以當單調遞減時，函數(shù)單調遞增．              令，得．所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間是．（2）因為，則．         又，由余弦定理，得，即．         因為D為的中點，則．         因為，則，即，當且僅當b=c=1等號成立，所以，即．以線段的長的取值范圍是20．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，為與的交點，為棱上一點.（1）證明：平面平面；（2）若 平面，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知得，，由此能證明平面平面.（2）由已知得，取中點，連結，由此利用，能求出三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：∵平面，平面，∴.∵ 四邊形是菱形，∴，又∵，∴ 平面.又∵平面，∴平面平面.（2）∵平面，平面平面，∴，∵是中點，∴是中點.取中點，連結 ，∵四邊形是菱形，，∴，又，，∴平面，.∴ .∴三棱錐的體積.【點睛】本題考查面面垂直的證明，等體積法轉化法求幾何體的體積，考查空間思維能力，是中檔題.21．已知點P是橢圓上一動點，分別為橢圓的左焦點和右焦點，的最大值為，圓．（1）求橢圓的標準方程；（2）過圓O上任意一點Q作圓的的切線交橢圓C于點M，N，求證：以為直徑的圓過點O．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】(1)由的最大值為確定出點P的位置，探求出b與半焦距c的關系即可得解；(2)切線MN斜率不存在時，可得，切線MN斜率存在，設出其方程，再與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達定理計算即可得解.【詳解】(1)當點P在短軸端點處時，最大，而的最大值為，則有，，所以所求橢圓的標準方程為；(2)過點Q的圓O的切線斜率不存在時，切線方程為或，由橢圓及圓的對稱性，不妨令切線為，由(1)可得，，于是得，即，過點Q的圓O的切線斜率存在時，設切線方程為，則有，即，由消去y得：，顯然圓O在橢圓C內，則圓O的每一條切線都與橢圓C交于兩點，設，，，而，，于是得，則有，綜上，過圓O上任意一點Q作圓的的切線交橢圓C于點M，N，都有，所以，以為直徑的圓過點O.22．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)設，若對都有成立，求a的最大值．【答案】(1)極大值為，無極小值(2)1 【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而可得出答案；（2）由題意知，，即對恒成立，令，求出函數(shù)的最小值，即可得出答案.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為， 因為，令，解得，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極大值為，無極小值；（2）解：由題意知，，即對恒成立， 令，則，                令，則，所以在上單調遞增，                又因為，所以在內必存在，使得，        當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增；所以，                因為，即，所以，        因為在上單調遞增，所以，又因為，所以，所以，                所以a的最大值為1．【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、極值及最值問題，還考查了不等式恒成立問題，考查了學生的數(shù)據(jù)分析能力和計算能力，難度較大。 

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