?2022年遼寧省丹東市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1. －7的絕對值是（ ）
A. 7 B. －7 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)即可求解．
【詳解】解：－7的絕對值是7，
故答案選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的定義，正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．
2. 下列運(yùn)算正確是（ ）
A. a2?a3＝a6 B. （a2）3＝a5 C. （ab）3＝a3b3 D. a8÷a2＝a4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、同底數(shù)冪乘方運(yùn)算、積的乘方、冪的除法運(yùn)算法則，對選項進(jìn)行逐一計算即可．
【詳解】解：a2?a3＝a5，A選項錯誤；
（a2）3＝a6，B選項錯誤；
（ab）3＝a3b3，C選項正確；
a8÷a2＝a6，D選項錯誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的基本運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于要注意指數(shù)在計算過程中是相加還是相乘．
3. 如圖是由幾個完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】從左邊看該組合體，所得到的圖形即為左視圖．
【詳解】解：從左邊看到第一層一個小正方形，第二層一個小正方形，
看到的圖形如下：

故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查簡單組合體的三視圖，把從左邊看到的圖形畫出來是解題的關(guān)鍵．
4. 四張不透明的卡片，正面標(biāo)有數(shù)字分別是﹣2，3，﹣10，6，除正面數(shù)字不同外，其余都相同，將它們背面朝上洗勻后放在桌面上，從中隨機(jī)抽取一張卡片，則這張卡片正面的數(shù)字是﹣10的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】正面標(biāo)有數(shù)字分別是﹣2，3，﹣10，6，從中隨機(jī)抽取一張卡片，﹣10的個數(shù)是1，再根據(jù)概率公式直接求解即可求得概率．
【詳解】解：由題意可知，共有4張標(biāo)有數(shù)字﹣2，3，﹣10，6的卡片，摸到每一張的可能性是均等的，其中為﹣10的有1種，所以隨機(jī)抽取一張，這張卡片正面的數(shù)字是﹣10的概率是，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查概率公式，理解概率的意義，掌握概率的計算方法是正確解答的前提．
5. 在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是（ ）
A. x≥3 B. x≥﹣3 C. x≥3且x≠0 D. x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式組，解不等式組即可得到答案．
【詳解】解：由題意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，直線l1//l2，直線l3與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥l2，垂足為C，若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)是（ ）

A. 32° B. 38° C. 48° D. 52°
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
【詳解】解：∵直線l1∥l2，∠1＝52°，
∴∠ABC＝∠1＝52°，
∵AC⊥l2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了對平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
7. 甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行射擊測試，每人10次射擊的平均成績恰好都是9.2環(huán)，方差分別是s甲2＝0.12，s乙2＝0.59，s丙2＝0.33，s丁2＝0.46，在本次射擊測試中，這四個人成績最穩(wěn)定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵s甲2＝0.12，s乙2＝0.59，s丙2＝0.33，s丁2＝0.46，
∴s甲2＜s丙2＜s丁2＜s乙2，
∴成績最穩(wěn)定的是甲，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
8. 如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則 的長為（ ）

A. 6π B. 2π C. π D. π
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半徑OB，再根據(jù)弧長公式求出答案即可．
【詳解】解：∵直徑AB=6，
∴半徑OB=3，
∵圓周角∠A=30°，
∴圓心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的長是=π，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式和圓周角定理，能熟記弧長公式是解此題的關(guān)鍵，注意：半徑為r，圓心角為n°的弧的長度是．
9. 如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)C，其對稱軸為直線x＝2，結(jié)合圖象分析如下結(jié)論：①abc＞0；②b+3a＜0；③當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大；④若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則點(diǎn)E（k，b）在第四象限；⑤點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，若CM⊥AM，則a＝．其中正確的有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】D
【解析】
【分析】①正確，根據(jù)拋物線的位置判斷即可；②正確，利用對稱軸公式，可得b＝﹣4a，可得結(jié)論；③錯誤，應(yīng)該是x＞2時，y隨x的增大而增大；④正確，判斷出k＞0，可得結(jié)論；⑤正確，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)K．利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求出a即可．
【詳解】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵對稱軸是直線x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵拋物線交y軸的負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正確，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正確，
觀察圖象可知，當(dāng)0＜x≤2時，y隨x的增大而減小，故③錯誤，
一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，
∵b＜0，
∴k＞0，此時E（k，b）在第四象限，故④正確．
∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），（5，0），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
過點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故⑤正確，
故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
二、填空題
10. 美麗的丹東山清水秀，水資源豐富．2021年水資源總量約為12600000000立方米，數(shù)據(jù)12600000000用科學(xué)記數(shù)法表示為______．
【答案】1.26×1010
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：12600000000=1.26×1010．
故答案為：1.26×1010．
【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
11. 因式分解：2a2＋4a＋2＝___________．
【答案】2（a＋1）2
【解析】
【分析】先提公因式，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解.
【詳解】2a2＋4a＋2=2（a2＋2a＋1）=2（a＋1）2
故答案為：2（a＋1）2
【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：因式分解.掌握提公因式法和公式法是解題關(guān)鍵.
12. 若關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是______．
【答案】m≤
【解析】
【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范圍．
【詳解】∵方程x2+3x+m=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=32-4m≥0，
解得：m≤．
故答案為m≤．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根的個數(shù)結(jié)合跟的判別式得出不等式．
13. 某書店與一所中學(xué)建立幫扶關(guān)系，連續(xù)6個月向該中學(xué)贈送書籍的數(shù)量（單位：本）分別為：200，300，400，200，500，550，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______本．
【答案】350
【解析】
【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可．
【詳解】解：將數(shù)據(jù)200，300，400，200，500，550按照從小到大順序排列為：200，200，300，400，500，550．則其中位數(shù)為：＝350．
故答案為：350．
【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
14. 不等式組的解集為______．
【答案】1.5＜x＜6
【解析】
【分析】先解每一個不等式，再求它們的解集的公共部分．
【詳解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式組的解集為：1.5＜x＜6，
故答案為：1.5＜x＜6．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組的解法，熟練解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分別以A，C為圓心，以大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，直線PQ與AC交于點(diǎn)D，則AD的長為______．

