第I卷（選擇題共58分）
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1.若復數(shù)，則（ ）
A. B. C.1 D.-1
2.五人站成一排，如果必須相鄰，那么排法種數(shù)為（ ）
A.24 B.120 C.48 D.60
3.已知向量，則（ ）
A. B.
C. D.
4.已知數(shù)列滿足，則（ ）
A.3 B.2或-2 C.3或-3 D.2
5.的展開式中的系數(shù)為（ ）
A.-30 B.-20 C.20 D.30
6.設拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與交于兩點，以為直徑的圓與準線切于點，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
7.在中，，則下列各式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.雙曲線的左，右焦點分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9.如圖，棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（ ）
A.
B.與所成角的余弦值為
C.四點共面
D.的面積為
10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（ ）
A.在上單調(diào)遞增
B.在上有4個零點
C.
D.將的圖祭向右平移個單位，可得的圖像
11.定義在上的函數(shù)滿足，且不是常值函數(shù)（即：的值域不是單元素集合），則（ ）
A. B.
C.時， D.為奇函數(shù)
第II卷（非選擇題共92分）
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.
12.已知集合，則的子集個數(shù)為__________.
13.在工業(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從，購買者要求直徑為，不在這個范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內(nèi)，則至少為__________；（若，則
14.在1，3中間插入二者的乘積，得到，稱數(shù)列為數(shù)列1，3的第一次擴展數(shù)列，數(shù)列為數(shù)列1，3的第二次擴展數(shù)列，重復上述規(guī)則，可得，3為數(shù)列1，3的第次擴展數(shù)列，令，則數(shù)列的通項公式為__________.
四?解答題：本大題共5小題，共計77分.解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（13分）在中，的對邊分別為，已知.
（1）求；
（2）已知點在線段上，且，求長.
16.（15分）在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，二面角為直二面角.
（1）證明：；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
17.（15分）甲?乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，且甲?乙兩人射擊相互獨立.
（1）在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；
（2）若獨立進行三場比賽，其中場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.
18.（17分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線分別與橢圓交于另一點，且直線的斜率滿足.
（1）求橢圓的方程；
（2）證明直線過定點；
（3）橢圓的焦點分別為，求凸四邊形面積的取值范圍.
19.（17分）已知函數(shù).
（1）證明曲線在處的切線過原點；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）若，求實數(shù)的取值范圍.
大慶市大慶中學2024年高三年級月考
數(shù)學（答案）
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分
1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.A
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分
9.ACD 10.ABC 11.AB
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分
12.4 13.0.1
13.
因為為
所以，
所以，又，所以，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以.
四?解答題：本大題共5小題，共計77分.解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.【答案】（1）（2）
【解析】（1），由余弦定理得，
即，則可得；
（2）由余弦定理，
，
則在中，由正弦定理可得，
.
16.解：
（1）在四棱錐中，因為二面角為直二面角，所以平面平面，因為底面為正方形，所以，而平面平面平面，所以平面，而平面，所以，又因為平面，所以平面，又因為平面，所以；
（2）分別取中點為，連接，因為，所以，又因為平面平面=平面平面平面，所以平面，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，
，
，設是平面的一個法向量，則，即，不妨取，，則是平面的一個法向量.
設直線與平面的夾角為，則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.
17.【答案】（1）0.2（2）分布列見解析期望為0.6
【解析】（1）設乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件，
則事件包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，則
.
（2）由題可知的所有可能取值為，
由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2，
則，
所以，
，
故的分布列為
所以.
18.（17分）（1）由題設得，解得，所以的方程為；
（2）由題意可設，設，
由，整理得，
.
由韋達定理得，
由得，即，
整理得，因為，得，解得或，時，直線過定點舍去；
時，滿足，所以直線過定點.
（3）由（2）得直線，所以，
由，整理得，
由題意得，
因為，所以，所以，令，
所以，在上單調(diào)遞減，
所以的范圍是.
19.（17分）（1）由題設得，所以，
又因為，所以切點為，斜率，
所以切線方程為，即，恒過原點.
（2）由（1）得，
①時，，
當時，在上單調(diào)遞增，
當時，在上單調(diào)遞減；
②時，時，在上單調(diào)遞增，
時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
③時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（3）當時，，即，
下面證明當時，，即證，
令，因為，所以，只需證，
即證，令，
令，
令與在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以存在，使得，即，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
令時，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以在上單調(diào)遞減，
，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，綜上所述.
以上各題的其他解法，限于篇幅，從略，請酌情給分.0
1
2
3
0.51
0.38
0.09
6
0.00
8

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