大慶市東風中學2023－2024學年度高二年級上學期開學考試數學學科試卷（時長：120分鐘）一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1．（    ）A． B． C． D．2．如果，是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一個基底的是（    ）A．與  B．與 C．與  D．與3．已知，，則等于（    ）A． B． C． D．4．下列說法正確的是（    ）A．棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．如果一個棱錐的各個側面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體5．在中，P為線段AB上的一點，，且，則（    ）A．， B．， C．， D．，6．已知圓錐的側面展開圖為一個面積為的半圓，則該圓錐的高為（    ）A． B．1 C． D．7．若m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（    ）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．已知函數，將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，然后再向左平移個單位長度，所得的圖象關于y軸對稱，則的值為（    ）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分）9．非零復數z滿足，則復數z在復平面內對應的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知平面，，兩兩垂直，直線a，b，c滿足，，，則直線a，b，c可能滿足以下哪種關系（    ）A．兩兩平行 B．兩兩相交 C．兩兩異面 D．兩兩垂直11．已知向量，，，若點A，B，C能構成三角形，則實數m可能的取值是（    ）A．1 B． C．－1 D．－212．在棱長為2的正方體中，AC與BD交于點O，則（    ）A．若E，F分別是，的中點，平面EFO與平面ABCD的交線為l，則B．平面C．三棱錐的體積為D．與平面ABCD所成的角為45°三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．已知函數，先將其圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則______．14．如圖所示的是的直觀圖，其中，則的周長為______．15．已知向量，，若，則______．16．在正方體中，P為的中點，則直線PB與所成的角的余弦值為______．四、解答題（本大題共6小題，17題10分，其余每題12分，共70分）17．已知復數。（1）求；（2）若，求實數a，b的值．18．（1）已知，，求；（2）已知，，求，．19．如圖所示多面體中，底面ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，，，M是BD上一點，．（1）求證：平面BEF；（2）求此多面體的體積．20．已知函數．（1）求函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）求函數在區(qū)間上的最大值和最小值．21．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分別為PC、PB的中點．（1）證明：；（2）求BD與平面ADMN所成角的大小．22．2022年北京冬奧會的成功舉辦激發(fā)了人們對冰雪運動的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學在C點測得雪道BC的坡度，在A點測得B點的俯角．若雪道AB長為270m，雪道BC長為260m． （1）求該滑雪場的高度h；（2）據了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設備來滿足對于雪量和雪質的不同要求，其中甲設備每小時造雪量比乙設備少，且甲設備造雪所用的時間與乙設備造雪所用的時間相等．求甲、乙兩種設備每小時的造雪量．數學學科答案1．【解】由題意可得：．故選：B．2．對A項，設，則無解，故與不共線，可以作為平面內所有向量的一個基底；對B項，，所以與為共線向量，不能作為平面內所有向量的一個基底；對C項，設，則無解，故與不共線，可以作為平面內所有向量的一個基底；對D項，設，則無解，故與不共線，可以作為平面內所有向量的一個基底，故選：B．3．【答案】D 因為，，所以，，故同角三角函數的關系，得．因此．4．【解析】選項A，例如六棱柱的相對側面也互相平行，故A錯誤；選項B，其余各面的邊延長后不一定交于一點，故B錯誤；選項C，當棱錐的各個側面共頂點的角的角度之和是360°時，各側面構成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故C錯誤；選項D，若每個側面都是長方形，則說明側棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方體的定義，故D正確．5．【詳解】，所以，，故選：A．6．【答案】D 【解析】設圓錐的母線長為l，圓錐的底面圓半徑為r，如圖．由圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則解得，，則圓錐的高．7．【解析】由m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，在A中，若，，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；在B中，若，，則m與相交、平行或，故B錯誤；在C中，若，，則由面面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與相交或平行，故D錯誤．【答案】C8．【解析】由題意可知，，將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，可得的圖象，然后再向左平移個單位長度，可得的圖象，因為所得的圖象關于y軸對稱，為偶函數，所以，解得，取，得．無論k取任何整數，無法得到A，B，C的值．【答案】D9．解析由題意，設，故，故，，即復數，在復平面內對應的點位于第一或第三象限的角平分線上．【答案】AC10．【解析】如圖1，可得a，b，c可能兩兩垂直；如圖2，可得a，b，c可能兩兩相交；如圖3，可得a，b，c可能兩兩異面．【答案】BCD11．【解析】各選項代入驗證，若A，B，C三點不共線即可構成三角形．因為，．據此設A，B，C三點共線，則，即．所以只要，A，B，C三點就可構成三角形．【答案】BCD12．∴，，∴四邊形ABFE為平行四邊形，∴，又平面EFO，平面EFO，∴平面EFO，又平面ABCD，平面平面，∴，∴，故A正確；因為正方形ABCD，AC與BD交于點O，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以，，CD，平面，∴平面，故B正確；，故C正確．因為平面ABCD，與平面ABCD所成角為，因為，∴，故D錯誤，因此故選：ABC．13．【解析】由題先將其圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變）得；再將所得圖象向右平移個單位長度得，所以．14．【詳解】在直觀圖中，，，則，故為等腰直角三角形，所以，，故原圖形中，，，故的周長為．故答案為：．15．【解析】∵，，，∴，即，∴，∴，．16．【解析】如圖，連接，因為是正方體，且P為的中點，所以，又，所以平面．又平面，所以．連接，則，所以為直線PB與所成的角．設正方體的棱長為2，則在中，，，，所以．17．（1）∵，∴；（2）∵，∴．18．【解】（1）因為，，所以．（2）由，得，∴，，．19．【詳解】（1）證明：過點M作，交BE于點N，則，，因為，所以，且，所以四邊形AMNF為平行四邊形，所以．又平面BEF，平面BEF，所以平面BEF．（2）因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為，，AD，平面ADE，所以平面ADE．所以，即，即此多面體的體積為．20．【解】（1），∴函數的最小正周期為，令，，則，，∴函數的單調遞增區(qū)間為，．（2）∵，∴，則，∴，∴函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為．21．【詳解】（1）證明：因為M，N分別為PC，PB的中點，所以，又，所以，則M，N，A，D四點共面．因為N是PB的中點，，所以．因為平面ABCD，平面ABCD，所以．在直角梯形中，．而，PA，平面PAB，因此平面PAB．因平面PAB，所以．又因為，且，AN，平面ADMN，所以平面ADMN．因為平面ADMN，所以．（2）連接DN，由（1）知平面ADMN，故是BD與平面ADMN所成角．設，于是，．另一方面，．因此，在直角三角形BDN中，，所以BD與平面ADMN所成角的為．22．（1）【解】過B作，過A作，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，如圖：根據題知，．∵BC的坡度，∴．設，則，∵，∴，解得（負值已舍去），∴，所以，該滑雪場的高度h為235m．（2）解：設甲種設備每小時的造雪量是，則乙種設備每小時的造雪量是，根據題意得：，解得，經檢驗，是原分式方程的解，也符合題意，∴．所以，甲種設備每小時的造雪量是，乙種設備每小時的造雪量是．  

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