【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AC，再利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求出AD．
【詳解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，
∴AC===4，
由作圖可知，PQ垂直平分線段AC，
∴AD=DC=AC=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣基本作圖，勾股定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
16. 如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，若平行四邊形OABC的面積是7，則k=______．

【答案】-4
【解析】
【分析】連接OB，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到|k|+3=7，進(jìn)而即可求得k的值．
【詳解】解：連接OB，

∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x軸，
∴S△AOD=|k|，S△BOD==，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=|k|+，
∴S平行四邊形OABC=2S△AOB=|k|+3，
∵平行四邊形OABC的面積是7，
∴|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=-4，
故答案為：-4．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例系數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的面積，熟知在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是|k|是解答此題的關(guān)鍵．
17. 如圖，四邊形ABCD是邊長為6的菱形，∠ABC＝60°，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，AC上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且BE＝AF，BF與CE交于點(diǎn)P，延長BF交邊AD（或邊CD）于點(diǎn)G，連接OP，OG，則下列結(jié)論：①△ABF≌△BCE；②當(dāng)BE＝2時，△BOG的面積與四邊形OCDG面積之比為1：3；③當(dāng)BE＝4時，BE：CG＝2：1；④線段OP的最小值為2﹣2．其中正確的是______．（請?zhí)顚懶蛱枺?br />
【答案】①②
【解析】
【分析】①證明△ABC是等邊三角形，進(jìn)而得出三角形全等的三個條件；
②可推出點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，可以得出S△COD＝S△AOD＝2S△DOG，根據(jù)點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，可以得到S△BOG＝S△DOG，進(jìn)一步得出結(jié)果；
③根據(jù)AB∥CD得出，從而得出CG＝3，于是BE：CG＝4：3；
④可推出∠BPC＝120°，從而得出點(diǎn)P在以等邊三角形BCH的外接圓的上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)O、P、I共線時，OP最小．
【詳解】解：①∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
在△ABF和△BCE中，，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
故①正確；
②由①知：△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵AF＝BE＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝4，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，
∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，
∴，
∴，
∴AG＝3，
∴AG＝，
∴S△AOD＝2S△DOG，
∴S△COD＝2S△COG＝2S△BOG，
∴∴S四邊形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，
△BOG的面積與四邊形OCDG面積之比為1：3；
故②正確；
③如圖1，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴，
∴，
∴CG＝3，
∴BE：CG＝4：3，
故③不正確；
④如圖2，

由①得：△ABF≌△BCE，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，
∴∠BPC＝120°，
作等邊三角形△BCH，作△BCH的外接圓I，
則點(diǎn)P在⊙I上運(yùn)動，
點(diǎn)O、P、I共線時，OP最小，
作HM⊥BC于M，
∴HM＝＝3，
∴PI＝IH＝，
∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，
∴OI＝＝＝，
∴OP最?。絆I﹣PI＝﹣2，
故④不正確，
故答案為：①②．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，確定圓的條件等知識，解決問題的關(guān)鍵熟練掌握“定弦對定角”等模型．
三、解答題
18. 先化簡，再求值：÷﹣，其中x＝sin45°．
【答案】，．
【解析】
【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，化簡后代入即可得出答案．
【詳解】解：原式＝﹣
＝﹣
＝，
當(dāng)x＝sin45°＝時，則，
所以原式＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟記特殊角的三角函數(shù)值也是解題的關(guān)鍵．
19. 為了解學(xué)生一周勞動情況，我市某校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的一周累計勞動時間，將他們一周累計勞動時間t（單位：小時）劃分為A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四個組，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：

（1）這次抽樣調(diào)查共抽取_____人，條形統(tǒng)計圖中的m＝______；
（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求B組所在扇形圓心角的度數(shù)，并將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；
（3）已知該校有960名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請你估計該校一周累計勞動時間達(dá)到3小時及3小時以上的學(xué)生共有多少人？
（4）學(xué)校準(zhǔn)備從一周累計勞動時間較長的兩男兩女四名學(xué)生中，隨機(jī)抽取兩名學(xué)生為全校學(xué)生介紹勞動體會，請用列表法或畫樹狀圖法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）100，42
（2）72°；補(bǔ)圖見解析
（3）估計該校一周累計勞動時間達(dá)到3小時及3小時以上的學(xué)生共有672人；
（4）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)D組的人數(shù)和所占的百分比，求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)乘以C所占的百分比，即可得出m的值；
（2）用360°乘以B組所占的百分比，求出B組的圓心角度數(shù)，再用總?cè)藬?shù)乘以B所占的百分比，即可得出B組的人數(shù)；
（3）用該校的總?cè)藬?shù)乘以達(dá)到3小時及3小時以上的學(xué)生所占的百分比即可；
（4）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【小問1詳解】
解：這次抽樣調(diào)查共抽取的人數(shù)有：28÷28%=100（人），
m=100×42%=42，
故答案為：100，42；
【小問2詳解】
解：B組所在扇形圓心角的度數(shù)是：360°×20%=72°；
B組的人數(shù)有：100×20%=20（人），
補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下：
；
【小問3詳解】
解：根據(jù)題意得：
960×（42%+28%）=672（人），
答：估計該校一周累計勞動時間達(dá)到3小時及3小時以上的學(xué)生共有672人；
【小問4詳解】
解：畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生結(jié)果數(shù)為8，
所以抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生概率為．
【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖．用到知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
四、解答題
20. 為推動家鄉(xiāng)學(xué)?；@球運(yùn)動的發(fā)展，某公司計劃出資12000元購買一批籃球贈送給家鄉(xiāng)的學(xué)校．實(shí)際購買時，每個籃球的價格比原價降低了20元，結(jié)果該公司出資10000元就購買了和原計劃一樣多的籃球，每個籃球的原價是多少元？
【答案】每個籃球的原價是120元．
【解析】
【分析】設(shè)每個籃球的原價是x元，則每個籃球的實(shí)際價格是（x﹣20）元，根據(jù)“該公司出資10000元就購買了和原計劃一樣多的籃球”列出方程并解答．
【詳解】解：設(shè)每個籃球的原價是x元，則每個籃球的實(shí)際價格是（x﹣20）元，
根據(jù)題意，得＝．
解得x＝120．
經(jīng)檢驗x＝120是原方程的解．
答：每個籃球的原價是120元．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，連接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥BE，交BE的延長線于點(diǎn)D，連接CE．

（1）請判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半徑．
【答案】（1）CD是⊙O的切線，理由見解析
（2）⊙O的半徑為
【解析】
【分析】（1）結(jié)論：CD是⊙O的切線，證明OC⊥CD即可；
（2）設(shè)OA＝OC＝r，設(shè)AE交OC于點(diǎn)J．證明四邊形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理構(gòu)建方程求解．
【小問1詳解】
解：結(jié)論：CD是⊙O的切線．
理由：連接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC//BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半徑，
∴CD是⊙O的切線；
【小問2詳解】
設(shè)OA＝OC＝r，設(shè)AE交OC于點(diǎn)J．
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四邊形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝4，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝，
∴⊙O的半徑為．

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，切線的判定，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．
五、解答題
22. 如圖，我國某海域有A，B，C三個港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是單位“海里”的符號）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點(diǎn)D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）

【答案】貨船與A港口之間的距離約為80海里
【解析】
【分析】過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，根據(jù)題意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，從而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，從而求出AE的長，最后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，

由題意得：
EF=BC=33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD=∠ADC=53°，
在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，
∴AF=AB?sin50°≈40×0.77=30.8（海里），
∴AE=AF+EF=64（海里），
在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里），
∴貨船與A港口之間的距離約為80海里．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
六、解答題
23. 丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
銷售單價x（元/件）
…
35
40
45
…
每天銷售數(shù)量y（件）
…
90
80
70
…

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？
（3）當(dāng)銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+160
（2）銷售單價應(yīng)定為50元
（3）當(dāng)銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤1248元
【解析】
【分析】（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+160；
（2）根據(jù)題意得（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解方程并由銷售單價不低于成本且不高于54元，可得銷售單價應(yīng)定為50元；
（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．
【小問1詳解】
解：設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
【小問2詳解】
根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：銷售單價應(yīng)定為50元；
【小問3詳解】
設(shè)每天獲利w元，
w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，對稱軸是直線x＝55，
而x≤54，
∴x＝54時，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：當(dāng)銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和一元二次方程．
七、解答題
24. 已知矩形ABCD，點(diǎn)E為直線BD上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時針方向排列），連接DG．


（1）如圖1，當(dāng)＝＝1時，請直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)＝＝2時，請猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，請直接寫出△MND的面積．
【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG
（2）BE＝，BE⊥DG，理由見解析
（3）S△MNG＝
【解析】
【分析】（1）證明△BAE≌△DAG，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（2）證明BAE∽△DAG，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根據(jù)（2）可得DG＝6，從而得出三角形BEG的面積，可證得△MND≌△MNG，△MNG與△BEG的面積比等于1：4，進(jìn)而求得結(jié)果．
【小問1詳解】
解：由題意得：四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
【小問2詳解】
BE＝，BE⊥DG，理由如下：
由（1）得：∠BAE＝∠DAG，
∵＝＝2，
∴△BAE∽△DAG，
∴，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
【小問3詳解】
如圖，


作AH⊥BD于H，
∵tan∠ABD＝，
∴設(shè)AH＝2x，BH＝x，
在Rt△ABH中，
x2+（2x）2＝（）2，
∴BH＝1，AH＝2，
在Rt△AEH中，
∵tan∠ABE＝，
∴，
∴EH＝AH＝2，
∴BE＝BH+EH＝3，
∵BD＝＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，
由（2）得：，DG⊥BE，
∴DG＝2BE＝6，
∴S△BEG＝＝＝9，
在Rt△BDG和Rt△DEG中，點(diǎn)M是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CE的中點(diǎn)，
∴DM＝GM＝，
∵NM＝NM，
∴△DMN≌△GMN（SSS），
∵M(jìn)N是△BEG的中位線，
∴MNBE，
∴△BEG∽△MNG，
∴＝（）2＝，
∴S△MNG＝S△MNG＝S△BEG＝．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是類比的方法．
八、解答題
25. 如圖1，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)線段PE的長度為h，請用含有m的代數(shù)式表示h；
（3）如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥CE，垂足為F，當(dāng)CF＝EF時，請求出m的值；
（4）如圖3，連接CP，當(dāng)四邊形OCPD是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)Q，使原點(diǎn)O關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】（1）y＝x2+x+3
（2）h＝m2+m（0＜m＜6）
（3）m＝1 （4）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（2，﹣1）或（2，4）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），即可得出h＝m2+m；
（3）如圖，過點(diǎn)E、F分別作EH⊥y軸于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥y軸于點(diǎn)G，可證得△BOC∽△PFE，得出＝，可求得EF＝（m2+m），再由△CEH∽△CBO，可得＝，求得CE＝m，結(jié)合CF＝EF，可得EF＝CE＝m，建立方程求解即可得出答案；
（4）設(shè)Q（2，t），分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線OD所在的直線上時，②當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線CD上時，③當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線DC延長線上時，分別求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．
【小問1詳解】
解：∵拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2+x+3；
【小問2詳解】
解：∵拋物線y＝x2+x+3與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
【小問3詳解】
解：如圖，過點(diǎn)E、F分別作EH⊥y軸于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥y軸于點(diǎn)G，

∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x軸，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y軸，PD⊥x軸，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四邊形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH//x軸，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
【小問4詳解】
解：∵拋物線y＝x2+x+3，
∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝2，
∵點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，
∴設(shè)Q（2，t），設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)H，交CP邊于點(diǎn)G，
則GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線OD所在的直線上時，如圖，

則CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四邊形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線CD上時，如圖，連接CD交GH于點(diǎn)K，

∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于直線CQ對稱，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH//OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P關(guān)于對稱軸對稱，即點(diǎn)G是CP的中點(diǎn)，GH//OC//PD，
∴點(diǎn)K是CD的中點(diǎn)，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在該矩形對角線DC延長線上時，如圖，過點(diǎn)O′作O′K⊥y軸于點(diǎn)K，連接OO′交CQ于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于直線CQ對稱，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵點(diǎn)M是OO′的中點(diǎn)，
∴M（﹣，），
設(shè)直線CQ的解析式為y＝k′x+b′，
則，
解得：，
∴直線CQ的解析式為y＝x+3，
當(dāng)x＝2時，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，軸對稱性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．

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